Énoncé des lois de Képler-Newton

1° — Lorsqu'une hypothèse explique un grand nombre Le phénomènes, on l’applique aux phénomènes analogues; on vérifie si, oui ou non, elle est encore capable de les ne c'est-à-dire purement et simplement de les résumer, de leur servir de cadre. Or les lois de Newton expliquent notre système planétaire; nous posons donc qu’elles doivent s'appliquer aux systèmes stellaires : l'expérience vérifie qu'il en est ainsi. C’est la marche ordinaire et qui n'a rien de sensationnel.

Nous reviendrons longuement plus loin ($$ 165 et suivants) sur lhypo-

Fig. 61.

thèse de Newton et sur les lois qui en découlent, lois antérieurement énoncées par Képler comme résultat brut de l'observation. Les voici.

Lorsque deux aStres de masses m et M tournent l’un autour de l'autre en raison de leurs attractions mutuelles, le centre d'inertie G du système est ou fixe ou animé d’un mouvement rectiligne et uniforme.

Par rapport au centre d'inertie G supposé fixe, les astres m et M ont des trajectoires elliptiques. coplanaires dont G est un foyer commun. Elles les parcourent suivant la loi des aires : c'est dire que les vecteurs GM, Gm, issus du foyer G et aboutissant aux centres des astres balaient des aires proportionnelles au temps.

Il résulte de la définition du centre d'inertie que les astres sont à chaque instant sur la même droite passant par ce point.

2° — Soient a et À les demi-grands axes des ellipses décrites par m et M; soit T la durée de thon. G la constante de la gravité (force exercée par la masse 1 à l'unité de distance). On a :

G aÿ A

4 MAT ER Re te Pt is

1. Le lecteur lira les paregräphes suivants plus utilement après avoir étudié la théorie du Soleil.

Si l'on fixe la masse M, la masse m7 décrit par rapport à elle une ellipse semblable aux précédentes, admettant'M pour foyer; son demigrand axe À + a satisfait à la relation :

(a + AP — ne (M + m).

Tout se passe donc comme si M était réellement fixe, mais comme si

sa masse était devenue M + m.

Par un choix convenable des unités, débarrassons-nous de la con-

stante G.

Appliquons la formule précédente à la Terre et au Soleil. Prenons comme unités de temps l’année sidérale, comme unité de longueur le demi-grand axe de l'orbite terrestre (distance moyenne de la Terre au Soleil), comme unité de masse la somme des masses de la Terre et du Soleil. La formule précédente devient :

G— Art, (a+ A)3=T? (M + m).

Appliquons-la au système binaire que nous étudions. Nous pouvons éerire :

n SAINS 15 ï ES) è (+) = T(M + m);

R est la distance du Soleil (ou de la Terre, peu importe) à Fétoile. Or (a + À) : R est en radian l'angle à sous lequel on verrait de la Terre le demi-grand axe (a + A) de l'orbite réelle, supposé normal à la ligne de visée. D'autre part 1 : R est la parallaxe de l'éloile, angle e sous lequel de l'étoile on voit le demi-grand axe de l'orbite terrestre, supposé normal à la ligne de visée. La tortile devient :

GNT “ L (2) — TM + m).

On pourra donc déterminer la masse du système binaire si la. PÉFR laxe < est connue. La formule étant homogène par rapport à e el à peut évaluer ces angles en secondes d'arc. 06 appelle parfois par ne théorique celle qui correspond à l'hypothèse : M+m—1. Représentons-la par &,; on a :

2 , ide LE —(M-=m}e La parallaxe théorique est égale au quotient du demi-grand axe de

l'orbite par la puissance 2 : 3 de la durée de révolution. La masse du système est le cube du rapport de la parallaxe théorique à la parallaxe

vraie. Ces propositions ne sont que les conséquences de la définition et

ne nous-apprennent rien de neuf.

# Orbites réelles.

— Il est clair que l'étoile M de la figure 60 n'occupe pas un des

Le de l’ellipse. Comme nous voulons a priori que les lois de Képler- …

* Newton s'appliquent (quitte à les lâcher si nos efforts restent vains), nous concluons (ce qui du reste est tout naturel) que nous ne voyons pas l'orbite réelle O; nous n’en voyons que la projection orthogonale sur le plan tangent à la sphère céleste. Nous posons done que, cette orbite réelle O est telle que le point qui se projette en M, en est un des foyers.

Nous sommes ‘donc ramenés au problème de taupins suivant : on donne une ellipse O' et un point M quelconque à l'intérieur; trouver une ellipse O telle que O' en soit la projection orthogonale, avec la

condition que le point. M soit la projection d’un des foyers F de . l'ellipse O (fig. 62).

Je me garderai d'assommer mon lecteur par des formules sans intérêt éducatif. Je me contenterai de montrer que le problème admet une solution : c’est juste le contre-pied de la méthode classique qui résout les problèmes sans les poser.

Plaçons l'orbite apparente dans le plan æCy (fig. 62); Cz est donc la direction des rayons visuels ; le plan xCy est tangent à la sphère céleste, Les rayons visuels qui passent par Dora Lie O', forment un cylindre de section droite elliptique O’.

L'orbite réelle O est une section oblique de ce cylindre.

Remarquons d'abord que les centres de toutes les sections sont sur Cz. Puisque M est la projection d'un des foyers F de l’ellipse O, le grand axe de cette ellipse à déterminer est contenu dans le plan æCz.

Choisissons A’B’ pour grand axe de” l'ellipse O, ce qui revient à choisir l'angle «; peu importe la distance CD, puisque nous coupons un cylindre,

F , 1 / a ." 7. ape ;" HT d ; | n

126 * AE CPC PARLES A ROLEENS TRS See

Il est clair que parmi toutes les sections qui passent par A'B', nous n’en trouverons qu’une inclinée sur æCz de manière que A'B’soit son grand axe. Généralement F ne sera pas le foyer de cette ellipse.

Mais comme nous pouvons essayer tous les angles &, nous avons une infinité de sections dont le grand axe est dans le plan &Cz. Comme

Fig. 63.

mettre le foyer sur la droite MF ne représente qu'une condition apalytique, nous sommes sûrs qu'une section et une seule satisfait aux con= ditions du problème qui par suite est bien déterminé. |

* 2° — En définitive on détermine l'orbite réelle. Tant qu'on n'a pas la parallaxe < de l'étoile double (ce qui permet de calculer sa distance à la’ Terre), l'orbite est définie par l'angle apparent 3 sous lequel, de la Terre, on voit son grand axe supposé rendu normal à la ligne de visée, et par l'excentricité e. Peche 2 RARES |

Le plansde l'orbite est défini d'abord par l'angle de position p que

fait son intersection avec la sphère céleste (ligne des nœuds), avec la trace sur la sphère céleste (plan du tableau) du cercle horaire de l'étoile #0 principale; il est défini en second lieu par son inclinaison à sur le plan,

normal à la ligne de visée (plan tangent à la sphère céleste, plan du

tableau).

L'orbite est définie dans son plan par l'angle À de la ligne des nœuds avec la ligne des apsides du côté du périastre P (point où le compagnon est le plus voisin de l'étoile principale).

Rien ne précise dans quel sens tourne le compagnon sur son orbite, puisque nous n'avons que la projection de sôn mouvement. Mais les mesures spectroscopiques lèvent l’indétermination. On appelle nœud ascendant de l’orbite celui où le compagnon coupe le plan de projection en s’éloignant de la Terre : nous y considérons sa vitesse radiale comme positive. \