Position de l'ellipse sur l'écliptique

1° — À l'apogée le disque solaire est le plus petit possible ; au périgée il est le plus grand possible; mais comme au voisinage d'un maximum ou d’un minimum la variation est nulle, on détermine la position des apsides en cherchant pour quelles longitudes encadrant les apsides, le diamètre apparent a les mêmes valeurs; on prend la bissectrice des, directions ainsi déterminées.

La méthode ne vaut pas grand’chose,

La mesure des diamètres apparents au périgée 5 et à l'apogée 5’ fournissent l'excentricité; il est même suffisant d'observer au voisinage des apsides.

$ è a+c __1+e ___Ô— QUAs F Tati her hr est

Pour juger de la valeur de cette méthode, on saura que le diamètre apparent moyen du Soleil est de 32/4", soit 1924". Admettons 0,0168 pour valeur de e, on a :

2 — La loi des aires fournit une méthode corrélative de la précédente, basée sur la détermination des vitesses angulaires en longitude :

as.

à l'apogée la vitesse dL : dé est minima, elle est maxima au -périgée.

Ici encore on cherchera, non pas la longitude pour laquelle la vitesse

est maxima ou minima, mais les longitudes pour lesquelles elle reprend la même valeur : la bissectrice des directions ainsi déterminées est la

ligne des apsides.

: On trouve que le Soleil passe à l'apogée vers le 4° juillet, un peu

Egurnoxe d'automne

* Æoint vernal | guinoxe du Printemps

[l Trajectorre epperente du Soleil supposée vue @u côté 70rd4

k Fig. 102.

après le solstice d'été, au périgée vers le 1° janvier, un peu après le solstice d'hiver; la longitude du périgée est actuellement de 281°16/. Soit v et v’ les vitesses maxima et minima.

La loi des aires fournit la relation :

/ U e, | Ê T ÿ2 > d’où : EE —— >,

Les observations sont assez précises depuis assez longtemps por déceler une rotation de la ligne des apsides de 12’ par an dans le sens direct (sens de la flèche F). La ligne des équinoxes tournant moyenne- + ment en sens inverse de 50” par an (précession des équinoxes), la ligne dés apsides s'en rapproche annuellement de 62” environ, un peu plus « d’une minute. ï :

Ptolémée indique pour longitude de l'apogée 65°30° par rapport à l'équinoxe de son temps; elle est aujourd’hui 101° 16° par rapport à notre équinoxe. La ligne des apsides a donc tourné de 36° environ par rapport à l'équinoxe mobile. En réalité elle n’a tourné que du cinquième de cette quantité par rapport à un équinoxe fixe (par rapport à une étoile fixe qui aurait été justement sur l'équinoxe de Ptolémée).

3° — MÉTHODE DE La CAILLE.

Appliquons la méthode dont au $ 91 nous avons expliqué le principe.

La Caille observant äau Cap trouve pour la longitude géocentrique du Soleil :

30 juin 4751 . . . . . ... . 02255 98;70"2% 0 décembre "tete MED 3 D 278. 30 5.

On sait d'autre part que la vitesse diurne apogée est : 5719 — 3 439". — périgée est : 64 12 — 3 672.

La demi-année anomalistique est 1821 15° 62 57. * L'intervalle entre les observations est 183) 07 5s. La différence f LE PR? est 8h 537 85, On a : a—B—21" 3"— 1263". (4)

Transformons en fractions de jours et en secondes d'arc. 11 vient :

2 B Le (9 AY G 3439 V-DBIS T0 LR dot.

On tire de là : fe a — 1498" — 93" 45", B— 949".

Ce qui donne pour longitude géocentrique de l'apogée : 98° 3247",

117. Formules élémentaires. 4 Comme je l'explique dans la Préface, s’il est très difficile de calculer L les phénomènes avec toute la précision que comportent les instruments | modernes, il est très facile d'en acquérir une vue d'ensemble. Les for- © mules de première approximation fournissent déjà des résultats excellents, plus que suffisants pour nous qui ne jouons pas les Le Verrier. … 1 Voici quelques résultats numériques qui le prouvent.

1° — Reprenons la formule de première approximation établie au $ 88. Se Pour éviter le double emploi du symbole w, écrivons-la sous la forme : =: d6 :

6— nt+esinné, pr rene cosné. (D) #

Prenons le jour (de temps moyen) pour unité de temps : nous verrons que l’année tropique ($ 423) contient 365,2422 jours. La constante n est donc définie par la condition :

365,24992 >< n'— 1 296 000 secondes,

. {à 50” près, valeur de la précession). D’où n—3 548,3 secondes : c'est la variation de la longitude royenne pendant un jour de temps moyen. Admettons 0,01675 pour l'excentricité e.

Le coefficient du terme périodique dans la seconde formule (L) est :

0 0335 X 3 548, 3 — 119 secondes.

u Autrement dit, les variations enr de la longitude au périgée {1—0) et à l'apogée (nt— x), diffèrent de 2>< 119 — 938 secondes. Dans la Connaissance des Temps nous trouvons les longitudes suivantes à midi (temps moyen) :

avec AS 280 0’ 1” ASanvier 1919%%08%3,",2807- 0": 1 Différence 61! 8" 3 668" *

CPE ET SE CRE 1° juillet 1915. RFOONE 98° 39! 57" se | a À DONNE TRS | 90 40 R. Dérence 87 41?=—3 431",

La moyenne est 3 349"; la diflérence est 237”; ce qui est conforme avec les formules (1) qui sont donc très approchées.

Le 1° janvier est voisin du périgée, le 4* juillet voisin de l'apogée.

2° — Au voisinage des équinoxes le second terme de la seconde for-

mule (1) s’annule : la vilesse d0 : d£ est donc voisine de 3 548" environ, La variation d'ascension droite est donc :

3540:>< Cc0823° 27 — 39253",

- Or entre les midis moyens le 20 et 21 mars 1915 l’ascension droite varie de 3 minutes 38 secondes, soit 218 secondes de temps, soit 3 270” d'angle. Notre calcul ne devait pas donner un résultat plus rigoureux, parce que la ligne des équinoxes n'est pas à 90° exactement de la ligne des apsides; il s’en faut de 10°.

* La variation diurne de déclinaison au voisinage des équinoxes est

voisine de :

3048 <Csin2397— 1.419",

po Effectivement les tables donnent 1422", un peu moins de 24, 118. Variation de l'écliptique.

1° — Les observations montrent que l'obliquité de l'équateur sur

l'écliptique diminue avec une vitesse à peu près constante de 48" par - siècle. En fait il s'agit d'une variation périodique dont la période est

énorme. Je rapporte plus haut une observation de Pythéas de laquelle

résulte que depuis 2150 ans, l'obliquité a diminué d’une vingtaine de,

minutes ($ 89).

Cassini IT nous apprend qu ‘en 66 ans, les déterminations de la hauteur x … méridienne du Soleil au solstice d'été indiquent une diminution de 30” 3 pour lobliquité de l'écliptique. Er 1740, Cassini donne l'angle 23° 28" 20". ” Eratosthène qui vivait 230 ans avant J.-C., avait trouvé que la diffé-

CL, Ve

rence entre les hauteurs du Soleil pour les deux solslices était de

11 partes dans un cercle divisé en 83; d'où l'on conclut un angle de

47° 4240", et une obliquité de 23° 51' 20”.

On possède de nombreuses déterminations au cours des siècles. Elles montrent une variation toujours dans le même sens et qu'aux erreurs d'expérience près, on peut admettre régulière. 7

2° — Reste à savoir lequel des deux plans se déplace, de l'écliptique ou de l'équateur. Il résulte des calculs dont je vais parler que le pôle de l’écliptique n’est pas fixe. | É

Reprenons les formules fondamentales qui relient les coordonnées équatoriales et écliptiques :

sin D = sin /.c0sw + cos/.sine.sinL, cosD.sin/R ——sin/.sine + cos/. cosw.sinL, (1) cosD.cos R — cos/.cosL.

Supposons invariable le plan de l’écliptique : la latitude / serait donc constante au cours des temps. Négligeons la nutation qui est périodique à courte période; ne conservons que la précession : il en résulte une augmentation séculaire de la longitude. Si l'obliquité w change parce que l'équateur s'incline sur l'écliptique fixe, les formules précédentes permettent de calculer l'ascension droite ÆR et la déclinaison D des étoiles, il y a 20 siècles par exemple, en fonction des valeurs actuelles 2R, et D, des coordonnées, connaissant la latitude actuelle ainsi que la variation d'inclinaison et la variation de longitude.

Or les observations de Ptolémée fournissent pour certaines étoiles la déclinaison et l’ascension droite il y a 20 siècles; /a comparaison des valeurs calculées avec les nombres de Ptolémée interdit d'admettre la fixité de l'écliptique.

Admettons au contraire que l'écliptique s'incline vers l'équateur en tournant autour de la ligne des équinoxes comme charnière. Connaissant la variation de l’obliquité, c'est-à-dire la rotation de l'écliptique, nous pouvons calculer la variation de la latitude. Les formules (4) sont encore applicables, à la condition de ne plus considérer la latitude comme constante : nous en déduirons pour l'époque de Ptolémée ou d'Hipparque des ascensions droites et des déclinaisons autres que les premières calculées dans l'hypothèse de la fixité de l'écliptique. Les secondes s'accordent beaucoup mieux avec les observations anciennes.

3° — Je raisonne sur les déclinaisons et les ascensions droites parce

que ce sont les résultats les plus précis des observations. Si l'on pou-

vait commodément voir en même temps le Soleil et les étoiles, le déplacement de l’écliptique se prouverait à l'œil nu en déterminant, au voisinage des solstices, les variations de la distance des étoiles au Soleil normalement à l'écliptique, c'est-à-dire les variations des latitudes: ce qui serait facile en prenant des étoiles assez proches. Il faut observer près des solstices, parce que, l'écliptique tournant sensiblement autour

: à : Pi | ; A ÉTUDE DU MOUVEMENT SOLAIRE APPARENT .221

de la ligne des équinoxes comme charnière, ée sont les étoiles voisines de la position du Soleil lors des solstices, dont les latitudes varient le plus au cours des siècles. Elles ont varié d’un tiers de degré depuis Hipparque. Autrement dit, une étoile voisine du solstice d’été sur laquelle le centre du Soleil passait au temps d'Hipparque, se trouve maintenant à quelques secondes au-dessus du bord supérieur du disque solaire, lorsque les longitudes de l'étoile et du Soleil sont'égales.

Pour fixer les idées sur les ordres de grandeurs, le lecteur se rapellera que le diamètre apparent du Soleil est de 32’; par conséquent une variation de 20' est une quantité relativement énorme.

Tycho Brahé qui passa sa vie à observer les étoiles, compara ses propres observations à celles de Ptolémée. Il trouva que les étoiles voisines des solstices avaient changé de latitude. Les étoiles voisines du solstice d'été dont les latitudes étaiént méridionales, avaient des latitudes plus petites au temps de Tycho qu’au temps de Ptolémée; toutes celles qui se trouvaient au-dessus de l'écliptique, avaient au temps de Tycho des latitudes plus grandes qu'au Lemps de Ptolémée.

Il faut que le lecteur ne se laisse pas accabler par les variations de l'équateur et de l'écliptique qu'à d’autres instants nous prenons comme plans de repère fixes. Nous possédons dans les étoiles des repères d’une fixité quasi absolue, en mettant à part celles peu nombreuses qui ont des mouvements propres; encore sont-ils très petits. Il faut toujours que le lecteur imagine les positions instantanées de l'équateur et de l'écliptique tracées sur la voûte céleste : toutes nos mesures ont ce tracé pour but. En définitive nous déterminons le chemin que parcourt le’pôle sur la sphère céleste, le chemin que le Soleil (vu du centre de la Terre) décrit parmi les étoiles : nous ne déterminons que cela. Ce n’est pas sensationnel, je l'accorde; mais au moins ce n'est pas difficile à comprendre! Par commodité nous prenons pour plan de référence provisoire l'équateur. Comme il varie relativement vite (ce qui ne veut pas dire beaucoup}, nous avons intérêt à calculer les longitudes et latitudes célestes qui sont moins variables, c'est-à-dire à prendre l’écliptique pour meilleur plan de référence.

Mais ce ne sont là que des procédés pour rapporter les positions aux étoiles.