Équation au centre

1° — Nous verrons plus loin que les planètes ont des trajectoires sensiblement elliptiques dont le Soleil occupe un des foyers. Elles par-

É chpüque va

coté nord

S Printemps

courent leurs trajectoires suivant la loi des aires par rapport à ce foyer.

Le sommet de l'ellipse le plus proche du Soleil s'appelle périhélie: le sommet le plus éloigné est l’aphélie; le grand axe de l’ellipse est la ligne des apsides (sommets).

Quand on étudie le mouvement apparent du Soleil autour de la

Terre, le périhélie terrestre devient le périgée solaire; l'aphélie terrestre devient l'apogée solaire.

L’angle 0 ou anomalie vraie est compté à partir du périhélie, ou du périgée quand il s'agit du mouvement solaire apparent. La longitude L ne diffère de l’anomalie que par l'origine; la longitude est comptée à partir de la ligne des équinoxes (fig. 76). |

L’anomale vraie est liée au temps par la formule :

Pure 0 = vt-+%sinot+ 2 sin2ot + 1e

Nous poserons : 0=0,:+E;

0h —wt, est l’anomalie ou la longitude moyennes;

E—2 e sin w {+ …, est l'équation au centre.

D'une manière générale on appelle équalion, la quantité qu'on ajoute à la valeur moyenne pour avoir la valeur vraie :

0, = On GP fe

0, définit la position d’une planète fictive qui décrit la trajectoire d'un mouvement angulaire uniforme et passe au périhélie (0—0) et à l'aphélie (0 — 180°) en même temps que la planète réelle.

2° — Par exemple, si le Soleil se mouvait d'un mouvement angulaire uniforme sur l'écliptique, il se déplacerait par jour de 59°8",33 soit 3548",33. À partir de son passage au périgée ou sur la ligne des équinoxes, calculons pour tous les instants l'angle dont il se déplace avec

celte vilesse angulaire uniforme. Nous obtenons ainsi l’anomalie moyenne où la longitude moyenne suivant l'origine choisie.

D'autre part connaissant la latitude du lieu d'observation et la hauteur du Soleil à son passage au méridien, on a immédiatement sa déclinaison D au midi vrai. Connaissant l’obliquité w de l’écliptique, on calcule la longitude par la formule ($ 18) :

sin D = sine. sin L.

On s’est aperçu depuis des temps reculés, que la longitude ne croît pas proportionnellement au temps : /a longitude vraie n'est pas égale à la longitude moyenne. Nous sommes donc forcés d'ajouter à la longitude moyenne une quantité variable qui constitue l'équation :

Lire:

2° — Toutes ces questions deviennent d’une simplicité extrême quand on ne méprise pas les calculs numériques.

Calculons de 10 jours en 10 jours les longitudes solaires moyennes en admettant que la variation est uniforme et égale à 3548”,33 par jour de temps moyen. Peu importe la définition du temps moyen; il nous suffit de savoir qu'il est dans un rapport constant avec le jour sidéral que nous savons déterminer expérimentalement.

Placons en regard les longitudes vraies, faisons la différence; enfin traçons la courbe représentative.

Je me sers de la Connaissance des Temps pour 1945.

Une table numérote les jours et évite toutes les erreurs.

La courbe est remarquable de simplicité, Elle est quasi symétrique par rapport à l'axe des temps parce que je prends nulle la différence des longitudes au Î*° janvier et que précisément le Soleil passe au périgée (ou ce qui revient au même, la Terre passe au périhélie) au voisinage du

4° janvier.

Astronomie. — H. Bouasse. 11

4620" ERA MNT E (SOLEIL . L'équalion nulle au 1# janvier redevient nulle vers le 4e juillet. La différence longitude observée — longilude calculée est maxima vers le 4% avril, minima vers le 4e octobre. ; Le maximum est de 11810”, le minimum de — 112’ 45"; soit au total 231’ environ. C'est lé double de la variation sinusoïdale. Reprenons la formule approchée :

Loeb e sinut.

: Zfèrence Dngitude VTa1e — longitude moyenne; 6-R,,-E

, On admet pour excentricité de l'orbite terrestre (rapport entre la distance au centre de l’éllipse au foyer et le demi-grand axe) le nombre 0,01675 (1 : 60 environ).

2e—0 10335 == 115 minutes environ.

Le double 230 est précisément ce que nous venons d’ tue Nous avons en définitive :

Le —= Le mire E == La ne 145% sin oO d.

L'origine des temps est le passage au périgée (au voisinage 1® Jess 1915). |

LONG. LONG. DIFFERENCES Dr OBSERVÉES ŒALCULÉES (une constante près).

Aæ janvier. D RS O0 OA br. QG. QE 0" QE A1 — 10 21: Noms De M2 OU AT 28 9:54 93 2075 21 — 20 TP EREEEUE 300 22 40 19 42 46 | 39 54 31 — 0: EP RARE 310 32 24 29 34 9 58 15 10 février. 40.2 SAR Se 320 40 29 39 25 32 74 57 20, — SOS RRTE E SSD 4 090 49 16 56 89 39

2 mars. CORPS AU ER ED PA ON 59 8 19 101 24 12 — OR SRE ET 3504055 68 59 42 410 13 22. — SONO EN Te EUL 0 47 7 78 51 5 116 2

4er avril. ODA 40" 40e" LU 88149 08 418 10 41 — OO MR ETS NE 20 30 50 98733 52 116 58 21 — LEON RE LEE NE 30 17 54 108 25 15 412 39

4er mai. AA OMS TS ON ROPEN 40 1 28 118. 16 38 404 50 44 — 430 à LENS tonte 40e 49 42 45 1428-18 M 94 14 D RCE RÉD ENATNT RRRC E TR 59 20 36 437 59 24 81 12 31 — LD OS nn EE 68 56 25 147 50 48 65 37 10 juin LOS a ET 78 30 39 157 42 11 48 28 20 — AA OR TA AAA 88 3 46 167 33 34 30 42 30 — PER SOU A MAN EN VE ape 9:74 35 47 177 24 57 40 50 10 juillet. RON ue TN Tr a A'OTMENEET 187 16 20 — 8 33 DOUT RON ET ET 141 6: 40 419 197 7 44 | — 27 49 30 — 22 APS A A PR ET AE rs 206 59 7 — 45 58

9 août. RDA OPA SE SAT AIRE 435 47 42 21650 30 — 62 48 19 — DURE EN RER Li 145 24 10 226 41 53 —, 71 43 29 - — AO AS 2 VE pen 25512130 236 33 16 — 90 #1

DSOPIORDTEELABO TP Ne, 164 43 55 246 24 40 — 109 45 48 — 26 DRE APR Eu .| 174 98 16 256 16 3 — 107 47 28 — ADN a ER en ee tee en 21 266 7 46 — 112 15

8 octobre. CAT ARBRE NEA GN2E 245159 © 9 — 112 45 18 — DE IN SM ie CE A A ST 285 50 32 — 109 51 28 — OUR AMOR PRET ORNE 295 41-36 |1—103 33

no venibres: pal 0e" a ARENA PTIT 223 58 54 305 32 59 — 9% 5 47 EME CE 0 PA LA IN ROLL Rae D 234 2 40 315 24 29 — 81 22 27 . 230 0 AREA 244 8 46 325 15 45 — 66 59 M Uecéembren ee Æ0 Lo ep OMALET EL 254 17,19 33005 — 49 49 47 — 2 Do Sn MONT U ES AUS 264 27 26 344 58 32 — 31 6 21 360 RS AN se tel 498122 354 49 55 — 11 33

ne Point de vitesse moyenne ou d’ étuatiot maxima ou minima. — Nous avons d’une manière générale : 2

FAN Re

Par exemple, en prenant pour origine des tops le passage au périgée,

. nous avons approximativement :

" 0= w.1 + 2e sinwt.

Dans le cas général la vitesse à chaqué inst nt est :

do dE Pad

AT dt”

\ Ecrire que la vitesse vraie est égale à la vitesse moyenne, revient donc à écrire que l'équation est maxima ou minima :

d6,j:/: dE 2 RE ct

es ()

Les deux problèmes posés n’en font qu'un.

Il est immédiatement résolu par une construction géométrique simple. |

Soit a, b, les demi-axes de l'ellipse; soit ec: a l'excentricité. 2c est la distance des foyers. On a : c—Ÿa —&. Du foyer F comme centre avec le rayon R —Y ab , traçons un cercle :

il coupe l'ellipse en un point M. Je dis que pour ce point la vitesse vraie du mobile est égale à sa moyenne.

En effet l'aire du cercle égale l'aire de l’ellipse : TR = 7ab.

D'une manière générale, en coordonnées polaires », 9, l'élément d'aire ‘

a pour expression, p? d0 : 2, La vitesse aréolaire est.:

Re Qi dE Tr at:

Considérons deux mobiles v et m qui se meuvent l’un sur l'ellipse

{planète vraie), l’autre sur le cercle (planète moyenne), suivantéla loi

dès aires; ils font le tour dans le même temps. Ils doivent parcourir simultanément la même aire. Pour que leurs vitesses angulaires soient les mêmes, les rayons vecteurs doivent être les mêmes, ce qui arrive précisément quand la planète vraie se trouve aux points M ou M’.

La vitesse angulaire du mobile v est donc alors égale à la vitesse moyenne. Corrélativement l'angle E des deux planètes est maximum ou minimum.

Pour trouver les points M et M’, on calcule les coordonnées des points d'intersection de l’ellipse et du cercle :

sue LL (x—c) + y = ab.

2° — À partir du moment où la planète vraie v quitte le périhélie (point P), elle est en avance angulaire sur la planète moyenne m» dont l’angle avec la ligne des pianue varie uniformément. L'équation E est additive : pour passer du lieu moyen m au lieu vrai v, il faut ajouter quelque chose.

L'équation E croît jusqu'au point M où elle devient maxima.

Au delà du point M, la vitesse angulaire de la planète v est plus petite que la vitesse moyenne : l'équation diminue jusqu’à l’aphélie A où elle s’annule; corrélativement la vitesse angulaire de la planète v devient minima à l’aphélie.

L'équation E change de signe et devient négative, il faut retrancher quelque chose à l'angle fixant le lieu moyen m»' pour avoir le lieu vrai v'; le mobile moyen est en avance sur la planète. La valeur absolue de l'équation croit jusqu’à ce que la planète vraie passe au point M’ où de nouveau la planète vraie possède la même vitesse que la moyenne. Puis l'équation diminue jusqu’à s’annuler en P. Alors la vitesse angulaire de la planète vraie devient maxima : elle diffère le plus possible de la vitesse moyenne.

L'équation a des valeurs égales et de signes contraires pour deux points N, N’, symétriquement placés par rapport à la ligne des apsides.

3° — Si l’on connaît l’excentricité de l'orbite e—c : a, on peut donc aisément calculer l’'anomalie vraie du lieu de plus g grande équation.

On passe à l’anomalie excentrique u par la Ua ;

| et enfin à l'anomalie moyenne wt par la formule de Képler. wl=u—esinu.

91. Méthode de La Caïille pour déterminer la ligne des apsides. © - 1° — Le temps mis par le mobile vrai pour aller d'un point N au

point N, dont les longitudes diffèrent de 180°, n'est pas égal à la durée

"4 L :'ME à ee 1188: | DR ASE ET

de la demi-révolution anomalistique ne PRESS pour faire un tour de l'ellipse). $

En effet d’après la loi des aires, le temps mis à parcourir l'arc NA est plus long que le temps mis à parcourir l'arc N,P.

D'où ie que les apsides N et P sont les seuls points de la trajectoire en ligne droite avec le foyer F, tels que le passage de l’un à l’autre exige une demi- “période anomalistique.

Partant de là, voici la méthode de La Caille pour déterminer f ligne des apsides.

Nous supposons connue la période anomalistique T et le temps & que le mobile met à passer du point N au point N, qui sont en ligne droite avec le foyer.

Nous choisissons ces points peu éloignés de la ligne des SpA

Posons «= NFA = N,FP. C'est l'angle à déterminer.

1“ Jullet A P 1“/enner

Pont Vernd, Fig. 79.

Nous mesurons les vitesses angulaires p et a au voisinage des apsides Pet A Soit & et &, les temps (inconnus) que le mobile met à passer de Nen A,oude N,en P, Nous avons :’a — al; =pl:

Le temps nécessaire pour aller de A en P (demi- -période) est évidemment égal à :

T:2—=0G—1,+2, D'où :

b—h=6— ef D 412

de TA ap «(5 +) p—a°

Dans le second nombre tout est connu ou déterminable.

2° — Raisonnons d'une manière plus générale.

Les observations ont lieu quand l’astre est en A! à la distance « de | l'aphélie, et en P’à la distance 8 du périhélie.

} 1 Der ation donne le temps & nécessaire pour aller de A’ à P'; il

fournit aussi l'angle e — 8 — x, dont il s’en faut que ces points soient en + ligne droite avec de foyer.

On a comme plus haut : gout, ADS:

G—1,+i,=T:9, + Pen e—B—°,

soit deux équations à deux inconnues pour déterminer « et 8.

REMARQUE

‘La figure 79 est construite dans l'hypothèse du mouvement réel de la Terre par rapport au Soleil. Quand la Terre T passe par l'équinoxe du, printemps, elle voit le Soleil se projeter dans le signe du Bélier; le point + est donc placé comme il faut.

92, Déterminer l'orbite d'une planète par trois observations. 1° — Voici l'intéressante méthode d’approximation par échelons qui détermine, plus exactement qui corrige, l'orbite d’une planète, au * moyen de trois observations.

Les formules à satisfaire sont :

u—esinu = wl, cos Te (1)

Nous déterminons trois positions de la planète, c'est-à-dire les angles 6,,0,, 0, à partir d'une origine provisoirement choisie, qui devrait étre le périhélie mais en est seulement voisine; simultanément nous déterminons les temps £, £, £, correspondants. Par hypothèse on connaît exactement la période anomalistique T —2 x : vw.

Supposons d'abord l’excentricité e et l'azimut de la ligne des apsides, exactement connus. Transportons 0,, 6,, 6,, dans la seconde équation (1); nous trouvons trois valeurs de u. Transportons-les dans la première équation (1); nous trouvons trois valeurs r,, r,, r,, de £ qui satisfont à la relation :

b—u=b—z=tk-r

Mais par hypothèse ni l'excentricité ni l’azimut de la ligne des apsides ne sont exactement connus. Prenons donc comme droite de référence cette ligne (inconnue); elle fait avec notre droite de référence provisoire l’angle +.‘Remplaçons e par la valeur vraie (inconnue) e +-e,

La seconde équation (1) devient :

(e + €) + cos (0 — +)

cosu — D'ÉR )cos (2)

2° — Il s'agit de trouver set q de manière à satisfaire aux obser- Yations.

te :

ML CO rà k ” 7

Voici la méthode de Lalande dont je simplifie considérablement l'exposé.

Utilisons d’abord les obéers ations Let II.

Entre elles s'est écoulé un temps connu À, —{, qui doit satisfaire à l'équation :

(u, — ne (ee) (sinu,—sinu,)=o(é,—E#). (3) .

Cherchons quelle relation doit exister entre e et # pour que les deux équalions (2) en 6,, 6,, et l'équation (3) soient simultanément satisfaites.

Pour cela utilisons la méthode de fausse position en échelonnant nos hypothèses.

a) Faisons d’abord = 0. | Nous avons à satisfaire les équations suivantes : . e + cos(i,— e + COS (8, — COSU, — SN CF A COSU, — (er 59)

1+ecos(, — 9) ? L+e cos(0, — 0) ?

ainsi que l'équation (3).

Pour cela donnons successivement à + les valeurs arbitraires mais

petites +, et », (fig. 80, auxiliaire à droite). | Calculons u, et u,; transportons-les dans (3). Calculons les quantités :

[(u, — u,) — e (sin u, — sin u,)] —v (4 — 1) —E, et Eee

Une interpolation linéaire donne le point P et la valeur +’ de + qui . correspond à E —0. a

Nous sommes done en possession d’un système de valeurs :—0, g— 9, qui satisfait aux équations données.

6) En second lieu faisons o —0.

Nous avons à satisfaire les équations :

(ee) + cos, (e+e) + cose, COSU, —= = 1+(e+e)cos0, NET (ES SIC SE

cos re

ainsi que l'équation (3).

Donnons successivement à e les valeurs quelconques mais petites e, et e, (fig. 80, auxiliaire en haut).

Calculons u, et u,; transportons-les dans (3). Calculons les quantités :

[(u,—u)—(e+e)(sinu, —smu,)] —o(i—{)=E;etE,.

Une interpolation linéaire donne le point Q et la valeur e’ de « qui correspond à E’— 0. Nous sommes donc en possession d’un second système de valeurs 9 —0, e—e", qui satisfait aux équations données.

Nous raccourcissons les calculs en faisant e, —0,9,—0;d'oùE, —E;. Les constructions sont du reste les mêmes.

c) En raison de la petitesse des quantités «et », nous pouvons admettre que tous les couples de valeurs « et qui sont sur la droite PQ, sont au même titre des solutions de la question posée.

En effet d'une manière générale l'erreur E est une fonction dec et de +, que nous pouvons limiter aux termes du premier degré :

= E, + ac + bo.

La condition E — 0, donne la droite :

E, + ae + bo —0.

d) Recommencons les opérations sur les observations Il et III : nous

déterminons une seconde droite. Le point R intersection des deux droites

donne les corrections « et # qui satisfont aux trois observations.

Indépendamment de toute question astronomique, ce qui précède donne la manière de tâtonner systématiquement pour résoudre un système de deux équations transcendantes à deux inconnues.