I -t- r cost
et si l'on désigne par [x une quantité réelle, on trouvera, pour toutes les valeurs positives de i -+- rcos^ par conséquent pour toutes les
HÉSUMÉS ANALYTIQUES. 179
valeurs du module p comprises entre les limites o, i,
(3) i-H.r =:(i-t-2rcos/4-/-^)^e*v'^,
( 4 ) I ( I + :r ) = - I ( I 4- 2 /• COS ^ + /•- ) 4- 5 y' — -"' »
If:
(5) (i + ^)!^=(i-f-2/-cosf + /-^)2e!^-'v/-' = e!A'(i+^).
D'autre part, en supposant la variable x réelle et comprise entre les limites — i , -h i , nous avons trouvé
(6) l(i + a.)zr:^-:^ -f-:|- -...,
J'ajoute maintenant que les formules (6), (7) subsistent encore, pour des valeurs imaginaires de x, lorsque le module /• est inférieur à l'unité. C'est ce que l'on démontrera sans peine en opérant comitic il suit.
Concevons que, la variable x étant imaginaire et son module inférieur à l'unité, on pose
ce qui est permis, puisque alors la série comprise dans le second membre de la formule (8) est convergente. La formule (8) entraînera l'équation
(9) ey—\-\-x
iyoirXo, paragraphe précédent). Donc y sera l'un des logarithmes imaginaires et népériens de \ -\r x. En d'autres termes, on aura
V = 1 ( I -f- a:) ±: 2 A'Ti v' — I ,
(10) l(i + or) z= r q= 2^:7: y— \^=ix —'- 1- ^ — . . . =p 2 Att v — " .
k désignant un nombre entier, par conséquent
( I I ) - 1 ( 1 H- 2 r COS / + /'^ ) =: /• cos t COS lt^-^ cos Zl — . . .
et
(12) 5 = arc lanff r z= /sinf sin2< + — sin3< — ...zr: 2X7:.
^ 1 + 2 /• cos ^ + /•- 2 6
On tire d'ailleurs de la formule (12)
I r/ . '"^ . /■' . o \ rsin^ "1
)) ±A — — /sin^ sm2^+ — sin3^ — . . . — arc tanff -\
et, comme, en vertu du théorème VII (§ VI), la somme
/• sin < sin il -\- -^ sin 3 f — ...
sera, pour des valeurs de r comprises entre o et i, fonction continue de chacune des variables /• et /, il est clair qu'on pourra en dire autant du second membre de l'équation (i3). Donc ce second membre variera par degrés insensibles, avec r et t, entre les limites /- = o, r=r, / == — oc, / == 30. Cette condition ne pourrait être remplie si, /• et / venant à varier par degrés insensibles, la quantité entière =t^ changeait brusquement de valeur. Donc, pour toutes les valeurs de r et / comprises entre les limites dont il s'agit, ±^ conservera une valeur constante égale à celle que fournit l'équation (12) pour r = o, c'està-dire une valeur nulle, et les formules (10), (12) devront être réduites, la première à la formule (G), la seconde à la suivante :
/sinZ . /-^ . /"^ . o
(lA) arc laiiff — — , = rsin^ sin2^ + -rr- sin3^ — . . . .
^ ^ I -f- 2/' cos^ + /-^ 2 3
Si l'on suppose, en particulier, t = --> l'équation (i4) donnera
,.3 ,.5 (lo) arc tang /• = /• — -^ 4- 7; ...;
et, comme cette dernière ne changera pas de forme quand on y rem-
HÉSUMÉS ANALYTIQUES. 181
placera rpar — r, on en conclura, en écrivant x au lieu de ±: /', que l'équation
arc tango; r= j? T ~^ ~
subsiste pour toutes les valeurs réelles de x comprises entre les limites
Si l'on prend ic = i , on aura arc tang i = t' et, par conséquent,
(17) T.=:fji — ^ + ^ - i +...J=3,j4i599.65....
On trouvera encore, en attribuant à x une valeur imaginaire dont le module soit inférieur ii l'unité.
Le.
Observons maintenant que, la variable x étant toujours positive et son module inférieur à l'unité, la formule (8) entraîne, non seulement l'équation (9), mais encore celle-ci
(u. désignant une quantité positive quelconque). On aura donc encore
ou, ce qui revient au même,
Donc la formule (G) continue de subsister dans le cas où x, étant imaginaire, offre un module r< i . Alors, en égalant entre elles, dans les deux membres de la formule : i" les parties réelles, 2.° les quantités
qui sont multipliées par y— '» O" obtient les deux équations
(l + 2/-C0Si + r'^y C0S/J.5 =: I + [l.r Ç,0^t + ^-— ^- /-^ C0S2^ — • . -,
(i + arcosf + /•')'sinu.ç = a/sinf + —^ /•* sin2/ -h. . . .
Si dans ces dernières, jointes à la formule (2), on pose / = > on trouvera
5 = arctang/-, /•^lang.v, (i -f- 2/-cos/ + z-*)^ = (1 + r")* = séc5
cos.y
et, par suite,
f sin fjL5 = NjL taug5 — - — -^ tang'5 + . . . cos^s,
ou, ce qui revient au même,
( cosixs — [i — (|ul)2 tang''^ + {^)^ langV<^ — . . .]cosi^.î,
{ s\nixs z= [^ langs — (jui)3 tang'^ + • • •] cos(^5;
puis on en conclura
,3. . wlang.î — (u)3tang^v + . . .
(23) tanga5= Ç-r— ^ , — ^^ 1 -•
I — (F^)2 tang-^.y 4- {ix), Vàug's ~. . .
Comme d'ailleurs les équations (22), (23) ne changent pas de forme quand on y remplace s par — .y, il est clair qu'elles subsistent, quelle que soit la quantité a, pour toutes les valeurs de s comprises en(re les limites
(24) 5 =r— arclangr =; — j, 5 = arc lang i = -, •
Lorsque l'exposant [jl se réduit à un nombre entier m, les équations (22), (23) se réduisent aux équations (2) et (3) du § XVI, et peuvent alors être étendues à des valeurs quelconques de l'arc s.
TABLE DES MATIÈRES
DliS RÉSUxMÉS ANALYTIQUES.
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