CADRANS SOLAIRES

Sur le plan P prenons cette droite pour axe des x; prenons la trace du méridien z0y pour axe des y. Soit A la distance QO du point Q qui porte ombre au plan P (xOy) de projection.

On vérifie aisément que l’hyperbole a pour équation :

y d* te D — t9°D.

Fig. 116.

‘ On obtient les deux branches de la même hyperbole pour + D: l'un correspond à + D, l’autre à + D, 3° — ÉQUATION DÜ CÔNE ET DE SES SECTIONS PLANES. Utilisons les figures 115 et 117.

Le cône d’axe QZ et de demi-angle au sommet 90 — D, a pour équation :

Y2+ x*— cotg*D. 2°.

Changeons le système d'axes YOZ en le système yQz qui fait avec lui l'angle «.

On a : Y=—ycosa—zsine, Z—ysina+zcose.

L'équation du cône devient :

(y cosa —zsin2) + x?— cotg?D (y sin + zcos a).

On veut l'intersection par un plan parallèle à yQx’ tel que sa distance à yQOx mesurée suivant l'axe du monde égale la longueur à du style. On prend le pied R du style pour nouvelle origine des coordonnées.

24, …. Jifaut poser QÙ= z2— — 5 cosu, et remplacer y par y —5sina.

262 UE SOLIDE LR L'équation de l'intersection est :

y? costa + x? cotg°D (y sinx — d)?.

Dans les cas traités ci-dessus on a : :

Cadran équatorial 4—0, | Ra brcote D:

Cadran polaire x==90? 2° Lg D — (y — 5},

Cette dernière équation représente évidemment deux droites puisque nous coupons le cône par un plan passant par son axe: pour obtenir

Axe au Mornce

ns \

Fig. 117.

l'hyperbole convenable, il faut couper par un plan parallèle à l’axe du cône (voir plus haut). Le lecteur remarquera que les termes du second degré sont identiques dans cette équation et dans celle trouvée plus haut, ce qui est évident à priori. |

140. Cadrans horizontaux. + 1° — La figure 118 montre l'horizon, le style CS. Le tableau est pris pour méridien.

Dans le triangle rectangle SNA, on a :

tg x — sin À. te A, (1)

qui donne l'angle « de la méridienne GN avec les traces CA des plans

horaires, en fonction des angles horaires A, par suite en fonction de ce

que nous appelons l'heure solaire vraie; À est la latitude du lieu (hauteur

du pôle au-dessus de l'horizon). AMEN, La formule (1) se construit aisément (fig. 119).

EE. Re) ; “à ON— CN. 0 7 ne .

| Joignons Cet Oàun point quelconque A de la porpendieulaire TNT

à QUEST | 47 EX. Le ca AVES" Pie #- Éd Fe j il ke 2e 4 >» Y 4 :

tre a Fig. 118. e | ” | menée sur CN :les angles + et A sont évidemment reliés par la formule (1). Pour trouver les droites qui correspondent aux diverses heures, on 4 Te x we ñ “js J n ù C ‘ UC EeATS Fig 119,00 EE: LA y $ ETES =. Û 4 divise le cercle de centre O et de rayon ON en 24 parties, on mène les rayons correspondants, enfin on joint L point C à leurs points d’ inter- ; section avec Le D ÿ ANGES “ / ER Le MT ES " : Le PT er 4 ’

264 LE SOLEIL Pour plus de solidité, on utilise parfois une lame métallique fixée

normalement sur le point du tadran dans le méridien (fig. 120). L'angle À

est égal à la latitude.

2° — L'étude de la trajectoire Q’ de l'ombre d’un point Q du style

nous ramène au gnomon ($ 99) : il est clair qu’elle ne dépend pas de la

disection du style; elle est la même que lé style soit vertical ou dirigé suivant l'axe du monde.

Nous devons couper par un plan horizontal un cône d’axe parallèle à

Fig. 120.

l'axe du monde et dont le demi-angle au sommet est le complément de la déclinaison.

À l’équinoxe, le cône s’évanouit en un plan : la trajectoire est une droite.

Posons COQ —5; c'est la distance au point C du point Q dont on cherche l'ombre. Prenons CN comme axe des y: comme axe des Œ} prenons une horizontale passant par le point C et située dans le premier . vertical. L'équation de la trajectoire diurne s'obtient en posant a — 90 — À dans l'équation du $ 139 :

y*. sin?\+æ?= cotg?D (y cos — 5}? é (4) | Pour D—0, on retombe sur la droite équinoxiale UD 00S Au pôle, l'horizon se confond avec l'équateur, la trajectoire est un

cercle ($ 138) :

À—90?; a? + y?= à cote D.

La trajectoire est une parabole quand la condition : sin?) — cotg?D. cos”, tg?2x — cotg?D, + D = 90,

est satisfaite. Ce n’est possible que dans la zone glaciale,

Pour À < À,, la courbe est une hyperbole; c'est une ellipse pour 1 > AU

En définitive dans les zones tempérées les arcs diurnes sont toujours des hyperboles.

À midi vrai la longueur de l'ombre est :

ôcosD

no LE cos (1 — D) (2)

be de: on si fe