Détermination de l'orbite

1° — On suppose avoir trois observations complètes qui donnent les

SC

Fig. 207.

directions de l’astre pour trois temps connus. Connaissant, par exemple, les ascensions droites et les déclinaisons Par comparaison avec des étoiles connues, nous pouvons calculer les coordonnées écliptiques géocentriques (S 18).

Mais là commence la difficulté. Les calculs de l'orbite ne sont simples qu'avec les coordonnées écliptiques héliocentriques; d'autre part nous

Le

PURES ei: | “ MONTE ANORE

ne pouvons passer des unes aux autres ($ 182) puisque nous ignorons les distances de l’astre au Soleil.

Voici comment on procède par tâtonnement.

Soit T la Terre, C la Comète, S le Soleil. Nous connaissons la distance b— TS au moment de l'observation; la longitude géocentrique de la comète, supposée connue, donne l'angle d'élongation E. Nous avons :

: \ GER FL RS ne E + C = 1802,

sin E sin ? sis

Prenons arbitrairement à; nous pouvons dès lors calculer y, puis C. D'autre part nous avons :

Lo AgA—ET=D tel, 1 d'ou emOMoT—=SinP 1e

L'observation réduite donne la latitude géocentrique À; nous pouvons donc calculer /. Enfin nous avons : î

PCOSUSES, s

Bref l'observation donne E et À; nous prenons arbitrairement à; nous pouvons dès lors calculer les coordonnées héliocentriques. Nous déduisons la longitude héliocentrique de la valeur de l'angle C, puisque nous connaissons l'instant du phénomène, par suite la direction de la droite TS; nous pouvons d'autre part calculer let r.

2° Recommençons le même calcul pour la seconde observation, en choisissant encore arbitrairement la distance au Soleil.

Soit L la différence des longitudes héliocentriques; l', l”, les latitudes héliocentriques pour les deux observations.

L'angle © dans le plan de l'orbite est :

cos® = sin’, sin/"— cosl'. cosl'.cosL.

Nous voici donc ramenés au problème suivant : Dans le plan de l'orbite on connaît deux positions Cet C” de l’astre par leurs rayons vecteurs r’ et r”, et par l’angle 6 qu'ils font. Le $S94 nous apprend à calculer complètement l'orbite parabolique correspondante.

30 — Mais nous avons introduit deux arbitraires à’ et à”. D'autre part nous n'avons pas encore utilisé une des données expérimentales : La différence des temps des observations. Or lorsque la trajectoire parabolique est connue, la distance périhélie q est connue, ainsi que les anomalies vraies 0’ et 0” qui correspondent aux deux observations : la

formule rappelée au $ 265 permet de calculer le temps ?”— F qui sépare

les observations.

Calculons-le, comparons-le au temps expérimental : il y a fort à parier qu'il n'y a pas concordance. L'écart est e,.

C’est ici que commence le tâtonnement.

Recommençons nos calculs avec une autre valeur de 5’. Nous trouvons un écart «,. Pourvu que e, et «, ne soient pas trop distants, une

… COMÉTES &61 interpolation linéaire fournit la valeur à donner à 3” pour que e s'annule. Ainsi nous trouvons une parabole qui satisfait parfaitement bien à deux des observations, mais dans le calcul de laquelle intervient comme arbilraire la distance 3’ de la comète au Soleil lors de la premiére observation. Ê

4 — Il s'agit d'introduire la troisième observation.

Pour cela, sur la trajectoire parabolique connue, nous déterminons la position du mobile à l'heure de la troisième observation. Nous la projetons sur l'écliptique; nous vérifions si la longitude géocentrique de cetle projection est bien celle que l'observation nous a donnée.

En général il existe un écart Fi

Nous recommencons alors tous nos calculs, en faisant sur 5’ une nouvelle hypothèse. Nous calculons d'abord la parabole qui satisfait exactement aux deux premières observations; nous déterminons sur elle la position du mobile à l'heure de la troisième observation. Nous la projetons sur l’écliptique : nous vérifions si la longitude géocentrique de cette projection est bien celle que l'observation nous a donnée.

En général il existe un écart Tai

Nous faisons maintenant l'ultime tâtonnement.

Deux hypothèses 3 et à, sur Ÿ’ ont fourni des écarts T et , : par une interpolation linéaire, cherchons quelle hypothèse sur 5’ annule l'écart r. Une règle de trois fournit immédiatement de

Il ne reste plus qu’à recommencer une troisième fois nos calculs avec l'hypothèse 3: Nous calculons exactement la parabole qui satisfait aux deux premières observalions. Nous vérifions qu'elle représente la troisième : en général il s’en faut de peu. J :

5° — Toutefois on ne peut s'attendre à ‘une concordance absolue, L'orbite parabolique est déterminée par 5 éléments, tandis que 3 observations complètes fournissent 6 conditions. C’est du reste évident d'après la marche des opérations elles-mêmes. Quand nous calculons la position de l’astre sur la trajectoire qui satisfait complètement aux deux premières observations, nous pouvons vérifier la concordance à la troisième et calculer les écarts +, non plus avec la longitude géocentrique, mais avec la latitude. Rien ne dit que les résultats seront les mêmes. Eu pratique on choisit 5, de manière que l'erreur en longitude soit du même ordre que l'erreur en latitude.

Il existe des méthodes plus directes; mais elles donnent lieu à des

calculs plus longs que la méthode de fausse position. À la vérité les

mathématiciens modernes la méprisent par ce qu'elle manque d'élégance, surtout par ce qu'en l’appliquant on est obligé de comprendre ce qu’on fait.

267. Comèêtes périodiques. Comete de Halley. Comète à courte période. | 1° — On comprend de quelle importance est l'établissement de la

périodicité d'une comète. Si les comètes avaient une figure stable, on pourrait les reconnaître à leur allure. Mais elles se modifient de teile manière que ce serait un mauvais critérium pour les identifier. \

On assimile donc une comète à une comète précédemment vue par la comparaison de leurs trajectoires paraboliques.

Le lecteur pourrait croire que, pour savoir si oui ou non la comète est périodique, il suffit de déterminer si son orbite estelliptique ou non. Mais si l’ellipse est très allongée, il est impossible de déterminer son grand axe autrement que par la période, en s'appuyant sur la troisième loi de Képler. On détermine donc l'orbite comme parabolique; c'est après la constatation de la périodicité qu'on transforme la parabole en une ellipse d’après la longueur calculée du grand axe.

2° — Voici l'histoire classique de la comète de Halley.

Halley calcula les éléments paraboliques d’une comète rétrograde observée en 1682. Les voici tels qu'ils sont devenus aujourd'hui (à partir de l’équinoxe de 1910, O).

Il les trouva très voisins de ceux d’une comète observée en 1607, c’est-à-dire 75 ans avant. Remontant vers le passé, il constata l'apparition d’une comète en 1531 ayant encore a peu près les mêmes éléments.

La périodicité se trouvait mise hors de doute.

Effectivement la comète est revenue en 1759, 1835, 1910. De 1531 à 1910 se sont écoulés 379 ans qui représentent 5 périodes de 76 ans.

Connaissant la période, on peut calculer le grand axe de l'ellipse; connaissant la distance périhélie, on a la distance aphélie et l'excentricité, {

Dist. périhélie — 0,59 Dist. aphélie — 35,30 Excentricité — 0,967 .

Ainsi l’ellipse décrite par la comète d'Halley s'étend au delà de l'orbite de Neptune.

3° — Les comètes peuvent être capturées de manière que leurs

périodes soient beaucoup plus courtes. Celle dont la période est la plus - courte (1200 jours ou 3,3 ans), dont par suite la distance aphélie est la plus petite (4,09; la moyenne distance de la Terre au Soleil est prise: pour unité), est connue sous le nom de comète d'Encke ou de comète à courte période. Son orbite reste toujours comprise à l'intérieur de l'orbite de Jupiter..Sa distance périhélie est 0,34.