a. . o.34<'83ii
coic. ...... 9.3835919
If*
Ce résultat s’accort^nravec ce qa’on a vu page l'jS. ' '
.i35. L’égu. (i3) ^ se prête pas au calcul logarithmiqutf^t l’.oh peut la préparer pour cet usage, mais sans' qu’il en résulte un avantage notable. Y6ici ces farmules tii*ées des é^u. (i,-3et5),p. 7: • . ••
• ■ • tang .^s? cbt D cos^, '
.... y . sin’t)cos((t — é) ' ' i •. * ’
• ^sv-- ■. — ■; — ■ ■
■ • . co s ^ •
Digili/flf; by Googlc
l80 IIAIITKLIUS CORUKSPOîiUANTES. '
La i" équ. détermine l’arè auxiliaire ^ , qu’op introduit dans la 3* avec le signe que le calcul donne. ‘ ,
EJn reprenant le dernier exemple, pour Ataïr , on a
cot D. .
cos jy . .
tançip.
sin D. . . . 9. 1660977 cos(<?»— c). 9.9899644
cps Z gî382592i '
à très peu près, comme cidessus.
Mélhpde des hauteurs corixspondanles.
i36. Lorsqü’on a une lunette m#idicnnc bien oriénlce , il e.st bien facile de trouver l’heure sidérale, vraie ou moj’enne, par Inobservation, du passage d’un astre au méridien , puisqu’on cannait l’heure dp ee passage, d’après ce qu’on a vup. i56*, et quant aux procéd,4f d’orientation dç cêtte lunette , les procédés ' exposés p. 166 sont d’une appUcatipn facile J- au reçte,' nous renvoyons, pour ce sujet, à ce que nous avons dit dans VL'ranographie y n° ^ï3. '
Faute de lunette méridienne, on recourt à. la m^thodd des hauteurs correspondantes , qui consiste à noter les heures xjuc marque la pendule quand un astre se trouve à Id meme hau~’ leur des deux côtés du méridien. L’heure *dy milieu est çelle du'passage par ce plaît j heure qui d’ailleurs est d^jà connue ; ett la éompArant i celle de la pendule ,*on en conclut l’avance ou le retard. • ' , 4 . . •
f «fj ^ ^
Ce procédé suppose une continuité de ^iel serein qui n’est pas~ordiiiairè dans 00s climats; il laut aussi que l’observatoire soit fixe, ce qui ne permet guère ‘de s’en servir* en mer. Du reste il est fort précis. / ,* •
&ient doCc t et les hepres marquées par pne npiontre lorsqi^un astre se trouve en A et B(fig.,iç) Ji la méine hauteur des 'tlfcux côtés du méridien FN; çm suppose (i>t, c.-à-d. que si l’on arrive, dans l’intefvalle, i 12 ^feures, on continuera de
HAIJTEÎJRS OOBRESP(5NJ)4NTES. 1 87 i
compter i3'‘ , >4* > lieu ’de i 2*,. : ,, Si la' marclté de la •
montre s’est conservée uniforme dans cette durée, le tenips écoulé pour aller de A e?n B est* donné == f' — < , et l’àstre a parcouru AB, ou le demi-angle APB j dans le temps 1^’-^ j t. Ajoutant l’ heure /.où l’astre était en A, on voit quAl’inst^ntdu passage en N est'arrivé quand la montre marquait l’IiQure ■
Pour la prédision , i! cohvient que l’asti'e observé soit, au moins à 12 heures de dislance du méridien ; et plus l’astre est éloigné de ce plan (plus il s’appirochd du premier veriical\,^\\xsi l’observation est exacte,, parce que le mouvement vertical a plusxle rapidité. ITes^'donc préféraj^lç de porter^’observatiop sur un astre qui soit vers 90° de distance azimuthale do méridien.
■ Quand oii observe une étoile, en comparant l’heure que donne le Calcul avec celle à laquelle on sait qne le passage doit ' réellement se faire (n® 1 14) , pn connaît l’erreur de la montre ; et s’il s’agit du Soleil , jon a l’heure qui était marquée à midi vrai , du moins à une petite correction près , dont nous parlerons bientôt. , ^ ^ J ■
On est dans l’usajge 4e prendre , des deux côtés du méridien , plusieurs, hauteurs successives ,; et de noter l’heure de chaque observation. Dans ce cas, il est commode de placer successivenrent l’alidade de l’ instrument sur des graduations équidistantes, qui procèdent, par exenéple,de lo' en io',et d’aDeudre que l’astre se présente au fil hnrizoatal de la lunette. Mais il faut 'bien remarquer qu’il n’e|t - nullement nécessaire que ces graduat'rons désignent des hàoteprs véritables dé l’astre;' car " c’est un avantage propre » la méthode que nous' exposons ici , qu’il est inutile de connaître ces hauteurs absohiés , pour obtenir l’heure indiquée lors du [îassage, 'et qu’il suffît que leS 'hauteurs soient respectivement /ej' memes àfeS rfeua: cSiés du méri- (iVen. Seulement quand J’ihstriiment e^t réglé pôr un niveau à ' bulle d’air, il ^aut avoir 'graiid soin que les indications de<^lle Jiulle, sur son tuFie, 'soient exactement les mêmes dans les deux observations coréespondanles. ■ ,
j88 . HAtTEURS CQRRESPONUARTES. '
Lorsqu’on suit ce procédé, t désigne daptf notre fort^^c î» . inô^enne des heures d’observation avant le passage / 'et. / ia 7^ moyenne après. ^ ' v
iS^. Voici un exempK:, dâq^^^uci on voit que les'diverses vUlèurs d.e H ne sont pas rig^^tèuwment le^^^èmes, comme cela» devrait avoir lieu : la cansfl^ éèï-dans les^tifes erreurs d’ob-
servations, de réfraction , etc. On rend le résultat indépenSant'
de ces defauts
en prenant la
movenne des nom
lires H pour va-
leur exacte.
Haoftïorr.
Esi.
Oue»^ * '
SuDinic!). .
. a3TÎ38'57"a
lo'
.. 35-.ao,tr. . ... . . .
àg. 0,0
GO
ag. 0,0
ag. 1,6
' Moyenne..
r Moitié' H =
L’aslrC observe était le Soleil; ep sorte que la montre, à
midi vrai, aurait retardé >Je i' 1 5' 3o.*, au sur
le tepips^ vrai ;
mais il y a une correction
à^faice, dont noûs allons bientôt
nous occuper.
Si l’on eût observé une étoile^ il aurait failli calculer l’heure
vraie, moyemie ou sidérale de'sl|A passage (n” 1 14) , et y compa- . rer la sraleur trouvée de H , pour en conclure l’avance ou le retard sur le teiùps vrai, mçy. ou'sidé;'. Mais il arrive rarement que l’on pranne des haul!burs correspondantes dlétofle, ]^rce que ceux de cçs astres qpi sont lé soir loin du mépieyen ne peuvent souvent être vus de nuit quand ils reviennent le matin à même hAuleor;/ aussi cette méthode ne s'appliquet-elle guère qu’aux observations dù Soleil. j
.tSS.Leplus sbuveùton sait è peu |#ès^uelle est l’ayance adfe la montre sur le temps moyen ; pour se préparer à l’observation du Soleil , le éoir , il,cônvieut .de connaître l’héurc de la montre où il faut se remire attentif, afin (fc ne pas ÿO fatiguer à l*at-
* .HAU-llsURS CpRnWoNDANTES. • i8q
tendre trop ou «joiirir le risque de manquer Pastre en l’observant trop tard. • ' ' ■ ’â.'. >
Soit t l’heUre du matin indiquée par là montre j il sera en erfëti — a de'tÜ^p's moyen, et / — a — ede temps vrai, é désignant l’équation dt^ temps (ni 108). La distanfee an méridien,
. en temps , 'Sera (^nc £2* — t a -f- c ,.^ui csl par conséquent , l’heure vraie du^oîr^ le Soleil se refrquvera à la même bau- ' teur qnele mâtin. L’<l]jB^e moyenne #era doiiQ i2*~<-j-a-f-2e;
la montre^quiavanoe'de a raarquera’en efièt . ou plutôt . ■
■ '■■■ ‘ . ■ ’ ' X-orsqu’on observe une étoile, on fait es=o,et l’on a
• jK)ur l’béurV de la montre, lors d^ l.’observation -correspondante. )
Ainsi ,>daç9j^qtrl^^ple J prenons la dernière observation du maiin>y == car «elles dd^^soir se font en remon-
tant, attendu que Çastre descend sans cfôse, qt ^j^îie c’est la plus grande hauteur JÇiii doit être vue la première; tâtldis que le matin, elle était lâ'xiternièré. On présume que la omntre retarde d’une minute, a=— i'. Ôn à l’équ. du temps*^‘-è^ i4' 27* ; +e=:— ri5' 27"; le double est — ^ 3o' 54" ; ainsi
, ô.3o'fr4"
L’heure de la hauteur correspondante est ’i 3.3i .52.
^^’est quanij^la montre marque' en viron. 3*3?' qu’il faut se préparer,à l’observation' ■■ \
ïSg. Toute bette théorie suppdse qué l’a^è/conserve sa déclinaison constante, ©t comme celle 'du Splqibyarie du matin ^ au soir, la valeur deîî doit subir une correction qne nous allons trouver. . .v '
,PW (bg.. 1.9) est le méridien, Z le zénftk, P le A le
lyu
JiAU fbliRS LOHRESPONDiSn Ei’.
Suleil observé le matin : .comme en passant du cercle horaire AP à PB, situé de l’antre côté 4u méridien, à meme distance, l’astre s’dstVapproclié du pôle en i , il ne se«»etrouve pas siir le cercle horizontal ANB, c.-à-d. à même hauteur, lorsqu’il est .arrivé sur le cercle horaire PB, qui est à même distance' du méridien , et il doit continuer à descendre jusqu^n C, pour y atteindre. ^ ,
Or, le cercle horai/e PG n’étant pas,. comme PB, à la même distance hdrairfe du méridien que PA, la-moitié dé l’angle. APC, ii’est plus l’angle MPB = MPA , et en diflered’un arc que nous devons calculer. ® •
Ce matin , l’angle horaire est p j Ib soir il est p-f-« , et Pangle . APC + «• , dont la moitié est -f- ^ ; en sorfe que pour
quecfetteyi'oitié,ou la moyenne ^ (t soit réduitevà />, il ep 'laùdi'aii retrancher ainsi xz= — est la correction que, doil subir cette moyenne, et I^heure de la pendule à l’instant du passage est f ' '
Pour trouver l’arc*, spient ZA==^* = dist. zénith, du So- • leil , D SB déclin, quand il est en Aj l la latitude du lieu,' dont \ l’arc PZ est le complément , ou PZ = qo" —l^hc triangle PZA , 4’aprës la formule fondamentale de da Trigonométrie sphérique
( 33 , page 4) , «loune ■ •. . . • ;
cos Z = sin / sin D -p cos I cos D cos p.
Dank le mouvement Soleil, I reste constant, ainsi que z
qui redevient le même ep C ; mais D et /> varient ensemblê, savoir : D de d', et de et. Pour-obteiiir le changemerit « que éprouve quand t) Croît de d*, il faut dope remplace^ dans notre équ. p par p , et J? par D4- En développant et retranchant l’éqju. précédente, *1 vient , , *• . i
, ' (pn Z cos D — 'Oos l sii» D oos|^)<^ = COs / cos D ^n ^ . «t.
et et d sont depetits arcs exprimés en secondes. Soit t> la varia- ^ tioh diïBOftc, aussi ?n seopndes,. qvPéprouve D,dans le temps
; :ized by Googli'
. ' ■ 'llAUrÇLIflfe .CORRÊSPOiVDAN'l^?^ •’ .
écoülé.-t'— <;= a« , le 'ofaaiigemeiit est don^ j»ar œtte |)roportion^' • t . ■ .
■‘.-if
là’ durée 0 est exprimée en lieufes et fractions décimales. ' • - •
D’un autre côté, l’arc «t d|rient‘des secondes (Je teiÿips, en cliangeant « en i5ct (n” 70) ; ainsi J’on A, en temps,
, , ‘ ' 6t> ytang f * ■ \
Oniprend pour l’aac/J la* écoulée 6, traduite en (Ifgrés^ D est la déclin, à I^irislaim du’ passage. Comm&<* est fprt. petit, Ta Valeur r\*est pas 'se.nsiblemént altérée par, cL IJ5'potliéses. Ainsi il vient pour la correction -- i <
i“. D est la dé(5lin.-'du Soleil à mi^» pour lé jour et llèu proposés-, on la tire de la Cohn. des Temif/en suivant le^rincipe donné n° 29. On prentl D en — quand l’astre est daAs'ics signes inférieurs. Lalatifudc /du lieu prend aussi le signet dans' l’hémispLère austral. ■ • . f ’
a®: P est la Variation diurne en Séclija; , donnée dans* la colonne d0erence de la Ç'onn. des Terni, il convient de prendre pour-v la moyenne ejjtre les vari^alions'dinrnes des 'deux jt>u/a ‘ consécutifs, que le midi sépare (^.)f On donne à e lés’igne — quand l’astr^s^éloigne du pôle boréàl.i * ‘‘
1 deiûi-dürée écoulée-, qc4>n ex--
priînè heures de* te^ps vrai et fractions décîtftales ; mais on ,traduit 0 en degrés sous les signent et sîh. On a sîn 0 positif, • et wt«, prend .désigné — '(|*>and 6>-6*. Si U pèmfule a une , ^ i t. ' '
('i log.,.ds 21M est .dopn^' ponf chaque jour dam tes tables astrpholuiqu/s de M. SchiiinàchCT; Ija Çnnn. des Tems Tccevrail une addition utile à l'Astronomie et à la Navigation si elle cont^.iit ’ecs lôgarillîmes, qui racijitciu beaucoup dircr» ailcnls*. (^. 'Ao'te p. ^Sy)-. ■ • . I ' • ■
• 192 . ^HAPTELMSr rimKliSPOiftM.NTES. • .
mardie très diâiér«ntê de celle dti Soleil , il fa^il ramener -"' i à être exprimé en'tenjps vrai (n" .102). ■
'* 4*’' Quand la première observation est IJaîte le soir , et la se-
conde le lendemain matin, -le passage se ôiijt^au méridien infé-j rieOr (à minuit) j Q est la déclin, du Sol«l à cet instant, est • la variation de déclin, de l’astre Aitre deux midis consécutifs, et le dernier tériiie de la valeur de a? prend le signe + , de-. : ^ ^ V, . \
Reprenons l’exempte priccàent, qui esnln 17 oeiobre iftiqr On aie temps éi oujé — 7** 4*^^ ^ ^
P 3.i»n5 — cot9... 9.8o3i4 • r'ung /. o.o55g5 .. iç*o3 .
’c.StJo. Î.44370 • ’taufiT). 9.ao3i7 — ‘.. «ri fl..- Q.gaeSS^ .^ ^,43
A-. .. i.i'fçfii — ‘ o’.t'56SS+ ■■.1.37936 i=+ao,46.
1' ter terme'. .. .1", 43- * a*... ig,o3. ' '
Or, la moyenne «les henr||j^3^rvees est H = iil*44'ag"78 .
. I , Correcllov.. . . X = 30,46 '
,• Henre^marqui'C , pâr la montre , au passai ■ ii.44'5o',a4 .
' 'Temps moyen & midi vrai 1^43-33, ao
Montre retarde sur le' tftmps iqpyen . j. ....... . 4*, 9®' • '
'i4o. Comme ce cali^l,.ç6l assez long, on construit , dans tous
-les oliservatbireV fixe#,. une ,t^le de corrections x poar' chaque*
valeur dé 9 croissantvl^o^ 10' de temps , èt pour la lafitudé
^du lieii. On a alors -VS; ** ,
2> = mp tang D -1^ ny, \ • ; .. .
■ -û cot 6 , 9 lang / • “ V
en posant •. • '» = -3^.« “ J6i"sm )'V:
, ■ et’ la table donne les valeurs de pi et n pour*chaqao. temps
écoule 6: ^ . ■ -1r -' . '
i4r. Îi6rsqu|ll^ai4lve «|ju’4 Hnsttant où l’on devrait' observer la bai|teur correspondante , les n ii’ages , qule défaut d’ atten|iofi , *1 font manquer l’iignrirdé.robservation', o« Ic^fait quclqùes îns-
lans- plus tard i pif Irôqveni^me.nt, *, .
HADTEUBS CORRESPONDANTES. I()3
i'". De combien l’astre descend dans un temps donné;
2°. De quelle hauteur il s’en manque qu’on n’ait observé celle qui était correspondante.
, Or, le n^^uvcment de l’astre dans le sens vertical est sensiblement uniforme et proportionnel au temps, dans une courte durée et loin du méridien. On peut donc connaître, par une proportion , de combien de minutes la hauteur correspondante précédé celle qu’on>lui a substituée, et la faute se trouve léparée.
Cette remarque est surtout utile en mçr, parce que l’usage * du sextant ne permet guère de saisir le Soleil juste quand il est le soir à la même hauteur que le matin. Mais on la prend le soir à peu près égale à celle du matin , et l’on mesure la vitesse verticale de l’astre, par le temps qu’il met à descendre d’un petit arc <léterminé.
Avec le cercle répétiteur, on rencontre les mêmes difficultés, lorsqu’on veut le faire servir à la mesure des hauteurs correspondantes.
Par exemple , après avoir observé le Soleil à 8l> lo' 45", 6 du maiin , le soir on a pris la hauteur trop têt, et celle qu’on a mesurée s’est trouvée plus grande
de 3o' d’arc ; on l’a prise è i Sb 1 3' 34"4
Pour la rendre correspondante à la ire, on en mesure une autre un- peu pins tard, et l’on trouve que pour descendre de lo' d’arc, l’astre emploie i' i4",5 de temps ; par- ,
tant , il loi faut pour 3o' « 3.43,5
La hau teur correspondan te le soir était donc è 15.17,17,9 •
Celle do matin était à. 8. 10. 45,6
Somme 33.a8. 3,5.
J)onc la pendule marquait au passage 11.44. ’,7^>
sauf la correction t , qn’on peut aisément éalcolcr. —
Au reste, on trouve que, eu <p secondes de temps, un astre / monte verticalement de s secondes d’arc
s sin Z = i5 cos / cos D sin ô.
n® i63 , oi cette formule est démontrée.) z est la distance zénithale de l’astre, I la latitude,du lieu, D la déclin. , 6 l’angle
Ip4 lUUTElIRS CORRESPONDANTES-
horaire. Mais celte équ. ne détermine s que quand la valeur de 2 est connue, et nous avons déjà fait remarquer que l’avantage principal de la méthode des hauteurs correspondantes consiste à ne pas avoir besoip de connaître *. ^
142. Cette théorie suppose que la réfraction astronomique est égale lors des observations à l’est et à l’ouest ; mais c’est ce qui n’arrive presque jamais, attendu que le baromètre et le thermomètre varient. sans cesse. Le résultat doit donc subir une petite correction , surtout si l’astre a été observé près de l’horizon : c’est ce qu’on a toujours négligé de faire , mais la précision exige qu’on en tienne compte. Voici comment on calcule cette correction.
Soit h la hauteur vraie à l’est , r la réfraction ; la hauteur apparente est h r. On a de même h' -4- r' pour celle qu’on observe à l'ouest, et la condition prescrite est que ^
^ h -j- r = h' r ou h = h' — (r — r' ).
Supposons On voit que la hauteur h’ a l’ouest est trop
forte de r — r pour être la même qu’à l’est ; la réfraction a fait juger l’astre à égale hauteur des deux parts, tandis qu’il aurait fallu le laisser encore descendre vers l’ouest de r — r', pour que sa po.«ition fût rigoureusement correspondante ; on l’a observé trop tôt. L’heure indiquée par la montre doit donc être aug— uientée du temps c, nécessaire pour que l’astre puisse descendre der — /. ^
Mais on a pris, à l’est, plusieurs hauteurs successives, et l’on a trouvé le nombre s de secondes d’arc que l’astre décrit verticalement dans un temps r\ une proportion donne le temps pour décrire l’arc r — r' ;
Telle est la corlrection à faire à l’beure de ia montre lors de l’obseï vatiou à l’ouest. Bien entendu- qu’elle devient négative quand / > r; alors l’astre a été observé trop tard à l’ouest. Prenant la moitié, on trouve .
LATITUDES TERRESTHES.
quantité dont il faut corriger l’heure H , p. 18'^ , puisque da moyenne des heures doit être augmentée du 4" terme de la proportion, et que II est la moitié de celte moyenne.
Ce procédé exige , il est Trai , phur avoir les réfractions r et /, qu’on connaisse 1 a hauteur de l’astre , ce qui paraît ôter à la méthode un de ses avantages , puisque cette hauteur n’était pas nécessaire à connaître. Mais , outre qu’on ne peut , sans erreur , négliger la réfraction , il est clair qu’on n’a besoin de connaftVe cette hauteur qu’à peu prèsj car un défaut dans cette hauteur influe très peu sur ladififér. r — r' des réfractions.
Dans notre exemple du n° 137, prenons les diff. des hauteurs et des heures extrêmes; nous voyons que le Soleil parcourt '5o' de hauteur verticale en 5'5'f',o de temps. Ainsi, s=^3ooo" et r = 357*. La hauteur était 1 0° ; le baromètre et le thermomètre marquaient 757“"' et 12® le matin, 77<î“™ et 3® le soir; on en tire (page 84) r ~ 3i6",2, r' = 332",g,
r r=-.6,7, et c= = - o ,99 : d
faut donc diminuer de cette quantité la moyenne H. Il est facile d’en conclure qu’après la correction 2: , p. 192, l’heure de la montre, à l’instant du passage, est 1 44'49'>^^« ^1^ qu’elle avance de 43*>9^ sur le temps moyen.
Sur la délerminalion de la latitude du lieu par des passages
méridiens.
143. Par les doubles passages des circompolaires. Cette méthode, pour obtenir la latitude, est la meilleure de toutes, parce qu’elle est indépendante de la déclin, de l’étoile, de l'aberration et de la nutation, et que les erreurs des réfractions sont très peu influentes. Elle consiste à observer les hauteurs ra', ra (fig. 20) d’une circompolaire à son double pas.sage au méridien supérieur et inférieur en a' et d , avec un mural, ou 'tout autre instrument qui soit exactement dans Ce plan. Ou peut'
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LATITUDES TEURESTRES. ,
aussi se servir du cercle répétiteur, en procédant ainsi qu’il sera bientôt expliqué n® i45. On corrige les deux hauteurs observées de la réfraction , et leur moyenne est pr, ou la latitude d^andée /.
Soient h et h' les hauteurs , r et r les réfractions , on a
Si l’on a observé za, za , ou les distances zénith, z et,z', la H colatitude c sera -rf
c=|, (z-hz' -f r-f r'),
^ . . ' ' L’erreur des réfractions peut influer sur le résultat ; mais
tant que l’étoile ne s’approche pas à plus de i5 à 20° de l’hoi i-
zon , il y a très peu de dififérences entre les tables des divers
auteurs.
Supposons qu’en février i83o,ou ait mesuré les distances zénithales cèapiês , de i' petite Ourse, à Calais , le baromètre marquant 764”“, 5 et le tbermounètre centigrade -f- 10® à la culmination inférieure, et qu’à la supérieure ces instrumens aient donné 764™'“ et -j- 4°- Voici le calcul des réfractions, suivant notre table ( v. p. 84 ) :
' Moitié. .. c = 3g. 3.38,0 . Compl... l = 50.57.33,0.
On peut même tirer de là la dist. polaire /t«de, l’étoile , puisqu’elle est la demi-diff. des dist. zénith, corrigées de la réfractioln. On trouve ici d—3° 24' 52*,3.
i44- hauteurs méridiennes simples. Soit pzn ie
LATITUDES ;terrestrf.s. 197
méridien ( fjg. 20 ), kfi l’horizon , z le zénilh , p le pôle, kc l’équateur, «^ou s un astre au méridien, sc ou sd sa déclin. D, sp ou s' P ^4>^tance.<f au’pôle, complément de D ; l’arc en est l’inclinaison de l’équateur ou la colatitudc , compl. de la latitude cherchée'/, cn=pz — c = 90® — l. .■ ,» j;»!.
On mesure la hauteur h de l’astre s ou /, ou sa distance z au zénith; ^011 corrige de la réfr. et de la parallaxp : il est clair qu’on a en = j/i *— sc. Et si l’astre est en s' , au-dessous ,de l’équateur, on a cn = s' n s'c. Cette dernière équ. revient à la précédente , en prenant la déclin, négative, quand elle est australe. Ainsi , 90“ — Z = A — D , d’où / = 90° -|- D — A.
Donc , à cause de </ = 9®°, — ® A ^ — 9®"* — on a
On donne à D le signe — quand la déclin, est australe.
Ces formules supposent que l’astre passe au méridien du côté du sud , entre le zénith et l’Imrizon. Mais les étoiles circom polaires ont deux passages, l’un en a' au méridien supé- ' rieur entre le pôle et le zénith , l’autre en a au méridien inférieur entre le pôle et l’horizon boréal. Les hauteurs méridiennes sont ra' ou ra, les distances zénithales a zou az. Le même raisonnement que ci-dessus conduit à l’élju. l^zhzç: d , — dans le^i'' cas, -j- dans le dernier.
Donc , au passage d’une étoile circompolaire entre le pôle et le zénilh,
et entre le pôle et Vhoriîon boréal,
Pour reconnaître, à l’inspection du ciel-, lequel de ces deux derniers cas a- lieu, on se ligure un arc qui de la polaire va à « de la queue de la grande Ourse ( ti. lig. 2 y-, cet arc passe sur le pôle , près de la polaire.
ig8 LATITtDES TERRESTRES.
La méthode que nous venons d’exposer est extrêmement commode pour avoir la latitude du lieu, parce que l’observa—' tion est facile , et l’on n’a besoin , pour ainsi dire, d’aucun calcul. Il faut corriger z ou A de la réfraction et de la parallaxe; calculer <f ou D, en ayant égard à la nutatÿ>n , à l’aberration et à la précession.
Les marins se servent beaucoup de ce procédé. Ils (d>servent le Soleil pour en obtenir la hauteur à raidi vrai , et comme dans. les mstahs yoisins, cette hauteur varie peu, une petite erreur sur l’heure de la montre à midi vrai ii’inQue pas sensiblement sur le résultat. Ils trouvent les élémcns du calcul dans la Conn. des Tems, en estimant à peu près l’heure contem— ]K)raine de Paris {v. n® 29) , d’après la longitude approchée du lieu. S’il s’agit d’unç étoile , il faut d’abord connaître l’heure «lu passage ( n” 1 14 ) , et celle de la montre au même moment, afin de saisir l’astre à cet instant.
Remarquez que le Soleil présente beaucoup plus de facilité que le.s étoiles , ‘parce qu’on n’a pas besoin de faire des corrections de précession, nutation et aberration, et qu’il n’est nécessaire que d’avoir égard à la èéfraction et à la parallaxe de
hauteur. * ■*
Étaut en mer à ab i5' environ de longitude est, on mesure une hauteur du Soleil à midi vrai , le a5 octobre i83o , .et l’on trouve qn'elle est 33° 3g' 7"; en la corrigeant de la re'fr. — parait. , cette hauteur est réduite b ,
On compte alors h Paris gb 43' dn matin, et la déclin, de la Con/i. des jems (ta» i' 45" A) devient. D = — 11.59.47,6
L’éqn. / = 9o°-1-D — Adonne...! ‘I — 44*33-^^>9'
145. Par des hauteurs circomméridiàgjfies , c.-à-d. l’astre étant obsèrvé près du méridien. ■ ,
Le plus grand inconvénient de la méthode précédente .est de ne donner qu’nne seule valeur de la latitude, parce que l’astre ne peut être observé qu’à l’Instant où il traverse le méridien. l.e procédé que nous allons exposer est dû à Delambre ;
il n’cxige pas que l’astre soit dans le méridien, et par conséquent permet de répéter les observations pendant, on certain temps; chacune donne une valeur de la latitude; ces valeurs doivent très peu différer entre elles, et leur moyenne est considérée comme indépendante des erreurs d’observation.
Le pj&le est en ^ ( Cg. ai ) , le zénith en z , pzmo est le méridien, s un astre, près de ce plan , m le lien où cet astre y eatce,ps son cercle horaire. On a mesuré la hauteur H =t:s de l’astre en s, ou sa dist. zénith. Z = zf, que nous supposerons corrigée de la réfraction et de la parallaxe, comme on l’a' dit n°* 68 et 91 : il s’agit d’en conclure la hauteur ou la dist. zénith. , quand l’astre est en m au méridien. On a visiblement I
ps’!=pm~d = go'' — D, /jz = 90® — /,
zm — pm — pz— ps. — pz — I — D.
Du centre z, tracez un arc so ; vous avez zs zO. Le point o ' est à même hauteur que s : faites mo ~ x, quantité dqjpt l’astre doit encore monter , partant de s , pour atteindre en m au méridien ; et calculez d’abord ce petit arc a: , pour 'eu, conclure la hauteur méridienne de l’astre, et par suite la latitude du lieu. I
La Trigonométrie sphérique donne, pour le triangle pzs, (équ. 33, p. 4), .
^ cos'Zs = cos pz . cos P* -j- sin />z. sin ps . cos p
'' l .sin D -1- cos / .cosD .cos/>.
Mettons t — 2 sin“jj7 pour cos p',
cos zs = sin / sin D -f- cos l cos D — 2 cos l cos D sin’ ip ' — cos ( / — D ) — 2COS l cos D sin* J p.
Or, xs ■= OZ-— zm -f-a: ; le i"' membre devient dpnc cos zs zz cos X c6s zm — sinxsinzm
= (i — î X*) cos(/ — D) — xsin {I — D) ,
en développant par les séries (24 et 25), page 3, savoir
lATITUDES TERRESTRES.
COS x,= I — ïX*, sia x=x , car x étant très^petit , on peut négliger les troisièmes puissances de cet arc. En égalant donc ces valeurs de cos zs, réduisant et changeant les signes , notre cqu. devient
g X* cos (/ — B)+x 6Îa(l — D) =2cos/cosDsin*g/>. (AJ
C’est de cette équ. qu’il s’agit de tirer la valeur de l’inconnue x. D'abord nous en négligeons le carré, savoir le i*'' terme de l’cqu. qui est fort petit , et nous avons, pour première approximation,
2COS / cos D sin (/ — D)
.sin* g/^.
On a visiblement (u“ i44)î^ — D = la dist. zénith, z de l’astre lorsqu’il est au méridien = go” — la hauteur m^dienne A. D’ailleurs, x est ici la longueur d’un arc pris silr la circonférence dont le rayon est un : pour l’exprimer en secondes, il faut changer x en x sin i" (v. p. 3); ainsi on trouve pour le
nombre de secondes de l’arc x ,
2 sin* i V cos / cos D
sin I cos n
Le second facteur reste constant pour toutes les valeurs de /f, c’est-à-dire pour, toutes les observations qu’on fera ^près du méridien ; le i" facteur varie seul ; faisons
et nous aurons
2sin* sin i" ’
cos f cos D co s A
On peut ici remplacer cos A par sin z.
Pour la facilité du calcul , on réduit les valeurs de (B) en table, d’ofi l’on tire à vue celles de A qui répondent aux angles horaires j?; c’est-à-dire que connaissant la distance^ de Bastre au méridien, en temps, on trouve A: c’est la table X des r^~ duclions au méridien. {V. n® 287.}
, LATITIIDES TERRESTRES. 201
On introduira ce nombre k dans la formule (C); un calcul très facile fera donc connaître la correction x , qui ajoutée à la hauteur H observée en s, ou retranchée de la dist. zénith. Z, donnera la valeur de A , ou de z , qui est celle de l’astre quand il %st au méridien même, savoir :
Cela fait , l’équ. (i) , page 197, donnera la latitude l ; car on retombtfsur la théorie du n® i44> et l’on est dans le même cas que si l’astre eût été observé au méridien sud.
■ Ordinairetnent on prend plusieurs hauteurs successives (*) H', H”, ... ., et l’on note les heures t, . .,qui s’y rapportent. Chaquc'hauteur comporte sa correction x' , x",. . . qu’on calcule comme il vient d’être dit ; d’où résultent autant de hauteurs méridiennes qui doivent être très peu
différentes les urijcsl^cs autres: la moyenne entre n observations est considéfBe^coraine compènsant les erreurs; elle est
n'-HH''-!- . x' + x"-i-.
... = /« moyenne H entre toutes les hauteurs
+ la moyenne x entre toutes les corrections.
De ces deux parties, la i** H se lit sur l’instrument dont oç se sert pour observer (du moins en corrigeant de la réfr. et de la parallaxe); quant à la seconde , comme le Jacteur k dans l’éqü. (C) varie seul avec/», il faudra prendre pour k la moyenne entre les valeurs A', k",. . . qu’on tire de la table X en correspondance avec les divers angles horaires p',p",> . • ; cela suit
J cos l cos D . J 1
de ce que — — est un taoteur commun fie toutes les quan--
tités k', A",.,. ... ' ' •
(*) On peut cuntiniilT tes obaervations tant que, pemiaiit Iriups , U liaiitcur ne chatigo pat i]e plusde i"d'aic.
146. Ainsi, 1°. on obserrQ diverses hauteurs ou dist. zénith, consécutivès d’uo astre près du méridien, tant avant qu^après son passage , et près de ce plan ; dn note les Heures correspondantes indiquées par la montre.
2°. On calcule l’heure du passage de l’astre ( c’est midi vrai , quand il s’agit du Soleil), et l’on en conclut l’heure P que doit marquer la montre à cet instant, d’après sa marche connue (n® 102).
3“. On prend les dilTérences entre cette dernière heure P et les heures indiqué pour chaque observation; oesdifler.
sont, en minutes et secondes de temps, les valeurs des abgles horaires . . ; ces angles servent à trouver, par la table X,
les nombres k\ k",. . . : ce sont autant de réductions au méridien ; leur moyenne .est' la valeur de k qu’il faut intro4uire dans l’équ. (C) pqur obtenir la correction x.
4°. Pour calculer X, il faut observer que l’équ. (C) contient ? la latitude /, et la Itàuteur h, ou la dist. zén^i. z de l’astre au méridien^ qui sont précisément les inconnues de la question. Mais on y emploie pour l une valeur approchée, qui est toujours connue, ne fût-ce que celle qu’on tire des équ- (i , p. 197) en y prenant pour h ou z , les arcs obt enus par les observations, et considérés comme étant ceuxqui subsistent au passage méridien. Ët quant à & ou z , on tire cet arc de la même équ., savoir :
h == 90° -|-D — /, zzz^l — D.
Ce» valeurs approchées ôtent, il est vrai, au calcul sa précision ; mais comme le coefficient A est un très petit arc , il est permis d’altérer un peu l’autre facteur, sans changer sensiblement le résultat , sauf à recomn^encer ensuite le calcul', avec la valeur de f à laquelle ôn a été conduit. '
5“. Enfin, une foi» qu’on connaît la correction x^quedoit subir la moyenne H oU Z, les é^u. (D) donnent la hauteur h, ou la dist. zénith, z, qui répond au méridien, l’astre étant m. Il ne reste, pl us , pour .avoir la latitude cherchée f, qu’à introduire popr A , ou pour z, sa valeur dans l’équ: (r) du n° i44' Bien entendu que H ou Z est corrigé de la réfraction ( en
LATITUDES TERRESTRES. 2o3
ajant égard au fjaroraëtre et au thermomëtre, comme on l’a dit n” 68) et de la paralla.\e ; que la déclin. D prend le signe — quand elle est australej et qu’enfin , si l’on a observé une étoile, on en corrigera l’asc, dr. et la -déclin. de.s précession, nutation et aberration, corrections qui sont toutes faites, pour le Soleil, dans la Conn. des Tems.
Il n’est pas nécessaire que l’beure soit connue avec une extrême j^récision, et pourvu qu’on ait pris un égal nombre de hauteurs avant le passage qu’après, le résultat sera toujours sensiblement exact. Les observations faites après le pfissage répondent , il est vrai , à des valeurs négatives de p ; mais comme contient le carré, de sin j />, les nombres k' , k",. . . sont toujours positifs des deux côtés du méridien.
On voit que, .par ce procédé, on obtient pour l une quantité égale à la moyenne entre toutes les latitudes qu’on aurait déduites des diverses observations, comme si l’on eût fait en entier , pour chacune , le calcul de l’équ. (G); c’est donc comme si plusieurs astronomes avaient observé ensemble l’astre dans le méridien , et le résultat doit être considéré comme exempt des erreurs commises dans toutes ces observations.
i47- Nous avons supposé que l’astre passe au mél'îdien du côté du sud ; n\ais, pour les circompolaires', il faut examiner si ce passage est supérieur ou inférieur; car, suivant les cas, on doit choisir entre les équ. (2) ou (3) du n° i44- Le passage se faisant en d (tig. 20) entre le pôle et le zénith, il n’y a rien à changer à l’équ. (D), en se conformant d’ailleurs à l’équ. (2), p. 197; mais s’il a lieu entre fe pôle et l’horizon boréal en a, les équ. (D) exigent qu’on prenne x en signe contraire, attendu que Pastre entre au méridien en descendant, au lieu de monter ; on se sert alors de l’équ. (3). Ainsi, il faudra employer dans l’équ. (C),pour houz, la valeur ci-après,
1°. Pour le passage du côté du sud , on a
2®. Pour les circompolaires entre le pôle et le zénith , ^5=90* -f- Z— D, z = D — l.
2o4 i.atitldes terrestres.
3®. Pour les circompolaires au-dessous du pôle,
A = /-f-b— go®, z = i8a® — l- — D. .«
Mais après avoir trouvé x par l’équ. (C), on obtiendra une valeur plus C3tacle de A ou z par Iç.s équ. (D) ; seulement dans le dernier cas , on prendra x en signe contraire dans les équ. (D). Après quoi on tirera / des équ. précédentes , ou de celles de la
Le io octüb. i83o,on a pris six hauteurs du Soleil, ^rès du méridien ; la pendule retardait'de i' 5",g sur le t. moy., et comme ce temps retarde alors de 12' Sa",! sur le Solc-U vrai (d’après la Conn. des J^ems), ou en conclut qu’à midi vrai la pendule marquait 1 1* 4^'2". La déclin. © est D = 6° 33'6"A, et la moyenne des six hauteurs observées, corrigée de rélV. — parall. e.st H =4o'’35'4o", ce qui indique que la latitude diffère peu de /= 42“^' l’équ. I, n® i44)'Ona trouvé
Pviutale. ... à midi vrai.
UbsciT. . . ii.4u.i5 Diff... 5'47".^=65"7
go» A........ i.Gi56345 . 247,6 *=4'"i27-
l = 42"5i' o"..cos/ g.S65i849 90” -f- D = ‘ 83»a6'54"
D= — 6.33. 6-. .CO» D. ... 9.9971545 — H = — 4o.35.4o
h — 40.35.54. . .cos A. . — 9.8804078 — X = — 39,6
Gomme ce résultat diflêre un peu de la valeur qu’on a supposée pour l, on peut refaire le calcul en prenant /égal à l’arc qu’on vient d’obtenir. Mais comme cette opération, qui n’exige d’ailleurs que le changement de quelques chiffres, conduit au ftiéme nombre pour-x, on retrouve pour / la même quantité : c’est donc cellv? qu’on cherche , et l’erreur de la supposition n’a pas influencé le résultat.
Voici un cxeipple d’observation d’étoile.
On a pris, à Florence, dix distances zénith, de F'omalbaut
latitudes teurestres.
près (lu méridien, le i4 novembre i83o; la-moyenne, corrigée de la réfraction , est Z= 74° 18' *o",75 : la position de'cette étoile , en ayant ^ard à la nutation, la précession et l’aberration , est «
La penduif suivait le tempâ moyen. ^Comme la longitude de Florence est 35' 42* de temps à l’est du méridien de Paris , et que l’asc, dr. naoy. du Soleil croît, dans cette durée, de 5", 87, cette asc. dr. à midi moy. de Florence est plus petite que celle , de Paris de 5", 87 ( table II ), parce que midi y arrive plus tôt qu’en celte dernière ville de 35' 42*, temps pendant lequel l’asc, dr. du Soleil moyen continue de croître ( n° 107 ). |On a ( n® io4) pour cette asc. dr. à midi moy. de Paris, i5'‘32'i7*,i3; t^done, elle est i5*32'i i",26 à midi moy. de Florence.
Calcul (Te l’heure du passage (n° ii4)-
= aîl>48' i6"8o On snppose / = 43°47'‘'”
— Æ-o uioy. =
On a
Correction
i.ii,
(table J).
Pendule a
van ce.
sur temps^nioy.
heure de
la pendule au
passage.
Observ
. il 7.
Differ ....
d'pù
