ri
a;«=: pe^v'-l e±(2A;+l)lTV^
Il y a plus : on peut aisément s'assurer que toutes les racines de l'équation (8) sont comprises dans la formule (i3) lorsque a est positif, et dans la formule (i5) lorsque a est négatif. Effectivement représentons par
une quelconque des valeurs de x propres à vérifier l'équation (8), r étant un module positif et t un arc réel. En vertu du théorème ÏII du § XIII, on aura
et, comme l'équation (8) donnera
on en conclura : i° si « est positif,
puis, en multipliant de part et d'autre par l'exponentielle e~^'^~* ^
par conséquent [voir les formules (45), (4?)» (4^) et (5o) du § XV]
2° si a est négatif,
par conséquent
un
Si l'on suppose en particulier
on trouvera
et l'équation (7) OU (8), réduite à
aura pour racines les diverses valeurs de x que l'on peut déduire de la formule
±li^v^
en prenant pour k des nombres entiers. J'ajoute que, pour obtenir toutes les racines de l'équation (16), il suffira d'employer les valeurs entières de k comprises entre les limites o, - • En effet, considérons une valeur de k située hors de ces mêmes limites, et soit alors h le
nombre entier le plus voisin du rapport -• La différence entre les deux nombres hy - sera tout au plus = -, de sorte qu'on aura
étant une fraction égale ou inférieure à -> et par suite k' un nombre entier inférieur ou tout au plus égal à -• Or, comme on tirera succes-
sivement de la formule (i8)
•xk-K , , ik'TZ
il en résulte que, sans altérer les valeurs de x fournies par la formule (17), on peut y remplacer le nombre entier k, lorsqu'il est situé hors des limites o, -> par un autre nombre entier compris entre les mêmes limites.
Si l'on réduit le nombre k : i** à sa limite inférieure, c'est-à-dire à
zéro; 1° en supposant que n soit pair, à la limite supérieure -> on
obtiendra les seules racines réelles que puisse admettre l'équation (16), savoir
(19) ^ = 1 et ^ = — I,
la seconde disparaissant toujours lorsque n est impair; les autres racines, correspondantes aux valeurs
du nombre k, si n est impair, et aux valeurs
du même nombre k, si n est pair, seront imaginaires et conjuguées deux à deux. Donc l'équation (16) offrira, si n est impair, une racine
réelle cin — i racines imaginaires; si n est pair, deux racines réelles et /2 — 2 racines imaginaires. Le nombre total des racines distinctes sera dans tous les cas égal au degré n de l'équation (i6). En combinant la formule
xzzie "■ =: cos ±v — isin
avec les formules (67), (71) du § XII et posant successivement on trouvera, pour les racines imaginaires de l'équation x^ = i,
pour les racines imaginaires de l'équation œ^ = i,
as -=16 ^ rrriir V — I,
Si l'on suppose dans l'équation (7)
on trouvera encore
et l'équation (7) ou (8), réduite à
(20) ir'' = — I,
aura pour racines les diverses valeurs de x que l'on peut déduire de la formule
en prenant pour k des nombres entiers. De plus, comme la différence
entre le rapport
et le nombre entier A le plus voisin de ce rapport sera évidemment un»' fraction de numérateur impair, inférieure ou tout au plus égale à *, par conséquent une fraction de la forme
■ik' -^ I étant un nombre impair égal ou inférieur à n\ comme d'ailleurs
la formule
2n in
entraînera les suivantes
• T. --:^lhT.± T.,
Il II
Ik^r-X : 2Â'+1 , ■
Tti— 1 ± 71 V'—'
il est clair qu'on obtiendra toutes les racines distinctes de l'équation (20), en attribuant successivement au nombre k toutes les valeurs entières comprises entre les limites o, • Au reste, k ne peut
atteindre la seconde de ces limites et devenir égal à ~ qu'autant
que n est impair, et c'est alors seulement que l'équation (20) admel une racine réelle, savoir
Les autres racines correspondantes aux valeurs
(lu nombre k, si n est impair, et aux valeurs
du même nombre k, si n est pair, seront évidemment toutes imaginaires et conjuguées deux à deux. Donc l'équation {-20) ollVira, si // est impair, une racine réelle et /i — i racines imaginaires, si n est
OF.uvres de C— ^.\\,\..\. 21
pair, Il racines imaginaires. Le nombre des racines distinctes sera donc toujours égal au degré n de cette même équation. En combinant la formule
x-=ze " =1 cos ^ ^— ±v/ — I sin
avec les formules (67), (71) du § XII, et posant successivement
on trouvera, pour les racines imaginaires de l'équation x"^ = — \,
j7 m e ■^ =± V — i; pour les racines imaginaires de l'équation x^ =^ — i,
pour les racines imaginaires de l'équation x'' = — i,
ou plus simplement
± I ± sj'^
etc.
D'après ce qu'on vient de voir, les racines /i'^™^'* réelles ou imaginaires de chacune des quantités —1,4-1 sont en nombre égal 'ati. D'ailleurs, pour obtenir toutes les valeurs de x que donne la formule (i3) ou (i5), il suffit de multiplier successivement l'une de ces valeurs, par exemple
p"e"* ou p''ef^±'^'v'-»,
par les diverses racines de l'unité du degré n, ou bien encore de multiplier la seule expression
par les racines /^''^™^' de l'unité, si a est positif, et par les racines n''^'"^'* de — I, si « est négatif. Ajoutons que, dans le premier cas, l'expression (23) sera précisément une des racines w*^""^* de a + bsf^^i, c'està-dire une valeur particulière de x propre à vérifier l'équation (7). Cette valeur particulière est celle que nous désignerons par la notation
dont nous ne ferons usage qu'autant que la partie réelle de l'expression imaginaire renfermée entre les parenthèses sera positive. Cela posé, en admettant que p et '( soient déterminés par les formules (9), on aura, pour des valeurs positives de a,
et, pour des valeurs négatives de a,
(26) p''e'^ ~^ = {— a— bs/^^i)" .
Par suite, on tirera des formules (i3), (i5) : 1° pour des valeurs positives de a.
' ^UiJlj-:
(27) X z^\a-^ bsj— ly e 2" pour des valeurs négatives de a,
(28) jc — {—a—b\f^^iye~ " '' ,
et l'on pourra énoncer la proposition suivante :
Théorème \. — Le nombre des racines distinctes de l'équation binôme
est égal au degré a de cette équation. Ces racines ont un module commun équivalent à la puissance - du module de a -\- b \l — i . Elles sont représentées, pour des valeurs positives de a, par les seconds membres des for-
mules (i3) ou (27); pour des valeurs négatives de a, par les seconds membres des formules (ij) ow (28); e/, pour les obtenir toutes, il suffit de multiplier successivement l'une d'entre elles par les diverses racines n''"""' de r unité, c est-à-dire par les diverses valeurs de l'expression
Les racines /«''''"«"* de « + Z» y — i étant représentées par les seconds membres des équations (i3) ou (i5), les puissances m'*"" de ces racines (m étant un nombre entier premier à n), ou, en d'autres termes,
les diverses valeurs de la puissance de a-hbJ^^i du de^ré — > seront évidemment comprises, si a est positif, dans la formule
/Il «; ^ . . 2 /•i/i Tl I
(30) o~-e^^^''~' e~~^''\ et, si a est négatif, dans la formule
Dans le premier cas seulement, l'une de ces valeurs sera de la forme
tn w „ ;
Cette valeur, qu'on obtiendra en posant dans la formule ( '^o ) X- = o, est celle que nous désignerons par la notation
(32) {^a + b^/^iy,
de sorte que, en supposant les quantités p, 'C déterminées par les équations (9), on aura, pour des valeurs positives de a,
(33) p"e"^^"'==(«H-^v^=7)'', et, pour des valeurs négatives de «,
m ni y , ^
nÉSUMÉS ANALYTIQUES. 105
Par suite, les diverses valeurs de la puissance de a + h\—\ du degré — peuvent se déduire, pour des valeurs positives de a, de la
m n formule
et, pour des valeurs négatives de a, de la formule
11 est bon d'observer que chacun des facteurs
compris dans les formules (3o) et (3i), ou (3.5) et (3G), se réduit à l'une des racines a^'*^"^^^ de la quantité +i ou — i. Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'on obtiendra successivement toutes les racines, en attribuant successivement au nombre k, dans la formule (3-), les
valeurs entières comprises entre les limites o, -■, et, dans la formule (38), les valeurs entières comprises entre les limites o, ,
pourvu que, suivant l'hypothèse admise, le nombre m soit premier à n.
Observons encore que, en vertu des formules (25) et (32), on aura généralement, pour des valeurs positives de a,
{a+bs/-^y^[{a+bsr',r\
Si l'on divise l'unité par la puissance de a-\-b\j—\ du degré — c'est-à-dire par le produit (3o) ou (3i), on obtiendra la puissance di
a-hbs/— i du degré Les diverses valeurs de cette puissanct
seront comprises, si a est positif, dans la formule
pt, si a est négatif, dans la formule
Dans le premier cas seulement, l'une de ces valeurs sera de la forme
m tn ,
Cette valeur, qu'on obtiendra en posant dans la formule (4^) k = o, est celle que nous désignerons par la notation
de sorte que, en sup'posant les quantités p et C déterminées par les équations (9), on aura, pour des valeurs positives de a,
et, pour des valeurs négatives de a.
(45) f-ne"'''"^'={-a-b^-x) ".
En général, m et n étant des nombres entiers quelconques, les deux notations
(46) (a +6^/^)", (a-hbs/^^i) "
seront, comme la notation
(a + bs/^.y,
uniquement employées dans le cas où l'expression imaginaire renfermée entre les parenthèses offrira une partie réelle positive, à moins
aue la fraction — ne se réduise à un nombre entier. 1 n
Si la fraction — se réduit à un nombre entier m, alors les notan
tions (4G) pourront être employées, quel que soit le signe de la quantité a, et de la formule
(47) . a-hb^^^i—pe^>^'
(m déduira immédiatement les deux suivantes :
(48) {a + bsj—i)"'=ç>"'e"'^\/-'y {a + bsf^i) '" — p-'" e^'"^^-' .
Si, au contraire, — ne se réduit pas à un nombre entier, alors, en posant, pour abréger,
Il '
on tirera des formules (33) et (44)» niais seulement pour des valeurs positives de a,
L'équation (49) subsistant pour toutes les valeurs entières ou fractionnaires de la quantité positive ou négative désignée par a, l'analogie nous porte à l'étendre au cas même où la quantité [i. devient irrationnelle. C'est ce que nous ferons désormais. En conséquence, si [JL est irrationnel, la notation
sera employée pour désigner le produit
c'est-à-dire la limite vers laquelle converge l'expression
Çy/^
tandis que l'on fait converger la quantité positive ou négative ± — vers une limite égale à \k.
La résolution de l'équation (7) entraine celle d'une équation trinôme de la forme
En effet, cette dernière, pouvant s'écrire comme il suit (50
HÉSUMÉS ANALYTIQUES.
pourra être remplacée, si ^^ q est positif, par le système des deux
équations binômes comprises dans la formule
et, si 7 q est négatif, par le système des deux équations binômes
comprises dans la formule
si n se réduit ii l'unité, l'équation (5o) sera réduite à l'équation du
second degré
œ--\- px -\- q-=zo
et admettra deux racines réelles inégales et comprises dans la formule
si l'on a (56)
deux racines imaginaires inégjiles comprises dans la formule
si l'on a (58)
.v^-t±(q-El) V/-',-
enfin deux racines réelles égales et déterminées par la formule
SI I on a
En terminant ce paragraphe, nous ferons, relativement aux racines ^ièraes jç l'unité représentées par les diverses valeurs de l'expression (29), une observation qui n'est pas sans importance.
Si l'on pose, pour abréger,
et si l'on nomme /, /' deux quantités entières positives ou négatives, mais tellement choisies que /'— / ne soit pas divisible par n, les expressions
seront deux racines n}*'""'^ de l'unité distinctes l'une de l'autre, puisque la différence
hi—Dt. I —
ne peut s'évanouir qu'autant que
est un nombre entier. Donc les expressions (62) seront deux racines ^iémes jg l'unité distinctes l'une de l'autre, si la différence /'- /est inférieure à n, d'oii il résulte que, pour obtenir toutes les racines de l'unité du degré n, il suffit de prendre n termes consécutifs de la progression géométrique
indéfiniment prolongée dans les deux sens, par exemple les termes
QEuvres de C. — S. H, t. X.
§ XX. — Logarithmes des expressions imaginaires et logarithmes imaginaires des quantités réelles.
Soit
une expression imaginaire quelconque, a, b désignant deux quantités réelles. Ce qu'on appelle le logarithme de « + è \J — i dans le système dont la base est A, c'est une seconde expression imaginaire ol-\-^\J — i, dans laquelle les quantités a, (3 sont tellement choisies que l'on ait
et, par conséquent, eu égard à la Formule (5) du § XV,
(2) ^(a+Pv'-O'A — a + z^v/^- Ainsi, en particulier, un logarithme népérien de a-hbsj—i sera
une expression imaginaire a + (^s/— i tellement choisie que l'on ait
(3) e«^-Pv'^ — a + 6v/^^.
D'ailleurs, si l'on fait
(4) p = \/a--h b^, C = arctang-,
et si l'orï désigne par k un nombre entier quelconque, on trouvera, pour des valeurs positives de a,
et, pour des valeurs négatives de a^
Cela posé, il est clair qu'on vérifiera la formule (3), si a est positif, en prenant
(7) aH-|3v/=^ = lp + (C±2A-7r)v/=^,
et, si a devient négatif, en prenant
(8) a + |3v/^ = lp-t-[C±(2A- + i)7r]v/^^.
Il y a plus : on peut aisément s'assurer que la formule (7) ou (8) fournira tous les logarithmes népériens de l'expression imaginaire ■ a^ hyj^^i. Car, en vertu du théorème II du § XIII, le module e* du premier membre de l'équation (3) devra se confondre avec le module p de l'expression a + b\]~ i. On aura donc
D'autre part, si, en adoptant la valeur précédente de a, on réduit k à zéro dans la formule (5) ou (6), on tirera de cette formule, jointe il l'équation (3) : 1° pour des valeurs positives de a,
par conséquent
e(P-0\/=T=:i, ^-^ = ±.'2kTi, (3 = DZ2A-7r;
2° pour des valeurs négatives de a,
par conséquent
^[Ei-(?±7:)]v/=î,^ P-(DZ:7r)=:d=2X:7r, [3 = Ç ± (2Â: + i);:.
On prouvera de môme que les valeurs de a -f- ^ sj^—i propres k vérifier la formule (2), ou les logarithmes de « + b>J— i relatifs au système dont la base est A, sont tous compris, pour des valeurs positives de a, dans la formule
et, pour des valeurs négatives de a, dans la formule
(,o) a + Pv/rr, = 'M-Jl±li^+OWE: = Lp + (Ç ±^k^)Le,l-u
Si l'on suppose, en particulier, « 4- Z>v/-^ = ± f » par conséquent p = o, (; = o, les formules (7), (8), ou (9), (10) donneront pour les logarithmes népériens de + i, non seulement zéro, mais encore toutes les expressions imaginaires de la forme
(lï) ±i2kn\J—i ou ^iknLesJ^^i,
et, pour les logarithmes népériens de — i, toutes les expressions imaginaires de la forme
(12) ±{ik + \)T.\/—i ou it: (2X:-M)7:Lev/— ~i-
Généralement, si a-hb\J~i se réduit à une quantité réelle a, on pourra, en vertu des formules (7), (8), ou (9), (10), considérer comme logarithmes de a : 1° si û! est positif, toutes les expressions comprises dans la formule
(ï3) 1ct±: aA-TTy/— I ou Lazt^kTiLe^f^;
2"" si a est négatif, toutes les expressions comprises dans la formule
(i4) \i—a)±(2k-hi)n\/'-^i ou L(— «) ih (2^-7: -+- i)Lev/— i-
Observons d'ailleurs qu'on peut obtenir toutes ces expressions en ajoutant à l'une quelconque d'entre elles, par exemple, lorsque a est positif, au logarithme réel la ou La, les divers logarithmes imaginaires de l'unité.
Lorsque, h n'étant pas nul, a est positif, l'un des logarithmes de a -h b\/— I, savoir celui qui correspond à une valeur nulle de A, est précisément
(i5) ]p^Z\/'^i ou Lp + ÇLe\/^,
suivant que l'on prend pour base le nombre e ou le nombre A. C'est ce logarithme que nous désignerons par la notation
(16) l(a^^y/Zr,) ou L(a-ir b\/~i),
dont nous ne ferons usage qu'autant que la portion réelle de l'exprès-
sion imaginaire renfermée entre les parenthèses sera positive. Cela posé, en admettant que p et C soient déterminés par les formules (4), on aura, pour des valeurs positives de a,
Ip + Çv/— 1= \{a-\-b\J--\)^
Lp + ÇLey/— I = L(a + b\j — 1),
et, pour des valeurs négatives de a,
( \a^'C,\J—\—\{~a — hsJ—\),
( Lp 4- ÇLev^— I = L(— a— 6\/— i).
Par suite, les divers logarithmes de l'expression a 4- b'^ — \ se déduiront, pour des valeurs positives de a, de la formule
(19) \{n -\- bsj —\)-±iikT.\] —\ ou L (a + h \J — i ) d= 2 A-tt L e y/— i , et, pour des valeurs négatives de a, de la formule
(20) \{^—a—b\]—\)±:{'ik + \)'!z\]—\ ou L(— a— ^\/— i) ±(2 A+ i)7:v/— i.
L'inspection de ces diverses formules conduit immédiatement à la proposition suivante :
Théorème I. — Une quantité réelle ou une expression imaginaire quelconque a toujours une infinité de logarithmes imaginaires , dont l'un devient réel lorsque l'expression donnée se réduit à une quantité positive. De plus , pour obtenir tous ces logarithmes, il suffît d'ajouter à l'un d'entre eux les divers logarithmes de l'unité compris dans la formule
±ikv:\j — I ou ±ik-Khe^ —i.
Ajoutons que, en vertu des formules (17) et de la formule (49) du § XIX, on aura toujours, en désignant par o^ une expression imaginaire dont la partie réelle soit positive,
(21) Lx-=L -— z=\xLe
lA
et
(22) xV-=e^^'^=^Ay-^^.
Soient maintenant
(23) x = a + bsj^^ï, y — a' -h b' \/'^ , z = a" + b" sj"^ ,
plusieurs expressions imaginaires dont les parties réelles
soient positives. Si, en désignant par
leurs modules, on pose
Ç~arctang-, r=aictang-, r=arctang^', on trouvera
(24) .r = pe^\/~\ y — p'e^'\/=T, ^^^„^r»^—y^
et, par suite,
(25) xyz. . . —pp'p". . . e(ÏH-Ç'+Ç"+...)v/^.
Si d'ailleurs l'arc
est compris entre les limites ^, + ^, la partie réelle du produit ar^r. sera positive, et l'équation (25) entraînera les suivantes
\{œyz...)^ l(pp'p"...) + (C + C'+r + ...)v/^, L(^7.^...) = L(pp'p"...) + (Ç + C'4-C"+ ...)Lev'=^,
qu'on pourra encore écrire comme il suit :
i \{xyz...)— 1^+ Iy+ \z+.
Pareillement, si, « étant positif et [jl désignant une quantité réelle quelconque, le produit aC reste compris entre les limites - -, + - , la prc-
mière des équations (28) donnera, non seulement
(27) jcV'=.{a + b\/~^y—r^V-eV-^^'^\
mais encore
ou, ce qui revient au même,
Ainsi les formules (26), (28), qui sont généralement vraies lorsque X, y, z désignent des quantités réelles positives, en vertu des propriétés fondamentales des logarithmes réels, ne peuvent pas être étendues, sans de notables restrictions, au cas où a;, j, z, ... deviennent imaginaires. Dans ce dernier cas, les formules (26) subsisteront si, les valeurs de x, y, s, . . . étant déterminées par les formules (23), et leurs parties réelles «, a', a!' , . . . étant positives, la somme
(20) arc lang — 1- arclang— ^ + arclang— n 4- . . .
reste comprise entre les limites 5 h--> et les formules (28) si, la
quantité a étant positive, le produit
(3o) juarctang-
reste compris entre les mêmes limites.
§ XXI. — Des séries imaginaires doubles ou multiples.
Si l'on suppose que les quantités comprises dans le tableau (1) du § VIll se changent en autant d'expressions imaginaires, la série double, dont ces quantités étaient les différents termes» deviendra
une série double imaginaire, dont le terme général sera représenté par
m, m' étant deux nombres entiers quelconques. Pareillement on peut imaginer une série imaginaire triple dont le terme général
serait une fonction imaginaire des trois indices entiers m, m', m", et Hnalement une série imaginaire multiple dont le terme général serait une fonction imaginaire de m indices
chacun de ces indices pouvant recevoir successivement les valeurs
entières
Cela posé, nommons s^ la somme formée par l'addition d'un nombre fini ou même infini de termes de la série multiple, cette somme étant composée de manière qu'elle renferme au moins tous les termes dans lesquels la somme des indices est inférieure à /z, et que jamais elle ne comprenne un terme correspondant à des indices donnés sans renfermer en même temps tous les termes qu'on en déduit en remplaçant ces mêmes indices ou quelques-uns d'entre eux par des indices moindres. Si, toutes les fois que les deux conditions précédentes sont remplies, la somme s„ converge pour des valeurs croissantes de n vers une limite fixe s, la série multiple sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série.
Dans le cas contraire, la série imaginaire multiple sera divergente et n'aura plus de somme. Si, dans le premier cas, on pose
r^ sera 4e reste de la série imaginaire multiple, et ce reste, qui représentera ce qu'on peut nommer la somme de tous les termes non compris dans Sn, deviendra infiniment petit pour des valeurs infiniment
grandes de n. En partant de ces définitions, on prouvera sans peine que, pour rendre les théorèmes I, II, III, IV, V du § VIII applicables aux séries imaginaires multiples, il suffit de substituer dans ces théorèmes les modules des différents termes à leurs valeurs numériques. Ainsi, en particulier, on pourra énoncer les propositions suivantes :
Théorème I. — Lorsque les modules des divers termes d'une série imaginaire multiple forment une série réelle convergente, la série imaginaire est elle-même convergente.
Théorème II. — Supposons que, pour un module de la variable n inférieur à c, la fonction y de x soit développable en une première série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, et que, pour un module de la variable y inférieur à c' , la fonction z de y soi/ développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de y ; z, sera développable en une nouvelle série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x, toutes les fois que le module de x, étant inférieur à c, produira pour les termes de la première série des modules dont la somme sera inférieure à c'.
Pour montrer une application du théorème II, supposons que, la valeur àa x étant imaginaire, on prenne
Comme les séries comprises dans les seconds membres des formules (i) et (2) seront convergentes, la première pour tout module de la variable x inférieur à l'unité, la seconde pour toute valeur imaginaire et finie de la variable y, on tirera de ces formules, en attribuant à a; un module r<^i ,
Or, en vertu du théorème II, le second membre de la formule (3)
OEui^res de C. — S.U,t.X. a3
devra se réduire pour [i. <] i à la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de x. D'ailleurs, ce second membre, coïncidant pour des valeurs réelles de x avec le second membre de la formule (4) du § XI, se transformera, par cette réduction, en celui que présente la formule (7) du même paragraphe. On arura donc, pour /• < i ,
Rn d'autres termes, tant que le module de x restera inférieur à l'unité, la fonction/ déterminée par la formule (i) vérifiera l'équation
Si l'on suppose, en particulier, a. = i, la formule (4) donnera simplement
(5) ey=i + x.
§ XXII. ~ Développements des fonctions l(i+a;), h{i -\- x), (1 + xy dans le cas où la variable x devient imaginaire .
Concevons que l'on attribue à la variable x une valeur imaginaire et de la forme
(i) ji- n: reV-'=i r(cos^ H- \/ — isin^),
/•désignant un module positifet/unarc réel. Si l'on fait, pour abréger,
/• sin^ (2) 5=:arctang
