hv
exprimeront seulement que
b, c, ..., g, h sont racines de l'équation
(9) Ao^''-*+ Ai^^-s^-. . . + A„2^ + A;j i=o.
Elles seront donc satisfaites, si l'on détermine les facteurs
Aqj Al, . . -, A,j 2, A,j i
de manière que l'on ait, quel que soit x,
Ao^"-'+ A,.î:'»-2 + . ^ A„2^ + A„, = k^{œ — b) {x — c) . . .{x — g) {x — II),
c'est-à-dire si, après avoir choisi arbitrairement la valeur de Ao, on
prend
!A, =— Ao(6 + C-I-. . .4-^ + 70, Aj =Ao{bc -h. . .-^ bg+ bh-h. . . + gh), >
Alors les équations (5), (6) donneront
(12) i" =Ao{a-b){a~c)...{a-g){a-h),
('3) \^ Ao{k - b) {k - c) . . . {k - ,:,') {k ~ h),
et par suite la formul.e (3) deviendra
^ ^ (k-b)(k-c)...ik-g)(k^b) {a— b) {a — c)... {a — g) {a — h)'
On trouvera de même
(A-^)(A--6)(A--c)...(A--aO ^k^a){h-b){/i~c)...{h-g)
Ainsi, par exemple, les valeurs de ce, y, z propres à résoudre les trois
équations
!x-\- 7 -+- z —i, ax + by -+- cz =^ k, a^x -\- b^y -\- c'^zz=z k^ seront
(,6) ^zz: ^:^AHl-0 {k-c){k-a) __ {k^a){k-b)
^ la-b)\a-c)' -^ {b-c){b-a)' " {c - a) {c - b)'
Dans les formules (i4), le dénominateur de la fraction qui représente la valeur d'une inconnue est le produit de toutes les différences qu'on obtient lorsque du coefficient de cette inconnue pris dans la seconde des équations (7) on retranche successivement les coefficients de toutes les autres inconnues. Pour trouver le numérateur de la même fraction, il suffît de substituer dans le dénominateur la lettre k au coefficient de l'inconnue que l'on considère. »
Si l'on veut réduire au même dénominateur les fractions qui représentent les valeurs des diverses inconnues, on pourra prendre évidemment pour dénominateur commun le produit des binômes
c'est-à-dire le produit de toutes les diff'érences qu'on obtient quand, après avoir disposé les lettres
dans un ordre quelconque, par exemple dans l'ordre alphabétique, on retranche successivement de chaque lettre toutes celles qui la précèdent. Elff^ectivement, si l'on choisit A„ de manière que la formule (12) se réduise à
(18) P ^-- {b - a) {c — a) {c - b) . . . {h - a) {h - b) . . . {h - ff), les«équations (i4) pourront s'écrire comme il suit
les quantités X, Y, . . . , V étant ce que devient le produit P quand on y remplace successivement par la lettre k chacune des lettres a, h, ...,h. Le produit P, déterminé par l'équation (i8), jouit d'une propriété digne de remarque, à l'aide de laquelle on peut établir directement les formules (19). C'est qu'il se change toujours en — P quand on échange entre elles deux quelconques des lettres
Alors, en effet, le binôme qui renferme les deux lettres échangées entre elles changera évidemment de signe; et, de plus, le produit des deux binômes qui renferment ces deux lettres avec une troisième, se confondant nécessairement, soit avec le produit des différences qu'on obtient quand on retranche la troisième lettre des deux premières, soit avec ce dernier produit pris en signe contraire, ne changera ni de valeur ni de signe après l'échange dont il s'agit. Ajoutons que, si l'on développe le produit P, en multipliant les uns par les autres les binômes (17), le développement ainsi obtenu se composera de divers produits partiels affectés les uns du signe +, les autres du signe —, et dans chacun desquels la somme des exposants des lettres
sera équivalente au nombre des binômes (17), c'est-à-dire à
(20) 1 + 2 + 3 +. . .-1- (rt — i) = - — ^
Le premier de ces produits partiels, formé par la multiplication des premiers termes des divers binômes, se réduira simplement à
Si l'on suppose en particulier /i = 2, on trouvera
V = b — a, OU, ce qui revient au même,
(22) \* — aH>^—a^b\
Si l'on suppose, au contraire, n = 3, on aura
Donc alors, dans chacun des produits partiels que renfermera le développement de P, les exposants des lettres a, h ou«, b, c seront respectivement égaux aux deux ou trois premiers termes de la suite des nombres naturels
et tous ces produits partiels se déduiront les uns des autres par des échanges opérés entre les exposants dont il s'agit. Or on peut alfirnier qu'il en sera généralement ainsi, et que tous les produits partiels dont se composera le développement de P seront semblables au produit (21) et se déduiront de celui-ci par de simples échanges opérés
entre les indices
Effectivement, soit
(25) aP bi c'' . . . g^ h'
l'un quelconque des produits partiels, de ceux, par exemple, qui sont affectés du signe -\-, en sorte qu'on ait
(26) V — aPb'ic'\ ..g'Ji^ +
On tirera de la formule (26), en échangeant entre elles les deux lettres
a et b,
— P = aibPc''. . .g'h^-A-. . .,
ou, ce qui revient au même,
(27) P =~a''bPc'\ ..g'/i'—
Donc le développement de P ne peut renfermer un ternie affecté du
signe -+- et de la forme
aPbfc''. ..g' h'
sans renfermer en même temps un terme affecté du signe — et de la
forme
c'est-à-dire un second terme qui se déduise du premier par un échange opéré entre les exposants des deux lettres a, h, mais qui soit affecté d'un signe contraire. On arriverait encore à une conclusion toute semblable si le premier terme était l'ufi de ceux qui sont affectés du signe — . Donc les différents termes contenus dans le développement de P, étant réunis deux à deux, produiront des expressions de la forme
(28) aPbic'-. ..g' h'— aibPc'-. . . g'h'— {aPbi — ai bP)c'' . . .g'h', en sorte qu'on aura
(29) V =:{aPbi—aibP)c'\ ..g'h' +
Or le binôme (28) s'évanouit toutes les fois que les exposants p, q deviennent égaux. Il en résulte qu'on verra disparaître, dans le développement de P, tous les termes où deux lettres diverses a, b seraient élevées à la même puissance. Donc, si le produit (25) est un de ceux qui ne disparaissent pas, les exposants
des différentes lettres y seront tous distincts les uns des autres; et, comme l'exposant de chaque lettre ne pourra surpasser le nombre de celles des différences
qui la renferment, c'est-à-dire le nombre « — i, les exposants
ne pourront être évidemment que les nombres
Donc, en définitive, dans le développement de la fonction
(30) Pr=:a<^b^c\ ..g'^-^h"-'^— . ..,
tous los termes se déduiront du premier par des échanges opérés entre les exposants des différentes lettres, et deux termes, dont l'un se jdéduira (1(î l'autre par un seul échange opéré entre deux exposants, seront toujours affectés de signes contraires. Si l'on élève les quantités
à des puissances dont les degrés soient r<ispectivement égaux aux nombres
O, I, 1, . . . , Il — 2, Il — I
rangés dans un ordre quelconque, le produit de ces puissances sera toujours l'un des termes affectés du signe -h ou du signe — dans le second membre de la formule (3o). En effet, pour déduire ce produit du premier terme
il suffira d'opérer des échanges successifs : [" entre l'exposant o et celui que portera la lettre a dans le nouveau produit; 2" entre l'exposant I et celui que portera la lettre h dans le nouveau produit, etc. Cela posé, représentons par la notation
(3i) S(±ao6'c2. . .i,'"-V<"-')
la somme qu'on obtient quand, au produit
pris avec le signe h-, on ajoute tous ceux qu'on peut en déduire à l'aide d'échanges opérés entre les exposants
chacun des nouveaux produits étant pris avec le signe -h ou le signe — , suivant qu'on le déduit du premier à l'aide d'un nombre pair ou d'un nombre impair d'échanges successifs. On aura
(32) P — S(itrt«Z>'c^ . .^''»-Vt"-'),
et les formules (21), qui fournissent les valeurs de x\ y, z, . . . , //, i^',
OEuvresileC S.H.t. \. 5
propres à vérifier les équations (i), pourront s'écrire comme il suit
S(±a"^'c2...^'«-2A«-i) S (± «0 k^ c^ ... ,^"-2 hn-l ) ( 33 ) M ~ 'S(±a»6'c^. .g'^-^'h"-^) ' »
Concevons maintenant que, dans le développement de P, on remplace les exposants des différentes lettres a, h, c, . .. , g, h par des indices. Alors, au lieu de l'équation (29), on obtiendra la suivante :
(34) P = {apb,j—aqb,,)c,.. . .gslh-^
Or cette dernière valeur de P pourra être présentée sous la forme
(35) P=: Aoa,,i + Ai«„2 + . . .4- A„2ai + A„iao,
Ao, A,, ..., A,,..,, Art., étant des sommes de produits formés avec les coefBcients
^o> bi, . . . , t^„,, Cq, C], ...,c,j i, ..., go, gi, ..., gu-\, h^^, hi, ..., h,i^^;
et, comme elle s'évanouira, en vertu de l'équation (34), si l'on suppose
on peut affirmer que les quantités
Ao, Al, • • •, A,j 2, A,;i,
renfermées dans l'équation (35), vérifieront la première des conditions (4). On prouverait de même que les quantités dont il s'agit vérifieront la deuxième, la troisième, etc., enfin la dernière des conditions (4). Donc ces quantités pourront servir à l'élimination des inconnues j, z, .. ., u, ^^ entre les équations (r), et la valeur de ce sera donnée par la formule (3), pourvu qu'on détermine X par la formule (6), ou, ce qui revient au même, pourvu qu'on appelle X ce que devient l'expression (5) quand on y remplace la lettre «par la lettre^.
Donc, en définitive, les valeurs des inconnues
propres à vérifier les équations (r), seront des fractions, dont on obtiendra le commun dénominateur P en remplaçant les exposants des lettres a, h, c, ..., g, h par des indices dans le développement du produit qui compose le second membre de l'équation (i8). Quant au numérateur de chaque fraction, on le déduira immédiatement du dénominateur, en remplaçant les quantités qui, dans les équations (i), servent de coefficients à l'inconnue que l'on considère, par les seconds membres de ces mêmes équations.
Si, pour plus de commodité, on représente par la notation
(36) S(±ao^iC.>. . .é'«-2/<«-i) la somme qu'on obtient quand, au produit
pris avec le signe -+-, on ajoute tous ceux qu'on peut en déduire à l'aide d'échanges opérés entre les indices
chacun des nouveaux produits étant pris avec le signe + ou le signe — , suivant qu'on le déduit du premier à l'aide d'un nombre pair ou d'un nombre impair d'échanges successifs; on aura
(37) P — S(±ao^lC-2. . .i{„-ïlln-i),
et les valeurs ÔlQ x,y, z, . . . , u, v, propres à vérifier les équations (i), se présenteront sous la forme
S(±:ao^iC2.
S(iî: a^,ù^c.2.
• ■ )i /i~i ''Il -
S(±aoZ>,c,.
• •rt"/»-2«n-
S{z^a^,ù^Ci...g„^Jl„.^)
Si, pour fixer les idées, on réduit les équations (i) à
/ a„.z- + h^y -t- CqZ = k^, ( a-iX + biY + Cj 3 = ko,
on trouvera
S(± A-o6,c,) __ kç^b^Ci— kohiCi-h kyboCf^ — k,boC2+ k^b.^Ci — k^b^Cf,
s (rt (7o ^1 ^2 ) «0 ^1 C2 — «0 b-i C, H- rt, ^2 Co «1 ^o^'2 -H «2 '>() Cl - rt, /'i C(
On arriverait au même résultat, en présentant la première des équations ( i6) sous la forme
puis développant les deux produits
et remplaçant dans les développements les exposants des lettres par des indices. Sous ces conditions, la formule (4i) peut être censée fournir la valeur de la première des inconnues que renferment les équations (Sp). Cette valeur qui, prise à la lettre, serait inexacte et ne peut devenir exacte que par suite des modifications énoncées, est ce qu'on nomme une valeur symbolique de l'inconnue dont il s'agit. L'équation (4i), considérée sous ce point de vue, est elle-même une équation symbolique.
Concevons à présent que m 4- i inconnues, représentées par
soient déterminées par m 4- i équations du premier degré et de la forme
(49.) / .ro+2a^,4-^2 ~ ko,
On tirera successivrmcnt tic ces équations
et généralement, si l'on désigne par n un quelconque des nombres entiers renfermés entre les limites o, m, on obtiendra pour valeur de x„ une fonction linéaire des quantités
Soit en conséquence
(43) j-„= AoA-,,4- A,A-„, + A2A-„-., + . . . + A„,/i-, + A„A-„.
Dans le cas particulier où les quantités
se réduiront aux différents termes d'une progression géométrique de la forme
on aura simplement
D'autre part, il est clair que, dans ce cas, on vérifiera les équations (42) on posant
et
ou, ce qui revient au même,
(47) a-„=:A-''-n/v''-'+ ^l^'Lzli]x-'-2...-„A^±i.
Les formules (46), (47) devant s'accorder entre elles, il en résulte qu'on aura, quel que soit k,
i AoA-'' + A,A:"-' + AîA:«-2 + ...+ A„,A' + A„
\ — k" - «A-'^ -' H î^ ' k"-^~. . .zp nk ± i
et, par suite,
(49) An— I, Al-— «, A,= ^ , ..., A„.,=:qr«, A„ — ±1.
Donc la valeur générale de x^, déterminée par la formule (46), sera
( 5o ) x„ = k„ — nkn , -f- ■ ;; A-„2 — . . . qi nA-, ±: Â-g.
Au reste, on peut arriver directement à l'équation (5o) en combinant entre elles par voie d'addition les n premières des formules (42) respectivement multipliées par les coefficients
ni n — I ) I, — «, - j •;•) q=:«, ±1,
puis ayant égard aux formules (19) et (20) du § III, ou plutôt à celles qu'on en déduit quand on échange entre elles les lettres m et n. Donc, en définitive, les valeurs de
propres à vérifier les équations (42), seront
Xq ^=1 A"q,
Xi = A, A\,,
^m — ft/« — /nk„,i H A,„, — . ■ -^ nik^ ±: A'q.
Si, dans les formules (42) et (5i), on remplace simultanément les quantités
•^0> ^1> ■^2» • • •> ^mi "0» "1» "2? • • -y A m
par les rapports
Xi Xi, X „i . k\ A'2 k „i
Xq, î - • • • • 5 ) A'o, - — 5 —- - 5 • • • 5 5
on en conclura que les valeurs des inconnues
propres à vérifier les équations
Xi) — Aq, X^ -\- Q X^ ^3 Ajj
(52) / Xi-\- 2ax^-\- a^x^^=z k<î.
mi m — I ) „ , , ,
x,n 4- max„t-i -\ « -<7/«-2 -H . . . H= ma'»-' ^1 zt a'^x^ — A:,„,
sont respectivement
c27j — Aj — CIKqj
x^ =: k^ — iaki-\- a^ k^,
x„t = k„, — mak,n^^ -\ a^ /r„,2 — . . . zp ma'"-^ ki ± a"^ k^.
Si l'on suppose, en particulier, a~ — i, les formules (32) deviendront
.27/,; /HX,„^l -+- X,„2 ■ . . . f- niX^ZLl Xq A„j,
et l'on en tirera
/ Xq ^zz Kq,
\ Xi = A, + Aq,
(55) ] ^2 =^'2 + 2A-, + ko.
-m — f^'m ■+- "l-knt- l H « /« 2 + • • • "T ^^i^l + «o-
§ V. — Formules d'interpolation.
V interpolation consiste à déterminer la valeur exacte ou approchée d'une fonction d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues.
Considérons spécialement une fonction entière u de la variable x. D'après ce qui a été dit dans le § III, cette fonction sera complètement déterminée si elle est du degré m et si l'on en connaît w h- i valeurs particulières. Soient
ces w -h I valeurs particulières correspondantes aux valeurs
de la variable x. Si l'on suppose d'abord que les valeurs particulières de u se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la premier*' «„, la fonction u, devant alors s'évanouir pour x ^ x^, pour x = x.^, . . . , enfin pour x = x„„ sera divisible par le produit
et sera, par conséquent, de la forme
u z=z a{œ — Jo^) {x — X.2) . . .{x — x,,^ ) ,
a ne pouvant être qu'une quantité constante. De plus, u devant se réduire à ?/„ pour x — a^„, on en conclura
</q i=: a \Xq X^ ) \X^^ Xsi ) . . . ( J7q — X,,^ )
et, par suite,
{x — x^^{x — x^\. . .{x — x,„) (i) u — ii^
De même, si les valeurs particulières de u se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la seconde m<, on trouvera
( X X^ ) \ X X^ ) . . .\X X if^ ) M = «1 = j
( J?l ■ X^) (Xj •^'2 ) • • • ( ^\ ■^m )
etc.
Enfin, si elles se réduisent toutes à zéro, à l'exception de la dernièi'c //,„, on trouvera
En réunissant les diverses valeurs de u correspondantes aux diverses hypothèses qu'on vient de faire, on obtiendra pour somme un polynôme en .X du degré m qui aura évidemment la propriété de se réduire à Wo pour .X = Xq, à u, pour x = x,, . , . , à u„i pour x = x^. Ce polynôme sera donc la valeur générale de u qui résout la question proposée, en sorte que cette valeur générale se trouvera déterminée par la formule
(■^0 •^^'wC'^O X2)...(j^o ^m)
{■X,n ^o)\^in -^1 )•••(, -^m •^//i-l)
qui est la formule d'interpolation de Lagrange.
En vertu de la formule (i), si la fonction u du degré m doit s'évanouir pour les valeurs particulières
de la variable x, et se réduire à l'unité pour ^ = m, on aura
Lorsque les valeurs particulières de x représentées par
•^0» -^ij ^îi • • •» ^m
se réduisent aux différents termes de la suite
alors, pour obtenir la valeur générale de w, il suffît évidemment de
OF.mres de C— S. U, t. X. 6
supposer
x(œ — i) ^(j? — i). . .(j: — /« + i) (4) u = ao-i-aiX-\-a2 — h . . . + «/„ 1 .2. . .m
et de choisir les coefficients
de manière à vérifier les équations
Un -h ma, -] ^- — «2 + . . . + ci„,= II,,,'
Or on vérifiera ces dernières {voir le § IV) en prenant
a, = u, — Mo»
ni {m — i) ,
a„i =: M,„ — mu,n-i -\ m,„-i — . . . | mui it «^
Donc la valeur générale de u sera
■4- «,„— /nW;„iH ^:j-;^ ^«,„2 -+-... zp/n«,±:«oJ
Si l'on suppose en particulier
x{cc — l)
u — x»\ on aura
et les ibrmules (G), (7) donncronl
«„,,= (/« — i)'«— (m — i)(m — 9.)"' + - • •±("' — '), I n,,^ = /»'" — m{jn — i)'" + "^ ^ "' ~ ^ ^ ( »« 2)'" — . . . :
|,,» = ., + (,»,)^i(ilti:)^(3»-3.,". + 3)"<"-'>'-'--'->
D'autre part, comme, dans le cas dont il s'agit, on aura, quel que soit.rr,
X ( JC I )
X ix — \) . . . ix — m -^ 1) x{x — \). . .{<P — tn -^-\)
on en conclura
ou, ce qui revient au même, a„i'-=^ 1 .2.3. . . /;^,
(12) <hn-\ = 1.2... (m — 1) [i 4- 2 4- ... -h (m — i)] = t . 2 ... (m
{ni — \)m
On aura donc encore
/«'" — m (m — i)'" H ^^ ' {m — 2 )'" — . . . zb /« = i . 2 . 3 . . . m.
cl la formule (lo) pourra être réduite à
Si, dans cette dernière, on change x ^n — x, elle donnera
'.„/•., V m {ni — i)
^x"'=x{x -^i). . .(.r-hm— 0 La;{x + 1).. .(a: + m — 2)+.
± -— x{x -\-\) (j- + 2) =p -xi^x + ï)±X.
Lorsque m est de la forme
yo désignant un nombre premier impair, la première des équations (i 3) se réduit à
(i6) 1.2.0. . .m = m'"^— mini — i)'"- -\ ^ (m — 2)'" — . . .— m;
et, comme alors, en vertu du théorème de Fermât sur les nombres premiers, les puissances
in"\ ( m ~ I )'", {ru — 2 )'«, . . ,
divisées paryo donneront l'unité pour reste, il est clair que le second membre de l'équation (16), divisé par/?, fournira le même reste que
la somme
Donc, lorsque p = m +■ i est un nombre premier impair, le produit
divisé par p, donne pour reste — i,ou en d'autres termes ce produit, augmenté de l'unité, devient divisible par p. C'est en cela que consiste le théorème de Wilson, qui s'étend au cas même où l'on pose/>=2= i + i. D'ailleurs il est clair que ce théorème subsiste uniquement pour les
nombres premiers. Car, si le nombre m -t- i admet d'autres diviseurs que lui-même et l'unité, chacun de ces diviseurs, se confondant nécessairement avec l'un des nombres 2,3, . . . , m, divisera le produit
1.2.3. . .m, d'où l'on doit conclure qu'il ne saurait diviser la somme
