SOLUTION
(le
potasse.
CROWNGLASS.
FLINTCLASS.
1" série.
T série.
1" espèce.
2" espèce.
3* espèce.
1" espèce.
2" espèce.
3' espèce, 1" série.
3" espèce.
2° série.
4* ospècf.
L(iS.?).
Somme.
5oo5658 1678921
Somme.
x633io5
ibS^v?. .
icS.^.
io8oi5
En adoptant les valeurs de a, b, ( fournies par le Tableau IV, on aura
Pour l'eau, i''*= série; B'^=. i ,761609 -1- 0,0025994.^^— o,ooooi45655S
» a'^ série 6-= i ,7519.50 -1-0, oo2558 15^ — o,ooooi355o5*,
Pour la solution de potasse 6^= i ,984311 + 0,00816645^ — 0,0000102245*,
Pour le crownglass, i''" espèce ô^— 2,292969 + 0,00882885^— 0,00000 1900 5S
» 2« espèce 6^= 2,297191 + 0,00888085^ — 0,0000014285*,
» 3« espèce 0^= 2,88i364 + o, 00442 26 5^-!- 0,0000075195*,
Pour le flintglass, i''^espèce 6^=: 2,5 1 446 1 -i- 0,00619845^-1-0,0000894905*,
» 2'^ espèce ô^—- 3^5^8081 +0,00682995^-1- 0,0000491005*,
» 3^ espèce, !''<= série ... . 6-=: 2,586562 + 0,00697845-+ 0,0000491765*,
» » 2^^ série ... . 0^=^2,587096 + 0,00689625^+0,0000515485*,
» 4^ espèce 02 3^588160 + 0,00784675^+ 0,0000887535*.
En substituant successivement dans chacune des formules (07) les valeurs de s correspondantes aux rayons
de Frauenhofer, c'est-à-dire les valeurs de s^ comprises dans le Tableau I, on obtiendrait des valeurs de 0^, et par suite des valeurs de 6, très peu différentes de celles que l'expérience a données. Au reste, pour trouver les différences des unes aux autres et constater l'accord des formules (Sy) avec les observations, il n'est pas même nécessaire d'effectuer la substitution dont il s'agit. On arrive plus facilement au même but à l'aide des considérations suivantes.
La formule (5o), c'est-à-dire, en d'autres termes, la formule (16) de la page 872 ne subsiste qu'approximativement. Mais, comme nous l'avons déjà remarqué (p. 383), cette formule deviendra rigoureuse si l'on y remplace 0,par 0^ — A^0,, en attribuant à 0/ la valeur fournie par les observations. Pareillement les formules (43) et (5i) deviendront exactes, si l'on y remplace
s] et 0,-
par
s1—à^sf et 0,— AS©;,
et attribuant à s'I, 0, les valeurs fournies par les observations, c'està-dire qu'alors on aura rigoureusement
(58) 5f — A»57= |S5f + (3,-S' A^f+ y,S" A^^f et
Effectivement l'équation (58) se déduit immédiatement des trois premières des formules (27), et l'équation (Sg), que l'on peut encore écrire comme il suit
(60) 0— A'0.= iS0,4-[3,S'A0.+ y,S"A'-0„
est, aussi bien que l'équation (i33) de la page 325, une conséquence
nécessaire des formules (ii3) du § VI. D'ailleurs, pour obtenir l'équation (53), il a suffi d'éliminer de la formule (5i) les valeurs de
tirées des équations (46) auxquelles se réduit la formule (43) quand on y pose successivement n = i, n=^[\\ et, si au lieu des formules (43), (5i) on emploie dans l'élimination dont il s'agit les formules (58), (59), on trouvera de la même manière
Donc, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, la formule (61) sera exacte, si l'on y substitue les valeurs de Si et 0, fournies par l'expérience, en attribuant à
les valeurs précédemment calculées et comprises dans les Tableaux I, II, ainsi que dans le Tableau III du § VIII. Or on tire de la formule (61)
(62) tt -t- \is]^ ts\—%i^\i ^^ s\^ t ^^ s\- A30„
et le premier membre de la formule (62) est précisément la valeur de 0,= 9^^ ou de 0- que fournit chacune des équations (53), (55), (57). Donc, pour obtenir les valeurs de G^^ que déterminent les formules (57), il suffira d'ajouter aux diverses valeurs de 0,= G^^ fournies par l'expérience les valeurs correspondantes du trinôme
(63) X.— bA^^I + fA^^-A^O,-, qui se trouvent comprises dans. le Tableau suivant.
Tableau VI.
Valeurs de Xj=: b A'^^^ + rA'^* — A^0j exprimées en millionièmes.
EAU
CR
OWNGLj^
FLINTGLASS.
ai
bA3*f
— io5
— io5
— no
— A^ei
lOI
bAs^i
cS}s\
bA3*|
cA3^*
Xa
— lOI
bA3^|
cA3.y|
— lOI
IIO
bA3.y|
Xs
bA3,v|
— 3io
cA3.yè
-ASOe
Xe
— io5
-4ii
bA3^f
CA3*i
—Go
Ainsi, par exemple, si l'on ajoute à la valeur de ô, trouvée pour l'eau
(i'^* série), c'est-à-dire à
la première des valeurs de X fournies par le Tableau VI ou le nombre
o,oooi4o, on obtiendra pour somme le nombre'
qui représente précisément la valeur de G^ à laquelle on parvient en posant dans la première des formules (57)
Pareillement, si de la valeur de ©g relative au flintglass (2^ espèce),
c'est-à-dire de
on retranche le nombre 574, qui, pris avec le signe —, représente la valeur de Xg correspondante à la même substance, on aura pour reste
le nombre
qui est précisément la valeur de G^ à laquelle on parvient en posant dans la huitième des formules (07)
Au reste, l'exactitude des valeurs de X, comprises dans le Tableau VI peut être confirmée comme il suit.
Les formules (117) du § VI donnent
SA'0,= o, S'A^0,= o, S"A3 0,= o.
On aura de même, en désignant par n l'un des nombres entiers 2 et 4,
(64) SA»5?=o, S'A5 5f=o, S" A3 5?= G,
et par suite on tirera de l'équation (63)
!S li = Al + X2 + X3 + X4 + ^5 -+- Xe + >7 = o, S'X,-= Xi+X,H-X3+>^4— >5— >-6— ^7=0,
S"X/=— Xi— Xï+XsH-XiH-Xs+Xg— X7— o.
Enfin de ces dernières équations combinées entre elles on conclura
Donc les quatre quantités
(67) Xi + Xa, Xs-i-Xi, Xg+Xs, X7
devront être égales au signe près et alternativement affectées de signes contraires. Or cette condition se trouve effectivement remplie avec une exactitude suffisante par les valeurs de X^ que fournit le Tableau VI, comme le prouve celui que nous allons tracer.
Tableau VIL
Valeurs de X, + Xg, X3+X4, ... exprimées en millionièmes.
EAU
CROWNGLASS.
FLINTGLASS.
'iA
Xs-f- Xfi
D'après ce qu'on vient de dire, les valeurs de ô^ fournies par les équations (Sy) coïncident avec celles que l'on déduit de la formule
en attribuant à 0/ les valeurs données par l'expérience et à X, les valeurs très petites que présente le Tableau VI. Or on tire de la for-
mule (68)
-^.y^e^^ll
et, comme, pour chacune des valeurs attribuées à X,- et à 0,, le troisième terme et les suivants, dans le dernier membre de l'équation (69), offriront une somme inférieure à un millionième, on pourra sans erreur sensible réduire cette équation à
Donc la différence entre la valeur de 0 déterminée par l'une des formules (57) et la valeur de G, donnée par l'expérience se réduira simplement à la quantité
dont les diverses valeurs se tirent aisément du Tableau VI, et se trouvent comprises dans celui que nous allons tracer.
Tableau VIII.
Valeurs de \ 6j^ li exprimées en millionièmes.
EAU
CROWNGLASS.
FLINTGLASS.
IN
Pour i
— iSg
= I eta.
3et4-
5 et 6.
ce [
NOUVEAUX EXEFiClCES DE MATHÉMATIQUES. H9
Dans le Tableau VIII nous avons joint, pour chaque substance, aux diverses valeurs de
les sommes de ces valeurs prises deux à deux à partir de celle qui correspond à i = I, c'est-ti-dire les valeursdes quatre quantités
r o^ iLo-il A.;A h^^h. k
En ayant égard aux formules (65) ou (66) et raisonnant, comme dans le § VI (p. 337 et 338), on démontre sanspeine que les quantités (72) doivent être sensiblement égales, au signe près, et alternativement affectées de signes contraires. Or cette condition se trouve en effet remplie, avec une exactitude suffisante, par les quantités comprises dans les quatre dernières lignes horizontales du Tableau VIIÏ; ce qui prouve la justesse de nos calculs.
D'après le Tableau VIII, la différence entre la valeur de G déterminée par l'une des formules (07) et la valeur de 6^ fournie par l'expérience est généralement inférieure, abstraction faite du signe, à un dix-millième. Il n'y a d'exception que pour le flintglass, dans le cas où Ton pose i=6 ou i = 7, et alors même la différence dont il s'agit, prise, abstraction faite du signe, ne dépasse jamais 173 millionièmes, ou environ un dix-millième trois quarts. Les formules (57) reproduisent donc, avec de légères variations, les valeurs de 6/ fournies par l'expérience. Toutefois les variations dont il s'agit deviennent, pour certains rayons et certaines substances, supérieures aux variations observées dans le passage d'une série d'expériences ii une autre ; puisque ces dernières variations, d'après le Tableau XXIII du § M, n'ont jamais surpassé la moitié d'un dix-millième. Ainsi les équations (37), appliquées à la détermination des valeurs de 0^ et de 0, n'atteignent pas le même degré de précision que les formules établies dans les §§ VI, VII et VIII, par exemple les formules (11), (27) et(39)(§ VII), desquelles on déduisait pour 0,= 6^", et par suite pour G,, des valeurs dont l'exactitude était comparable ou même supérieure à celle des
OEuires de C— S.W, \.X. Ô'J
résultats directement fournis par l'expérience. Mais il est juste de remarquer que les coefficients renfermés dans les équations (57), ou les valeurs de
relatives aux diverses substances, dépendent à la fois des valeurs de 6 et de /fournies par l'expérience, les unes avec sept chiffres, les autres avec quatre chiffres seulement, tandis que les coefficients compris dans les formules des §§ VI, VII et VIII dépendent uniquement des valeurs observées de 0. Pour cette raison, en établissant les formules (57), on a dû négliger les différences du troisième ordre, dont on avait tenu compte dans les §§ VI, VII et VIII. On ne doit donc pas s'étonner que, pour certains rayons et certaines substances, les nombres compris dans le Tableau VIII surpassent un dix-millième et s'élèvent jusqu'à un dix-millième trois quarts environ.
Les plus grands nombres que renferment les Tableaux VI et VIII étant 574 et 173 millionièmes, il en résulte que les formules (37) déterminent les valeurs de 0^ à 5 ou 6 dix-millièmes près et les valeurs de 0 à I ou 2 dix-millièmes près. Comme d'ailleurs, dans les Tableaux I et II, les valeurs de s"" sont toutes inférieures à 23 et celles de s' à G06, il est clair qu'on pourra simplifier les formules (57), en supprimant les deux derniers chiffres décimaux dans les coefficients de s^ et de s\ car cette suppression produira, dans la valeur de 0-, une variation inférieure à la somme des produits
25 X 0,00001 = 0,00025 et 606 X 0,0000001 = 0,0000606,
par conséquent inférieure au nombre
o,ooo3io6, et à plus forte raison à
Après cette suppression, les deux valeurs de chaque coefficient b ou c, correspondantes à deux séries d'expériences faites sur la même substance, seront, comme on devait s'y attendre, très peu différentes
NOUVEAUX EXERCICES DE xMATIIÉMÂTIQUES. 451
l'une de l'autre, et si l'on rennplace ces mêmes valeurs par leur demisomme, si de plus on supprime encore les deux dernières décimales dans les valeurs de o, on réduira les formules (07) aux suivantes :
/ Eau 0"-" 1 ,7518 4- 0,002085- — o, 000014 l'ï*,
ô-= 2, 2930 + o,oo3835- — OjOooooig.sS
(73) <( » 3« espèce.... ô-=: 2, 38i4 + 0,004425--+- 0,00000755s
0-= 2 , 5781 + o,oo6835^-+- 0,0000491 5% Q'^=z 2 , 5868 + o , 006935-+ o , oooo5o45*, B-=. 2 , 5882 -\- 0,007355--!- o,oooo3885*.
Si, en désignant par Q. la vitesse de propagation de la lumière dans l'air, on pose
Solution de potasse . . .
Crownglass, i""" espèce.
» 2« espèce.
3'' espèce.
Flintglass,
I''' espèce,
2" espèce.
3" espèce
4" espèce
on tirera des formules (5) et (r i) (75) ai=tt3, a2 = --ttbJi%
Par suite, si l'on réduit le dernier membre de la formule (4) ^ ^^es trois premiers termes, on tirera de cette formule, en supposant les valeurs de li et de ^ relatives, non plus à l'air, mais à un milieu quelconque,
^ = ^-^ - a J [i - bS A-2 + (2 b2- tu) JV/'l ; ^2
puis on en conclura
(77) s'=a%\k'-— bJA'*+ (2b-^— ar)JU''']
OU, ce qui revient au même,
(78) .ç'=o3A:^— ob3U'^+(2ab2 — a2f)JV.«.
Si l'on continue de prendre pour unité de temps le quotient qu'on
obtient en divisant une seconde sexagésimale par mille millions de millions, c'est-à-dire par (io)*% on devra, dans les formules (77) et (78), aussi bien que dans la formule (55), attribuer aux coefficients tt, b, c les valeurs que fournit le Tableau V. Si, au contraire, on prend simplement pour unité de temps la seconde sexagésimale, on devra diviser les valeurs de b tirées du Tableau Y par (loy^ et les valeurs de b^ et de c par (10)"». Alors la formule (77) donnera
Pour l'eau
Pour la solution de potasse. . . .
Pour le crownglass, i""" espèce. .^^ =^, 1935
^^700- — — +o,oooii3- (10)-' (
3« espèce. ^-^ = 4,„3,8 [^- -0,00749(^+0,00006, ^]
Pour le tlintglass, i'^ espèce.
» 2" espèce.
» 3^ espèce.
» 4^ espèce..
^--3>8^4c[^^^- 0,00941 ^^-^-0,000053^ ''^^98[(^-o,oo988^-^ -0,000069^-^] (lor -^'^'-4(4^ -^'^^996^^ -0,000071^
la valeur de k étant variable, non seulement avec la couleur, mais encore avec la substance que l'on considère, et déterminée par l'équation
Si dans les seconds membres des formules (79) on écrivait bk au lieu de k, les valeurs de k deviendraient relatives à l'air, et seraient telles que les présente le Tableau suivant.
Tableau IX.
Valeurs de k dans l'air'.
INDICATION DES RAYONS
Ul)
Logarithmes de k =
(iO)^
En multipliant une des valeurs de -r--z tirées du Tableau IX par la
valeur de G relative au même rayon et à une substance donnée, on
k obtiendra la valeur de 7 — rr relative au rayon et à la substance dont il
s'agit. Ainsi, par exemple, en faisant usage des logarithmes, on trouvera, pour les valeurs de k relatives à la solution de potasse, celles que fournit le Tableau suivant.
Tableau X.
Valeurs de k relatives à la solution de potasse.
INDICATION DES RAYONS
LO
LA- (airj
LA (solution de potasse).
- — - (solution de potasse) .
Or, si l'on substitue ces dernières valeurs de ; — rr dans la seconde des équations (79) ou, ce qui revient au même, dans la formule
(ior =^'97^2^7^ -o,o4o45^ +o,ooi3i ^^
on obtiendra, comme on devait s'v attendre, des valeurs de
et
de f—yi sensiblement égales aux valeurs de s- et de s renfermées dans
le Tableau I, et telles qu'on les trouve inscrites dans celui que nous allons tracer.
Tableau XI.
Valeurs de s^ tirées de la formule (70).
INDICATION DES RAYONS
(lO)'i
o.ooiSi
(io)2
(lo)i-^
(lO)'
o,oo57
BjO'iSi
ii,i4i
o,oi5
3,3io
Les différences qui existent entre les valeurs de s ou de — ^ four-
nies par les Tableaux I et XI sont inférieures aux variations que produisent les erreurs d'observations. Effectivement, on tire des formules (2) et (3)
et, si l'on substitue dans l'équation (81) les valeurs de s fournies par
le Tableau XI, en prenant pour ù la vitesse de propagation de la lumière dans l'air, c'est-à-dire en posant
1,000276 ^ ^ >^î7 -ty »
on obtiendra les valeurs suivantes des longueurs d'ondulation dans
l'air :
Tableau XII.
Valeurs de l tirées de la formule {'^i) jointe au Tableau XI.
INDICATION DES RAYONS
En dix-millionièmes de millimètre
En cent-millionièmes de pouce
Or, si l'on compare les valeurs de / inscrites dans la dernière ligne horizontale du Tableau XII à celles qui ont été fournies par l'expérience et que nous avons placées en tête du Tableau II (§ VI), on reconnaîtra qu'elles ne diffèrent point les unes des autres, si l'on en excepte toutefois les valeurs relatives au rayon H. Observons d'ailleurs que la différence des nombres
i45i et i45o
qui, dans les deux Tableaux, représentent l'épaisseur des ondes relatives au rayon H, exprimée en cent-millionièmes de pouce, se réduit à une seule unité de l'ordre indiqué par le dernier chiffre, et que les expériences de Frauenhofer qui déterminent les épaisseurs d'ondes, exprimées en cent-millionièmes de pouce, fournissent souvent pour un même rayon des nombres dont les derniers chiffres diffèrent entre eux d'une ou de plusieurs unités.
C'est en observant les phénomènes produits par des réseaux composés de fils métalliques parallèles les uns aux autres, que Frauenhofer a obtenu les nombres inscrits en tète du Tableau II (§ Vï),
savoir
On peut consulter à ce sujet le Mémoire lu par ce physicien à l'Académie de Munich le i4 juin 1823. Les nombres dont il s'agit y sont donnés dans les premières pages et se trouvent, à la fin du Mémoire, remplacés par les suivants :
Les épaisseurs d'ondes représentées par les nombres (a) et transformées en millimètres ont été adoptées par quelques physiciens (voir entre autres la Physique de Pouillet). D'autres physiciens, Herschel par exemple, ont adopté les épaisseurs d'ondes représentées par les nombres (b), en plaçant à la tête de ceux-ci le premier des nombres (a). Par conséquent ils ont supposé que les longueurs des ondes, exprimées en cent-millionièmes de pouce, étaient représentées, pour les rayons
par les nombres
Les deux suites de nombres (a) et (c) sont complètement d'accord dans le premier et le troisième terme. Elles s'accordent encore sensiblement dans le quatrième et le sixième; mais elles diffèrent assez notablement dans le septième ou dernier terme. D'ailleurs les formules établies dans le présent Mémoire permettent de faire servir trois termes supposés connus à la détermination des quatre autres, ainsi que nous allons le faire voir.
En raisonnant comme dans le § VII (p. 378 et 374), et négligeant les différences du quatrième ordre, ou même celles du troisième, on déduira des formules (5o) et (5i) d'autres formules propres à déterminer la valeur générale de 0/, quand on connaîtra les valeurs particulières de
ou même simplement les valeurs de
Ces formules coïncideront avec l'équation (27) du § VII et avec celle qu'on en déduit quand on supprime le dernier terme du second membre, par conséquent avec la suivante
P5— Pi 75 — 73 L P3— Pi J
la valeur de y] étant
Pareillement, en supposant toujours que l'on néglige les différences finies du troisième ordre, c'est-à-dire les quantités
on déduira des équations (43), (44)» (45) d'autres équations qui serviront à déterminer les valeurs générales des quantités
quand on connaîtra leurs valeurs particulières correspondantes à trois valeurs données de i. Ainsi, par exemple, en posant /i = 2, et regardant comme connues les valeurs de /r- correspondantes 'ài= \, i='à, i = 6, on tirera de l'équation (45)
Si maintenant on fait, pour abréger.
(85) V*—^ &i, r — ^î^' — (^i)(7/~73) n — r rp
p3— Pi (P6— p,)(yg— /j)
OEiuTcs de C. - S. M, t. X. 58
la formule (84) donnera simplement
(86) /T^:=./-2-4-B,(/-^-/;^)H-Q[/-^-/7-^-Be(/--'?7^)]
ou, ce qui revient au même,
(87) ir- = (« - \h-Ci)ir- + ih^r- + a^^.
p]nfin, si dans les équations (83) et (85) on substitue les valeurs de ^i et de Yi trouvées dans le § VIII, on déduira aisément de ces formules les valeurs de
y\, B,-, Ci et 1),
comprises dans le Tableau que nous allons tracer.
Tableau XIII.
Valeurs de y'/, lî,, C/, I),-.
SOMME
-o,oa2i34
-o,o85io -0,16970
l' il
927370 i 34;ïoÔ99
2o8oi55
L[-(.3g-?.)(t'6-ï'3)]- L(^lCi)
3,23io5
L[-(13/-Pi)]
LCBfi)
LCzcBaC/)
BgQ
Cj -+- D,
( — Cj — D,
En conséquence, on tirera de la formule (87)
Si dans ces dernières équations on substitue les valeurs de l^, l.,, l qui font partie de la suite (a) ou, ce qui revient au même, si, en prenant pour unité de longueur un cent-millième de pouce, on pose
/i= 2,541, 4—2,175, 4 = 1, 585, on obtiendra pour
les valeurs que détermine le Tableau suivant.
Tableau XIV.
Valeurs de h, l^, l-, /, déduites de la formule (87).
L[±{i-Ci-Di)l~'-].
L(/rM-
o,3io83
Ainsi, en adoptant comme exactes les valeurs de /<, 4 et 4 repré-
sentées par le premier, le troisième et le sixième terme de la suite (a), nous sommes conduits, par l'application de la formule (87), à remplacer la suite dont il s'agit par cette autre suite de nombres
Si au sixième terme de la suite (a) on substituait le sixième terme de la suite (b), les nombres (d) se trouveraient, en vertu de la formule (87), remplacés par les suivants :
En comparant les nombres (d) et (e) aux nombres (a) et (c), on reconnaît que, si des deux suites (a) et (c) la première s'accorde moins bien avec les suites (d) et (e) dans le second, le quatrième et le cinquième terme, elle s'en rapproche beaucoup plus dans le septième terme, dont la variation, quand on passe de la suite (a) à la suite (d) ou (e), est nulle ou seulement égale à trois unités de l'ordre indiqué par le dernier chiffre, et s'élève au contraire à treize unités du même ordre lorsqu'on passe des nombres (c) aux nombres (d).
En terminant ce paragraphe, nous ferons observer que les équations (43), (44)» (45) et (5o) ont une grande analogie avec une formule du même genre que j'ai donnée dans un Mémoire lithographie sur l'interpolation, et à l'aide de laquelle on pourrait encore développer aisément deux des trois quantités
Q, s et k ou /-*
suivant les puissances ascendantes de la troisième.
§ XII. — Sur les résultats que fournit l' approximation du premier ordre.
Le Tableau XI du § XI fournit les valeurs approchées de s'- que l'on déduit de la formule (77) ou (78), en supposant les valeurs de a, b, c, Jï relatives à la solution de potasse. Chacune de ces valeurs appro-
chées se compose de trois termes dont les deux derniers sont comparables aux valeurs de A0^ et de A-0,, c'est-à-dire aux différences finies du premier et du second ordre; et l'on reconnaît immédiatement à l'inspection du Tableau XI (§ XI) que le troisième terme, c'est-à-dire le terme du second ordre, est toujours moindre que la centième partie du premier. Il en est ainsi pour toutes les substances, même pour
l'eau, quoique le coefficient de - — -r^ soit, dans la première des f'or-
-1 -1 (lo)*- ^
mules (79), beaucoup plus considérable que dans les suivantes. Effec-
tiver
duit
tivement la valeur de 7— — r relative à l'eau et au ravon H, ou le pro
1 , 3442 X 1 , 0996 =z 2,1 5o2, a pour quatrième puissance le nombre
et le produit de ces derniers nombres par le coefficient 0,000378,
savoir
est inférieur à j^. Or ce produit représentera évidemment le rapport des termes proportionnels à ^^ et à k- dans le trinôme que renferme la première des formules (79).
Il suit de ce qu'on vient de dire que les formules (79) et autres du § XI précédent seront encore sensiblement exactes, si l'on y néglige les termes du second ordre. Alors, en posant, pour abréger,
on réduira la formule (7G) à
(2) ^^=9J = n{i — Mk'-) = u—n'k\
On peut d'ailleurs établir directement cette dernière formule de la manière suivante.
Concevons que les vibrations du fluide éthéré s'exécutent dans un milieu où la propagation du mouvement reste la même en tous sens,
et considérons un rayon dans lequel les déplacements moléculaires soient parallèles à Taxe des x. On devra, dans la première des formules (iG) du § I, supposer
et ^ fonction des seules variables indépendantes y, t. Donc cette formule donnera simplement
De plus, A; étant l'accroissement de la fonction ^, correspondant à l'accroissement Aj ou rcos|3 de la variable y, on aura, par le théorème de Taylor,
^^ ' ày 1.2 ôy- i .2.6 oy^ 1.2.0.4 Cy
En substituant la valeur précédente de M dans l'équation (3), négligeant les sommes qui renferment sous le signe S des puissances impaires de cosjîJ, et posant, pour abréger,
(îl=sj ^ [f(/-) +/(/■) cos^aJcos^l^L
^;3;^[f(0+/(Ocos^«]cos^[3J,
on obtiendra la formule
qui devient
df^ ôx- ôx*
lorsqu'on réduit la série comprise dans le second membre à ses deux premiers termes. Si d'ailleurs on choisit pour origine des coordonnées un point où les molécules d'éther ne soient pas déplacées dans
le premier instant, ^ devra s'évanouir quand on supposera simultanément
et l'on vérifiera cette condition, ainsi que la formule (7), en posant
(8) | = asin[A'(7±i20],
(9) ^^nzîi — îl'A^
C'est à très peu près en suivant cette méthode que j'avais établi la formule (2) ou (9) dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le 14 juin i83o. Cette même méthode a été publiée, ainsi que les formules (7), (8) et (9), dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac (t. XIV, p. 9, année i83o) (^); et, si elle a été proposée depuis dans un article du Philosophical Magazine (janvier i836) comme propre k simplifier les calculs développés dans le Mémoire sur la dispersion, cela tient évidemment à ce que l'auteur de l'article n'avait point sous les yeux le Tome XIV du Bulletin ci-dessus mentionné. Lorsque l'on considère le terme
comme une quantité dont le carré peut être négligé, on a
(10) I — îlA^2 ^ ^^ \
et l'équation (2) ou (9) devient
(11) ^,^^sin(A-vgâ)^
C'est sous cette dernière forme que l'équation (9) a été présentée et vérifiée à l'aide des expériences de Frauenhofer par M. B. Powel dans plusieurs articles que renferment les Philosophical Transactions et le Philosophical Magazine.
(1) OEuvres de Cauchj, S. II, T. II.
TABLE DES MATIERES
Pages
Préface et avis au lecteur 189
Considérations générales 19^
I. Équations différentielles du mouvement d'un système de molécules sollicitées
par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle 196
II. Intégration des équations établies dans le paragraphe précédent 201
m. Application des formules précédentes à la théorie de la lumière 221
IV. Propagation des ondes lumineuses dans un milieu où l'élasticité de l'éther
reste la même en tous sons 260
