GÉNÉRALISATION DE LA SÉRIE DE LAGRANGE

Soi une fonction r—F (u), de la re u définie par l'équation:

On demande son dé lobes en une, série ordonnée suivant les puissances croissantes de e. pee comme plus haut : DEN

4, r= W(e)=W(0) + (O)+- ur (0) + F3

ee

D'où pour e—0, c’est-à-dire pour u = x :

dr à ÿr 2 Ÿr le = (0), ve — #”(0), ses = #”(0), TT (5) D'autre part on a r dF RCA LT Gé 3e Eu) dé. (6) Ÿr 5 dw \? ; vu = Fu) (RE) + FE,

» 31 \? du Ÿ ÿ ‘ De pu) (2) sp) dE pq lt.

à de

Les formules (3) fournissent les dérivées successives de u par rapport à e. Cherchons les valeurs des dérivées de r parrapport à e pour u =x, e —0 ; identifions avec les formules (5).

(JR 4:

Et ainsi de suite. D'où la formule générale : ! ë Re 6 r FF (+ LP) 2e | FOR) nie DS Pate) À 1,2:3; de? US 9° — APPLICATIONS.

DisTANCE.

riad AÂ-ecosu<F (a):

F'(u)—=esinu, f(u)—=smu.

, I vient :

e dsinx r°a—=1—ecosx + e? sin? x + — 9

pa op ria—=1l—ecosot + < D (A — cosdot) + : (7) ANOMALIE VRAIE. " On trouve :

= wt+ 2 sinut + sind (8)

= = w + 2eu COSw + pie cos 2wi+ ...:

dt 2 L'origine des temps est prise au moment du passage au Ve alors que d’après la loi des aires la vitesse est maxima et le rayon vecteur . minimum : c’est bien conforme aux formules (7) et (8).

160 VEUBE SOLEIL

Pour trouver la formule (8) il n’est pas nécessaire d'appliquer la série . de Lagrange; on part de la formule (7) ét de la loi des aires. On écrit , que 7*v est une constante; en d’autres termes, on écrit que les termes en e et en €? disparaissent dans le développement du produit.