M ^ + TY) -T- W Ç
puis, après avoir substitué cette valeur dans chacune des formules ([), on tirera de ces dernières formules les valeurs des trois inconnues ^, yj, '(.
Lorsque les déplacements et les vitesses des molécules de l'étlier sont primitivement parallèles au plan de l'onde lumineuse, les valeurs initiales des deux quantités
y ^ de dn dt
at at 01
s'évanouissent, et l'équation (3) donne généralement
(4) . «^ H- rri + <T'C = o.
Par suite, en posant, pour abréger,
on réduit les formules (i) à
Or on tire des formules (G)
1^ —Eo cos st -h c,i ■(]■= no cossi 4-Y)i Ç =Ço cosst-hKi
^0» Y]o, ^0' ^1. Y],, ^, désignantjes valeurs initiales de
■c ^ di ôf] d^
ot ôt dt
D'ailleurs ces valeurs initiales que déterminent les équations (26),
sin.ç^ s
sin.ç^
ot (27) du § II, jointes à l'équation a.c.:> .. . . . .
(8);i.»- >; ■c^=zax -^ by -^ cz '
OU, ce qui revient au même, à la formule
(9) k\^=i ux -^- vy ->r wZf
devront vérifier des conditions semblables, soit à la condition (78), soit à la condition (63) du § II, si l'on veut obtenir seulement des ondes lumineuses dont la vitesse de propagation soit dirigée dans le même sens que la droite OP, ou des ondes luniinêuses dont la vitesse de propagation soit dirigée dans le sens opposé, la droite OP étant celle qui forme, avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles dont les cosinus sont respectivement
Dans le premier cas, on aura
(•0 l, = -il^-^, V,,
dt
■ Ci =
dt
la vitesse de propagation d'une onde étant
et, des formules (7), («o), (11) jointes aux équations
/ ^0 = î'o cosA-t + 9o sin/ct == cp (t),
(i3) < y)o=^ fo cos^t + l)o sinA-t =:p(;(t),
\ Ço = t'o cosA-t -f- to sinAt =:4'('^)'
on tirera
/ \ =: îioCOs(At — .sO + 9o sin(A:t — 5^) = 9(1 -^ i2^),
(l4) < "0 r= fo COS(A't — .9^) + l)o Sin(A-t — 5^)=:^(t — ^t),
( Ç = f 0 cos( At — $t) -H tg sin(At — st) = d;(t — Çlt). Dans le second cas, les formules (i4) devraient être remplacées par
celles qu'on on déduit en substituant aux binômes
/ct — st, i.-~i2t
les binômes
kv-hst, T.-\~i2t.
Ajoutons que, l'équation (4) devant être vérifiée indépendamment des valeurs attribuées à x et à /, par conséquent pour des valeurs de
kt — st égales à zéro et à -, on trouvera, entre les constantes arbitraires
^0» ^o> *o, l9o> Ho» 'o,
des relations exprimées par les formules
(l5) uio-h i'Co-]r wig — o, «00+ t'l]o+ tvto = o
ou, ce qui revient au même, par les formules
(i6) aio-^ bco^ c(o=o, a^Q-^ b\]o-h cio=o,
desquelles on tirera
Soient maintenant
a', b\ c' et a\ b", c"
les cosinus des angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par deux nouvelles droites OQ, OR perpendiculaires entre elles et à la droite OP. Posons d'ailleurs
(18) «'9(t)-i-^>'x(^) + ^' +(0 = ^(0 et
Les trois axes OP, OQ, OR étant rectangulaires entre eux, aussi bien que les axes des x, y, z, on aura, non seulement
/ «2 ^^2 +c- =1, a''- +b'-' +c"'=i, a"'+fy''+c'''—ir \ a'a"-hb'b"-hc'c"=:^o, a" a -\- b" b + c" c =z o, aa' + bb'-^ cc'=o.
mais encore
I a" + «'2 + a"^ = I , b- +b'^ + h"'- —\, c- + c'^ + c"^ — i , f />CH- ^'c'4-6"c"m:o, ca + c' a' + c" a"z= o, ah + a' b' -\- a" h"—o;
et, par suite, des formules (17), (18), (19), respectivement multipliées par a, a' , a" ou par h, b' , h", ou enfin par c, c' , c", on tirera
/ cp(t)=:«'cT(t)+a"n(t),
(22) l yS^) = b'TJ5{^) + b"\i{^),
\ J;(v) = c'sT(v)-l-c"n(t).
En conséquence, les formules (i4) donneront
(23) ]n~b'-G5{-v — Çlt)-^b"Jl{^ — Çlt), ( Ç=c'cT(t-i20 + c"n(t — i^O.
Observons d'ailleurs que, si l'on fait, pour abréger,
(24) a' bo + 6' fo 4- c' fo = ^, a' 00 + ^' bo + C to = B,
(25) a''bo+^"fo+c"fo=€, a"0o+^/bo+c"io=D,
on conclura des formules (18), (19) jointes aux équations (i3)
( cj(t) rr:3 cosAi + B sinA-t, (26)
( n(t) = € cosA-v + D sinA-t.
Dans le cas particulier où le plan de l'onde primitive devient parallèle à l'axe des s, et où la droite OP, renfermée dans l'angle que comprennent entre eux les demi-axes des x et des y positives, forme avec le premier de ces demi-axes un angle aigu représenté par t, on a
(27) a = cosT, è^rsinr, c = o.
Dans le même cas, en faisant coïncider la droite OQ avec un demi-axe mené dans le plan des x, y perpendiculairement à la droite OP, et la droite OR avec le demi-axe des z positives, on trouvera
(28) «'=: sinr, 6'=; — cosr, c'= o
et
(29) «"=0, f^io, c"=i.
Par suite, les formules (23) donneront
(30) ^=isinTnT(t — i20, "O — — cosTCT(t — i^O» Ç = n(t — Î20; et, comme on tirera de l'équation (8)
(3i) t =r ^ cosT 4- j siiir,
on aura définitivement
/ I = sinrîrT(^cosT-i- jsinr — i2^), (32) < Tf) = — cosTGj(^cos--+- j'sinr ~ i2/),
\ Ç =n(j7C0ST 4- r sinr — i20,
les fonctions cî(ï), n(t) étant toujours déterminées par les formules (26), ou, ce qui revient au même, eu égard à l'équation {\i),
i l =: sinT|3cos[A-(^cosT+/sinT) — 5^] + Bsin[A-(.2;cosT 4- r sinr) — 5«] I , (33) < f] = — cosTJvlcos[A-(^cosT+/sinT) — st] +13 sin[A-(j7 cosr + / sinr) — .ç^ | , ( Ç= <!^cos[^(^cosr + 7sinr) — 5^] 4-i3sin[A-(^cosT+ y sinr) — 5f].
Remarquons encore que l'équation (5) ou, en d'autres termes, l'équation (78) du § III peut être remplacée par la formule (80) du même paragraphe; et que, si l'on fait, pour abréger,
(34) (i «+ia„=b —^ f /■ H /(r)cos2a ,
cette formule donnera simplement
(35) ^ 52=aiA-2 4-a,A-*+a3y:-« + ....
De cette dernière jointe à la formule (12) on conclura
D'ailleurs, en désignant par / l'épaisseur d'une onde plane et par T la
durée des oscillations moléculaires du fluide éthéré, on aura, comme dans les paragraphes précédents,
Il est important d'observer que, en vertu de la formule (38), la quantité s dépend uniquement de la durée des oscillations moléculaires, c'est-à-dire de la nature de la couleur, tandis que, en vertu de l'équation (35) jointe aux formules (12) et (37), les quantités k, ù et / dépendent simultanément de la couleur et de la nature du milieu dans lequel se propagent les ondes lumineuses. Quant à l'angle t, il dépend uniquement de la direction des plans parallèles qui renferment ces mêmes ondes.
§ V. — Sur la /^fraction de la lumière.
Considérons deux milieux séparés par le plan des j^, dont chacun soit tel que l'éther y offre la même élasticité en tous sens, et dans l'un desquels se propagent des ondes lumineuses dont les plans soient parallèles à l'axe des z. L'existence de ces ondes, que nous nommerons incidentes, entraînera la coexistence : i** d'un second système d'ondes propagées dans le premier milieu, et que l'on nomme réfléchies; 2" d'un troisième système d'ondes propagées dans le second milieu, et que l'on nomme réfractées. Car, en faisant abstraction de ces ondes réfléchies et réfractées, on ne pourrait satisfaire aux conditions relatives à la surface de séparation des deux milieux.
Nous avons montré, dans le Bulletin des Sciences, comment de la remarque précédente on peut déduire, non se.ulement les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière, mais encore la détermination de la quantité de lumière polarisée par réflexion et par réfraction sous une incidence donnée, la loi de Brewster sur l'angle de polarisation complète et les formules insérées par Frcsnel dans le n° 17 des
Annales de Chimie et de Physique. Nous nous bornerons pour l'instant à déduire de la même remarque la loi de la réfraction, en admettant, comme l'expérience le prouve, que la réflexion ne change pas la na- (ure de la couleur, et que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion.
Pour un seul des trois systèmes d'ondes incidentes, réfléchies ou réfractées, les déplacements ^, •/], 'C de la molécule lumineuse correspondante au point {x, y, z) se trouveraient déterminés par des équations semblables aux formules (33) du § IV. Ajoutons que, dans le passage des ondes incidentes aux ondes réfléchies, les quantités s et T ne varieront point, ni même les quantités k, il, l, puisque les premières dépendent uniquement de la couleur, les autres de la couleur et de la nature du milieu. Quant à l'angle d'incidence t, on devra le remplacer, lorsqu'on passera des ondes incidentes aux ondes réfléchies, par son supplément û — t, afin d'exprimer que les deux angles d'incidence et de réflexion sont égaux entre eux; et par suite on devra dans ce cas changer seulement le signe de la première des deux lignes trigonométriques cost, siuT.
Cela posé, soient
ce que deviennent les coefficients
quand on passe du système des ondes incidentes au système des ondes
réfléchies, et
ce que deviennent les quantités
s, T, /.-, 9., l, :\, ti, (C, 0
.quand on passe du système des ondes incidentes aux ondes réfractées. Si l'on considère à la fois les deux systèmes d'ondes propagées dans le premier milieu, on devra, pour ce milieu, remplacer les équations (33)
OEuvres de C. — S. H, t. X. 33
du § IV par les formules
^ r= sinTj^îl cos[A-( ^cosT+jsin-r) — 5f] + jU sin[A( ^cosr + jsinr) — .y^]| + sinrl^iCOs[A-(— ^cosr + jsinr) — st] + îî, sin[A-(— ^ cost + jsinr) — .î^]|,
•^zz: — cost|^ cos[A"( x cosT -\- f s'mz) ~ st] -\- 'ô sin[A-( a^ cosr -i-y s'inz) — st]\ 4- costJ:21iCos[A-(— ^cosr+jsin-r) — 5^] + Ui sin[A-(— ^cost +/sinT) — st]\,
Çrr:€cos[A-( ^ cosT + / siiit) — .9^] + D sin [ A-( ^cosT H- jsinr) — 5^]| -+-CiCOs[A-(— ^C0ST + ysin-) — st] + li sin[/r(— ^cost -l- y?,inz) — st][.
On trouvera au contraire, pour le second milieu,
^ = sinr' j 3l'cos[/c'(.3? cost'-i-/ sinr') — s't] + Î3'sin [k' (^ cost'+ y sinr') — .<!'t]\, (2) < Y] — — cosT'j:3l'cos[A''(;rcosT'-i-jsinT') — 57] + B'sin[A-'(^cosT'-h/sinT') — s't][, Ç =: C'cos[A'(^cosT'+7sinT') — 57] +H'sin[A-'(^cosT'+rsinT') — s't].
D'ailleurs la surface de séparation des deux milieux et des deux masses de fluide éthéré qui s'y trouvent comprises coïncide, lorsque ces deux masses sont dans l'état naturel, avec le plan des j, z représenté par l'équation
et, pour que ces deux masses restent contiguës l'une à l'autre pendant la durée du mouvement, il est nécessaire que la valeur de ^, relative ii un instant donné et à un point donné de la surface de séparation, ne soit point altérée, quand on passe de la première masse à la seconde. Enfin, comme, en posant x^o, on tire de la première des équations (i)
(4) ^ = sinT[(5l + 3,)cos(A'/sinT — ^0 + (Î3 -+- ï3i) sin( A/sinr — 5^]
et, de la première des équations (2),
(5) l = &'mr'[:^'cos{k'ys'mT'— s't) -\-^'sin{k' y sinr'— s' t)]y
la condition que nous venons d'énoncer donnera
sinT-[(:2l + Zi) cos{ky sinr — ^0 + (B + iBi) sin(A:/sinT — 5f)] = sinT'[-2l'cos(A'>'sinT'— 5'0 +î3'sîn(A'/sinT'— ^'0],
si toutefois on admet que l'on puisse, sans erreur sensible, ne pas tenir compte des légères modifications que peut apporter le voisinage du second milieu à la valeur de ^, déterminée par la première des équations (i), et le voisinage du premier milieu à la valeur de H, déterminée par la première des équations (2).
Observons maintenant que, l'équation (G) devant subsister indépendamment des valeurs attribuées aux variables y et t, les coefficients des puissances semblables de y et de / devront être égaux dans les deux membres de cette équation développés en séries convergentes, ordonnées suivant les puissances dont il s'agit. De cette seule considération on déduira immédiatement les formules
(a -h a,) sinr = a'sinr', (Î3 4- Î3,) sinr = S'sinr, k sinT=: k's'mT',
auxquelles on parvient encore très simplement de la manière suivante :
Si l'on pose j = o et / = o : i" dans l'équation (6); 2*^ dans cette même équation, différentiée une, deux ou trois fois de suite par rapport à t, on en tirera successivement
(^ -I- 3i) sinT= ^'sinr', 5( j3 4- Î3i ) sinr = s' Î3' sinr', 52(a + a,)sinT = 5'2a' sinr', 5'(Î3 4-0, ) sinT = .v''î3' sinr'.
Or la première des équations (10) jointe à la quatrième, et la seconde jointe à la troisième, entraîneront les formules (7) et l'équation
de laquelle on conclura, en extrayant les racines carrées positives des
deux membres
Si l'on posait t = o dans l'équation (G), différentiée une, deux ou
trois fois, non plus par rapport à /, mais par rapport à y, on obtiendrait trois nouvelles formules, qui, jointes aux formules (lo), entraîneraient, non seulement les équations (7) et (9), mais encore l'équation (8). La seconde de ces nouvelles formules serait
(11) A'sinr(î3 -^ ï3,)sinT=: A-'siii-'i3'sinT',
et, en la combinant avec la seconde des formules (7), on obtiendrait immédiatement l'équation (8).
En vertu de l'équation (9), la quantité s, réciproquement proportionnelle à la durée T des oscillations moléculaires du fluide éthéré, ne varie pas dans le passage d'un milieu à un autre, et par conséquent la réfraction ne change pas la nature de la couleur. Donc, si un rayon de lumière rouge, après s'être propagé dans l'air, traverse un liquide tel que l'eau, il paraîtra rouge encore à un observateur dont l'œil serait plongé dans ce liquide. Quant à l'équation (8), elle donnera
sinr' k
si 117 k'
D'ailleurs, en nommant (2, Cl' les vitesses de propagation de la lumière dans le premier et le second milieu, on aura, en vertu de la formule (12) du § IV,
et, par suite.
Donc l'équation (12) pourra être réduite à
sinr' i2'
sinr i2
Or la formule (i5) montre que le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction est constamment égal au rapport entre les vitesses de propagation de la lumière dans le premier et le second milieu. Cette
conclusion se trouve, comme l'on sait, confirmée par l'expérience ; car, en faisant varier l'angle d'incidence pour un rayon d'une couleur donnée qui tombe sur la surface d'un corps réfringent, on obtient toujours le même rapport entre les sinus des deux angles d'incidence et de réfraction.
Le rapport entre les sinus de l'angle d'incidence t et de l'angle de réfraction t' est ce qu'on nomme Vindice de réfraction. Si l'on désigne cet indice par 0, on aura, en vertu de la formule (12),
„ sin- A'
sinr' k et, par suite,
(16) k'^Qk.
§ VI. — Applications numériques.
Lorsque, 'dans un milieu transparent, l'élasticité de l'éther reste la même en tous sens, la durée T des oscillations moléculaires du fluide éthéré se trouve liée à l'épaisseur /d'une onde plane par l'équation
(i) .v^=ai/.--i-a2A-+a3A« + ...
[voir la formule (35) du § IV], dans laquelle on a
D'ailleurs, la vitesse de propagation 12 d'un rayon de lumière étant donnée par la formule
k on aura encore
Dans les seconds membres des équations (i) et (5), comme dans le
séries que renferment les formules (64), (65), (66) du § III, les coefficients
des puissances ascendantes de k décroissent très rapidement, et la valeur générale de a^, déterminée par la formule
est une quantité très petite de l'ordre 2/1 — 1, dans le cas où la distance r de deux molécules d'étlier, assez rapprochées pour exercer l'une sur l'autre une action sensible, est considérée comme très petite du premier ordre. Ajoutons que, si un rayon d'une couleur déterminée se réfracte en passant d'un premier milieu dans un second, la nature de la couleur, et par suite chacune des quantités T, s, restera invariable, tandis que les quantités
se changeront dans les suivantes
0 désignant l'indice de réfraction. Alors aussi les coefficients
obtiendront des valeurs différentes dans le premier et dans le second milieu.
Un très habile observateur, Frauenhofer, a déduit d'expériences faites avec beaucoup de soin les indices de réfraction pour sept rayons colorés, correspondants à certaines raies que présente le spectre solaire, et déterminé les diverses valeurs que prennent ces mêmes indices lorsqu'on fait passer les sept rayons de l'air dans des prismes de
verre ou de cristal, remplis ou entièrement formés de diverses substances liquides ou solides. Les substances employées par Frauenhofer sont .-l'eau, une solution de potasse, l'huile de térébenthine, trois espèces de crownglass, et quatre espèces de flintglass. Ajoutons que deux séries d'expériences sont relatives à l'eau, et deux autres à la troisième espèce de flintglass. Le Tableau suivant contient le résultat des expériences de Frauenhofer, relatives aux sept rayons qu'il a désignés par les lettres B, C, D, E, F, G, H. Pour plus de commodité, nous représenterons les valeurs de 0, correspondantes à ces mêmes rayons, par ,
Ou
Tableau L Indices de réfraction pour les rayons B, C, D, E, F, G, H de Frauenhofer
SUBSTANCES REFRINGENTES.
„ ^^serle
bau. < g , .
( i" série
Solution de potasse
Huile de térébcntliinc
^ l 1 "espèce
Crown- „ , , 1 espèce
l 3" espèce
i''^espèce
,,,. ^ , %" espèce
1 \ on ^ \ i'" série,
lass. 1 3" espèce. < , .
( %" série.
4* espèce
1 ,331712 I ,331709 I , 4oo5 I 5 I ,47i53o 1,525299 I ,526849 I ,555933 ( ,6o38oo 1,625477 1,628451
33585 t 335849 4o5632 478353 531372 533oo5 563 i5o 614532 637356
D'autres expériences de Frauenhofer déterminent les valeurs de / ou les épaisseurs des ondes dans l'air pour les sept rayons
Nous désignerons par
ces épaisseurs, qui, dans les expériences de Frauenhofer, se trouvent
'Wi- NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES.
oxprimées en cent-millionièmes de pouce. Si l'on multiplie les nombres que ce physicien a trouvés par 2,7070, afin de réduire les mêmes longueurs en dix-millionièmes de millimètre, et si l'on effectue le calcul par logarithmes, on obtiendra le Tableau suivant, dans lequel ï désigne un nombre entier.
Tableau II.
/épaisseur des ondes dans l'air pour les rayons \^, C, D, E, F, G, H
de Frauenhofer.
Valeurs de /<■ en ccnUmillionièmes de pouce.. , .
Logarithmes décimaux de ces nombres
4o5oo47 4324883
LO°'f 2707 ).
Sommes. . .
// en dix-millionièmes de millimèlre
Il suit de la formule (9) que, étant donnée l'épaisseur / ou /, des ondes dans l'air pour l'un des rayons B, C, D, E, F, G, H, on obtiendra l'épaisseur des ondes /' ou l\, pour le même rayon réfracté par l'eau ou par une autre substance, en divisant la première épaisseur par l'indice de réfraction. Cela posé, on déduira sans peine des Tableaux I et II les épaisseurs des ondes correspondantes aux sept rayons et aux diverses substances considérées par Frauenhofer. En effectuant le calcul par logarithmes et à l'aide des Tables de Callet, on obtient les résultats compris dans les Tableaux suivants :
NOUVEAUX EXERCICES DE MxVTIIÉMATIQUES. 265
Tableau III.
Détermination des logarithmes des indices de réfraction et de leurs compléments.
VALEURS DE /
iG
Compl.ouL( ^ j-
te 1
lYO,)
! Compl.oii L/ ^ )•
i ,4oo5i5
1, il 2579
i5ii553
^^^ 1 Compl.ouL('^'-V
853oo26
1,4:4 ru
17431 il
Compl.oiiL( -r- ) ■
CFMvrea ,1e C. - S. Il, t. X.
Tableau III (suite).
VALEURS DE i.
rr L(9,-)
£ Compl.ou l(^j.
ai 6/
I ,533oo5
w ( en
■^ LfO/)
1898685 8io68i5
J Compl.ou lY^V
ce ©
œ \ en
8o5oo28
^ Compl.ou L( T- j.
bJ3
■^ Compl.ou 1(7- j.
Tableau III (suite).
VALKUnS DE i.
S CompLouLK— j
2197940 io5
^ Compl.ouL( 7- )•
