AVERTISSEMENT

L'expérience de l'enseignement m'a prouvé qu'on peut simplifier encore sur plusieurs points l'étude de l'Analyse. D'autre part, des recherches approfondies sur différentes branches des Sciences mathématiques m'ont conduit à des résultats nouveaux et à de nouvelles méthodes qui fournissent la solution d'un grand nombre de questions diverses. Déjà quelques-unes de ces méthodes se trouvent indiquées dans des Notes que renferme le Bulletin des Sciences, et présentées avec plus d'étendue dans les deux Mémoires lithographies en i83i et i832. En attendant que je puisse donner à ces matières de plus amples développements parla publication de Traités spéciaux, ou la reprise des Exercices de Mathématiques, j'ai pensé qu'une série d'articles destinés à offrir le résumé des théories les plus importantes de l'Analyse, soit anciennes, soit nouvelles, particulièrement des théories qu'embrasse l'Analyse algébrique et des méthodes qui en rendent l'exposition plus facile, pourrait intéresser les géomètres et ceux qui s'adonnent à la culture des Sciences. Tel est le but que je me propose dans le présent Ouvrage, qui paraîtra par cahiers à des époques plus ou moins rapprochées les unes des autres, suivant le plus ou moins de temps que les circonstances me permettront d'y consacrer.

Œuvres de C. — S. II, t. X.

§ I . — Sur les nombres égarés.

Désignons par {m)^ le nombre des produits qu'on peut former avec m lettres a, b, c, ... combinées nlà n. Parmi ces produits, le nombre de ceux qui renfermeront la lettre a sera évidemment

et le nombre de ceux qui renfermeront seulement les m — \ autres

lettres b, c, ... sera

On aura donc

De plus, si l'on forme : i° les produits qui renferment la lettre a et dont le nombre est (m — i)^, ; 2° les produits qui renferment la lettre b et dont le nombre est encore (^m — i)„,, ..., on obtiendra en tout

produits. Mais, en opérant de cette manière, on obtiendra n fois chaque produit; car, si /i = 3, par exemple, le produit abc sera compris, et parmi ceux qui renferment la lettre a, et parmi ceux qui renferment la lettre b, et parmi ceux qui renferment la lettre c. Donc

(2) ^rtx)^——{m — \)^^.

Observons enfin qu'on aura évidemment

(3) {m)iz=m,

et que, à chaque produit formé avec n lettres prises dans la. suite a, h, c, ..., correspond un seul produit formé avec les m — n lettres restantes; d'où il suit qu'on trouvera généralement

Si au nombre m, qui doit toujours être égal ou supérieur à n, on

attribue successivemont les valeurs

l'expression {m)^ engendrera la suite des nombres

qu'on appelle les nomhTQS figurés de l'ordre n. Ceux du premier ordre seront, en vertu de la formule (3), les nombres naturels

et généralement ceux du premier, du second, du troisième ordre, etc. composeront la seconde, la troisième, la quatrième, ... ligne horizontale du triangle arithmétique de Pascal, savoir

s égaux a

Dans ce Tableau, les termes de la première suite sont tou: l'unité. De plus, le premier terme de chaque nouvelle suite, équivalent lui-même à l'unité, est avancé d'un rang vers la droite par

rapport au premier terme de la suite précédente; et chaque nouveau terme d'une suite quelconque est, en vertu de la formule (i), la somme qu'on obtient lorsqu'on ajoute au terme précédent de la même suite le nombre qui se trouve immédiatement au-dessus. 11 en résulte que le «'^™^ terme de la suite des nombres figurés de l'ordre m + i est la somme des n premiers nombres figurés de l'ordre m. On a donc

(5) 1 + (/« + !),„+ {m-{- 2)„, + ...+ (m + n — J)m={m-i-fi)„^^i.

Au reste, la formule (5) peut être déduite immédiatement de la formule (i).

De la formule (2) on tire successivement

et, par suite,

, ^ , , ^ mm — 1 7)1 — 2 m — ( /* — i )

7n(m ~ }) . . .(fn — n -\- j)

Cela posé, la formule (5) donnera

(m + i)(mH-2) I 4- (m + i) H- ^ — '-

Ainsi, en particulier,

(g) I + 2 -1-3 +. . .+ rt — '

(lo) i-h 3 4-6+. . .4-

(II) I I 4 1 10 1 ... 1 n('^^^)(^-^'^) ^n(n-^i)in-^-2){7i + 3)

En vortu de l'équation (9), les sommes des n premiers termes des progressions arithmétiques

seront respectivement

(12) et

(15) «a + [ I 4- 2 + . . . + ( n — I ) J o = /trt M o = n

Le second membre de la formule (12) ou (i3) est le produit d(^ n par la demi-somme du premier et du dernier terme de la progression que l'on considère.

Si l'on indique la somme des n premiers termes d'une suite par la lettre S placée devant le /^""'^ terme, les équations (9), (10), (11) pourront s'écrire comme il suit

et l'on en conclura

Mn-^

Si des boulets de même diamètre sont distribués, dans plusieurs

couches superposées, de manière à figurer une pyramide triangulaire, et dans chaque couche sur plusieurs files parallèles, de manière à figurer un triangle équilatéral, le nombre des boulets compris dans une couche triangulaire, ou dans la pyramide, se trouvera déterminé par la formule (9) ou (10), et sera ce qu'on nomme un nombre triangulaire ou un nombre pyramidal. Donc les nombres triangulaires et pyramidaux se confondent avec les nombres figurés du second et du troisième ordre.

§ II. — Développement du produit de plusieurs binômes, ou d'une puissance entière et positive de l'un d'entre eux; théorème de Fermât sur les nombres premiers.

Considérons m binômes diff'érents de la forme

En les multipliant l'un par l'autre, on aura

=1 x"^ -h {a + b ^ c -h . . .)^'"-' + (a6 + ac + . . .+ 6c + . . .)x"^-'^-\- . . . + abc. . . ;

de plus, en posant

on trouvera

a -h b -h c -\-. . .z=: ma = (m), a,

«6 + ac + . . . 4- 6c + . . . = ( w )2 a^,

abc. . .r=. a'".

Donc, par suite,

(2) (jr + aY' — x"'+ (m)ia^"»-'+ {m)^ a^ x''"-^ ^ . . . + «"'.

Dans le second membre de l'équation (2), les coefficients des diverses puissances de x et de a, savoir

sont précisément les nombres qui composent la (m -h i)'^""'' colonne

verticale du triangle arithmétique de Pascal, et le coetFicient de

est

(4) {rn)„—{m)„i n

OU, en vertu de la formule (7) du § I,

m {m — \). . .{ni — /î + i ) jn(m — i )...(/« + i )

On peut s'assurer que les fractions contenues dans les deux membres de la formule (5) sont égales en les réduisant au même dénominateur.

Si l'on pose successivement

m rr: 2, m =: 3, m =r 4, m = 5, ...,

on trouvera, en prenant pour coefficients les divers termes des colonnes verticales du triangle arithmétique,

{x -{- ay^r: x^ -\- lax -i- a^,

{x -^- ay^=^ x^-\- Zax^-^ Za^x + a',

(^ + a)*z± ^*4- 4«^'+ ÇiaP-x^-\- [\a}x-\-a!*,

( J7 + a)"= j:;^+ 5a.3;*+ lOrt^^'-H loa'.z'-H- 5a*J7 -+- «•%

Lorsque dans la formule (2) on pose « = i, elle donne

(6) (^ + i)'«=z^'«+ (/?i)i^'«-«+ (m)2^'"-2 + . . .+ I. Si l'on fait de plus a? = i, on trouvera

(7) 2'«=n- (m),+ (m)2 + . ..+ (w)2-+- (^Oi+ '•

Donc les divers coefficients, dont le nombre est m + \, fournissent une somme égale à 2'". Lorsque m est un nombre premier, tous les termes de la suite contenue dans le second membre de la formule (7) sont, à l'exception du premier et du dernier, des multiples de m. Donc

alors 2"* divisé par m donne 2 pour reste. Dans le même cas, n étant un nombre entier quelconque,

divisé par m donne, en vertu de la formule (6), le même reste que n'"H- I, et par suite

donne le même reste que

f)onc 2'"— 2 étant divisible par m, on pourra en dire autant de 3'"— 3, puis de 4"' — 4» • • •» et généralement de

Donc, si n n'est pas divisible par le nombre premier m, n'"'^ divisé par m donnera l'unité pour reste, ce qui constitue le théorème de Fermât sur les nombres premiers.

Lorsque dans l'équation (i) on remplace «, ^, c, ... par — «, — b, — c, . . ., on en tire

(8) {a; — a){a: — b){cc — c)... = x"'-h A,^'""^ 4- X,,^""^-^- • • + A„„

les valeurs de A,, Ao, . . ., A,;^ étant

!Âi — — («+ Z> + c + . . .), A, = ab -{- ac -\- . . . -h hc -\- . . . ,

A,„=:: (— i)"^abc. . . = ± abc

§ in. — Des variables et des fonctions en général, et, en particulier, des fonctions entières d'une seule variable. Relations qui existent entre les coefficients des puissances entières et positives d'un binôme.

On nomme quantité t^ana^/e celle que l'on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. On appelle, au contraire, quantité constante toute quantité qui

reçoit une valeur fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, la surface du cercle est la limite vers laquelle convergent les surfaces des polygones réguliers inscrits, tandis que le nombre de leurs côtés croît de plus en plus, etc.

Lorsque les valeurs numériques successives d'une même variable décroissent indéfiniment, de manière à s'abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu'on nomme un infiniment petit, ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

Lorsque les valeurs numériques successives d'une même variable croissent de plus en plus, de manière à s'élever au-dessus de tout nombre donné, on dit que cette variable a pour limite Xinjini positif, , indiqué par le signe oc, s'il s'agit d'une variable positive, et Vinfini négatif, indiqué par la notation — oo, s'il s'agit d'une variable négative.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l'une d'elles étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit d'ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l'une d'entre elles, qui prend alors lo nom de variable indépendante, et les autres quantités, exprimées au moyen de la variable indépendante, sont ce qu'on appelle des fonctions de cette variable.

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, les valeurs de quelques-unes d'entre elles étant données, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs d'entre elles, qui prennent alors le nom de variables indépendantes, et les quantités restantes, exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce qu'on appelle de'!', fonctions de ces mêmes variables.

Les diverses expressions que fournissent l'Algèbre et la Trigono-

OEnvres fie C. - S. Il, l. X. 3

métrie, lorsqu'elles renferment des variables considérées comme indépendantes, sont autant de fonctions de ces mêmes variables. Ainsi,

par exemple,

ax, x'", A-^, hx,

sont des fonctions de la variable x\

x-+-y, xy, xyz, ...

sont des fonctions des variables x, y on x, y f^X z, ....

Lorsque des fonctions d'une ou de plusieurs variables se trouvent, comme dans les exemples précédents, immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables, elles sont nommë^'è fonctions explicites. Mais, lorsqu'on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c'est-à-dire les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire, tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement, les fonctions, n'étant pas exprimées immédiatement au moyen des variables, sont appelées fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équations qui les déterminent. Par exemple, soit y une fonction implicite de x déterminée par l'équation

hy = x.

Si l'on nomme A la base du système de logarithmes que l'on considère, la même fonction devenue explicite par la résolution de l'équation donnée sera

Soit maintenant j une fonction de x, qui, pour chaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données, admette constamment une valeur unique et finie. La fonction y sera continue par rapport à x entre les limites données, si entre ces limites un accroissement infiniment petit de la variable x produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. On dit encore que la fonction y est, dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à la variable x, fonction continue de cette variable, toutes les fois qu'elle est continue entre

RÉSUMÉS ANVLVTKJLES. 19

deux limites de x, même très rapprochées, qui renferuienl la valeur dont il s'agif.

Enfin, lorsqu'une (onction cesse d'être continue dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable ce, on dit qu'elle devient alors discontinue, et qu'il y a, pour cette valeur particulière, solution de continuité.

D'après ces définitions, A étant un nombre et a une quantité constante, chacune des fonctions

a + jc, a — X, ax, —, ,r% A-^, hx

sera continue dans le voisinage d'une valeur finie attribuée à la variable X, si cette valeur se trouve comprise, pour les fonctions

entre les limites œ = - rtz, x :^ œ; pour la fonction

entre les limites x = — ^, x - o, ou bien entre les limites x = o, X = x>; enfin, pour les fonctions

entre les limites x = v>, x =^ -c. La fonction - devient discontinue

pour X = o.

11 semble qu'on devrait nommer fonctions algébriques toutes celles que fournissent les opérations de Tx^lgèbre. Mais on a réservé particulièrement ce nom à celles que l'on forme en n'employant que les premières opérations algébriques, savoir l'addition et la soustraction, la multiplication et la division, enfin l'élévation à des puissances fixes; et, dès qu'une fonction renferme des exposants variables ou des logarithmes, elle prend b^ nom de /onction exponentielle ou logarithmique.

Les fonctions qu<' l'on nomme algébriques se divisent en fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Les fonctions rationnelles sont

celles dans lesquelles la variable ne se trouve élevée qu'à des puissances entières. On appelle, en particulier, fonction entière tout polynôme qui ne renferme que dçs puissances entières de la variable, et fonction fractionnaire ou fraction rationnelle le quotient de deux semblables polynômes. Le degré d'une fonction entière est l'exposant de la plus haute puissance de x dans cette même fonction. La fonction entière du premier degré s'appelle ^xx'^^x fonction linéaire, parce que dans l'application à la Géométrie on s'en sert pour représenter l'ordonnée d'une ligne droite. Toute fonction entière ou fractionnaire est par cela même rationnelle, et toute autre espèce de fonctions algébriques est irrationnelle.

Les définitions précédentes étant admises, considérons une fonction entière de x du degré m, c'est-à-dire un polynôme de la forme

Si, dans ce polynôme, on pose £c = « + ^, il se changera en une fonction entière de z, de sorte qu'on aura, quel que soit Zy

' Ao^'" + A,^'"-'-+-A2^'"^^ + . ..4- A,„i^H- A,„ = Co3'« +Ci:;'"-' 4-C2-'"-''' +...+ C,„-i- -hC„„

et, par conséquent, quel que soit x,

( Ao^"'H- Ai^"'-' + A2.37'"-- + . . . + A,„i^+ Â,„

! = Co(^ - «)'"+ C, (x - «)'"-' 4- C,{a; - a)'«-2 + . . .4- C„,, (^ - a) + C„„

le coefficient C» étant précisément égal à A^. Donc tout polynôme ordonné suivant les puissances descendantes et entières de x peut être transformé en un autre polynôme ordonné suivant les puissances descendantes et entières de x — a.

Lorsque le polynôme (i) est algébriquement divisible par un facteur du premier degré et de la forme x — a, c'est-à-dire lorsqu'on a

P = Ao^'«+ Ai^'"-i + . . . + A,n-i^ + k„,= {x —a)Q,

Q désignant une nouvelle fonction entière du degré m — i, il est clair

que ce polynôme s'évanouit pour oc = a\ en d'autres termes, x-^a est une racine de l'équation

(3) Ao^"'+ Ai.z-'"-' + . . . + A„,,^H- A,„ = o.

Réciproquement, lorsque a est une racine de l'équation (3), C,„ se réduit nécessairement à zéro dans le second membre de la formule (2), et cette formule donne

( Ao^'"+ Aia-'«-' + .. .+ A,„,jc + A;„

i =(a^-a)[Co(^-«)'"-'-+-C,(^-a)"'-2 + . ..-+-(:,„,];

donc alors le polynôme (i) est divisible par x — a, on est de la forme

Si b désigne une seconde racine de l'équation (3), b étant différent de a, alors en posant x = b on fera évanouir le produit V =^{x — a)Q et par conséquent le polynôme Q, puisque x — a ne s'évanouira pas pour ^ = ^. On aura donc encore

Q — (^- 6)R et, par suite,

R désignant un polynôme du degré m — 1. En continuant ainsi, on prouvera que, si l'équation (3) admet m racines distinctes

le polynôme P sera le produit des facteurs

par une fonction entière du degré zéro, c'est-à-dire par un coefticient constant qui ne pourra différer de A»; en sorte qu'on aura

Donc alors l'équation (3) pourra être présentée sous la forme

Le premier membre de l'équation (7) ne pouvant s'évanouir qu'avec

l'un des facteurs

il en résulte que l'équation (3) du degré m ne saurait admettre plus de m racines distinctes.

Soit maintenant

(8) Box'" + B,^'"-' + . . . + B,„ ,.r -+- B,„

une nouvelle fonction entière de x d'un degré ou égal ou inférieur à m, Bo pouvant être nul. Si cette nouvelle fonction devient égale à la première pour plus de m valeurs distinctes de x, on aura nécessaire-, ment

Bo=Ao, B, = A,, ..., B,„^A„,.

Car, dans le cas contraire, la différence entre les fonctions (i) et (8) se réduisant à zéro, pour plus de m valeurs distinctes de x, l'équation

( Ao- B„) J7'« + (A, - B,) J7'"--' 4-. . . + A„,, - B,„, := o

serait une équation du degré m qui admettrait plus de m racines, ce qui est absurde. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Si deux fonctions entières de la variable x deviennent égales pour un nombre de valeurs de cette variable supérieur au degré de chacune de ces fonctions, les coefficients des puissances semblables de x seront les mêmes dans les deux fonctions dont il s'agit.

On en déduit comme corollaires ces autres théorèmes :

Théorème II. — Dans deux fonctions entières de x, les coefficients des puissances semblables de x sont les mêmes, lorsque ces deux fonctions sont égales, quel que soit x.

Théorème 111. — Dans deux fonctions entières de x, les coefficients des

puissances semblables de x sont les mêmes, lorsque ces fondions deviennent égales pour toutes les valeurs entières de la variable x ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent une limite donnée.

ÏIIÉORKME IV. — Dans deux fonctions entières de plusieurs variables x, y, z, . . . , les coefficients des produits des puissances semblables de x, y, ::, ... sont les mêmes, lorsque ces fonctions deviennent égales pour des valeurs quelconques des variables.

ïiiÉORKME V. — Si deux fonctions entières de plusieurs variables r, y, z, . . . deviennent égales pour des valeurs entières quelconques de x, y, z, . . . ou même pour toutes les valeurs entières qui surpassent des limites données, les produits des puissances semblables de x, y, z, ... offriront les mêmes coefjicients dans ces deux fonctions qui, par suite, seront identiquement égales, quelles que soient les valeurs attribuées à x, y, z, ....

Pour montrer une application de ces théorèmes, multiplions l'une par l'autre les deux fonctions entières

k, l étant deux nombres entiers quelconques. On trouvera pour produit, en faisant, pour abréger, k + l — n,

(9) (l + X)«= l -t- Aid7 + A.2J?* + . . . + A„-ia7"-'4- J7'',

le coefBcient de ^"' étant, dans le second membre de la formule (9),

D'ailleurs on aura encore

(il) (n- j;)"=ri -H (n),^ -H (/j)2a;--f-. . .+ (/i)„, j:"-' -+- J7",

le coefficient de x'", dans le second membre de la formule (i i), étant

et, puisque, en vertu du théorème II, les coefficients de x'" dans les seconds membres des formules (9) et (11) devront être égaux entre eux, on aura nécessairement

OU, ce qui revient au même,

^ ^ ^(^ — i)---(^— ^ + 2) ^ l(l — \)...(l — m-hi) I 1 . 2 . . . ( w — I ) ' 1 .9.. . .m

Enfin, cette dernière formule, devant subsister pour toutes les valeurs entières de k et de /qui surpassent le nombre m, continuera de subsister, en vertu du théorème V, quand on y remplacera les nombres entiers k, /par des quantités quelconques x, y. On aura donc, quels que soient ^ ety,

x{x — i). . .(or — /w 4- 3) ,r(y — i) ( 1 4 ) ' 1 . 2 . . . ( m — 2 ) 1.2

Si, dans la formule (i4)' 0» remplace x par — j: et y par — j, ou

bien encore j par —y, sans remplacer en même temps x par — x, on obtiendra les suivantes :

( :c -h y) {.X ^ y -h i) . . . (^ -^ y -^ rn — i)

•^ jC.y + 0- • -(.x-t- ^ï — 2) r(j + 0. . .(.r + w — i)

Si maintenant on pose, dans la formule (16), x = m, elle donnera

m{m — \) y(y + j)...(jH-m — 3)

puis on conclura de cette dernière : i** en prenant pour j un nombre

OEuvres de C. — S. H, t. X. 4

entier n qui fasse partie de la suite i, 2, 3, . . . , m,

l I — m(/i)iM {n + 1)2 — .. .

OU, ce qui revient au même,

f ± (/i+w — 3)„,rpm(« 4-m — 2)„i±: (Ai + m — i)„, = o;

1^ en posan t jk = m + r ,

± (2/?2 — i),n^in{2jn — i)„i± {'2m),n — ±. l.

§ IV. — Résolutions de plusieurs équations simultanées du premier degré. Soient données entre n inconnues

n équations du premier degré de la forme

/ a^x -i- boy +Co- +...+ ,^0" +/io<' =^0,

^„i étant des quantités quelconques. Si l'on combine entre elles, par voie d'addition, les formules (i) respectivement multipliées par les facteurs

(2.) A/i i, A„2, A,j 3, •••, Al, Aq,

on en conclura

et, par suite,

(3) ce

pourvu que, après avoir choisi ces facteurs de manière à vérifier les

conditions

/ Ao b,i-x -1- Al 6„2 -}-... + A„2 6i 4- A„i ^0 = o,

l AoC„i + Aic„2 +. . . + A„2Ci + A„,Co =o,

1 Aoé'«-i + A,^„2 + . ..4-A„2e?-i + A„,^o=0, \ AoA„i-i- A,A„2+. . . + A„2AiH- A„iAo = o, on pose

(5) Ao««-i+ A,a;,2 4-. . .4- A„2fl!iH- A„iao = P et

(6) AoA-„i4- AiA:„2 + . . . 4- A„2A-i + A„i A-o=: X. Considérons en particulier le cas où les équations (i) deviendraient

c'est-à-dire le cas où les divers coefficients de chaque inconnue seraient, ainsi que les seconds membres des équations données, les différents termes d'une progression géométrique, le premier terme de chaque progression étant l'unité. Dans ce cas particulier, les conditions (4), réduites aux suivantes

Ao^"-* -i- Aib^'-^-h. . .4- A„2^ + A„i::=o, AoC'»-' 4- AiC"-2 +. ..4- A„2C + A„, = o, (8)

Ao^-"-' 4- A, ^«-2 4- ... 4- An-iff 4- A„, = O,

Ao/i"-'4- Ai/i«-2 + .. .4- A„2/i 4- A„i = o,

acc

-^by

..-^gu