Il

(2.4. . .X)(2.4. . -fJl) '" 1.3. . .(2/t — V — l) (1.2. . .X)(l .2. . .^)

dans lesquels X, [x sont pareillement des nombres pairs, on tirera des formules (99), (100), (g5) et (9G) : i*' pour des valeurs impaires de X, de a ou de v,

(48) S[w/-2"-' f(r)cos>-acos!^j3cos'7]r=o et

(49) S[/?z/-*''-^/(r) cos^occosî^P cos^y] — o;

2° pour des valeurs paires de X, [x et v,

(.01) S [m/-'— f(r) cos>^acos^(3 cos'--/] z= ''^^j J7('^^;,';!';'^^,7'^ S[^"^-^^-^ f(/-) cos^-'^acos^y]

et (102) S[m/-='"-y(r)cos>acosi^(3cos^y]^-''^-';^^'~/^-'-^---^^7'^S[m/-^^-Y(r)cos^-'-Vacos>1,

le nombre entier n dont le double équivaut à la somme X + un- v pouvant être quelconque dans les équations (4^)» (loi), mais devant surpasser l'unité dans les équations (49), (102). Il importe d'observer que les conditions (48), (49), déjà obtenues dans le cas où l'élasticité de l'éther était censée rester la même en tous sens autour d'un point quelconque, renferment comme cas particuliers les conditions (97), (98). Ajoutons que des formules (48), (49), (loi) et (102) on peut remonter immédiatement aux formules (99), (100), (90) et (96), ou même aux formules (91), (92), par conséquent aux formules (89), (90), qui peuvent à leur tour être remplacées par les équations (38), (39) jointes aux équations (4i). Donc en définitive les formules (48), (49), (loi) et (102), étendues à toutes les valeurs positives du nombre entier n, ou du moins, s'il s'agit des formules (49) et (102), aux valeurs entières de n qui surpassent l'unité, expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'élasticité de l'éther puisse être censée rester la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z.

Lorsque ces conditions sont remplies, on tire des formules (ro)

ot (il) jointes aux formules (87) et (88)

(lo.S) D = S "^ ^''' 1 1 - cos /•[+ (f<î+ p2)icosa + n-cosy] 1],

(^lo',; \''&^ iL± («2+ <'-2)-cosa + (T'cosy h !: ^ -^\i

et, comme dans ces dernières on peut supposer le double signe ± arbitrairement réduit soit au signe +, soit au signe —, il est clair qu'on pourra prendre encore pour valeur de t) ou de \'> la demi-somme des résultats obtenus dans ces deux suppositions. En opérant ainsi et ayant égard aux formules

u^ + v-y cosa4-(vcosy j" + | — (m«+ (;»)» ^*

cos a H- »vcosy

cos(/-[(«24,.2)2cosa + (vcos7]J4-cos|/-[-(a24-^2)lcosa + (Pcosy]!

= 2 cos [/•(;/-+ v^Y (io?,a\ cos (nt' cos y),

on trouvera

(io5) D — S !!^-l^) i — (^o?,[r{u'- + v-'Y (^0^0^] cQ^{nv co^y)]^^

'^^/{f) ( "' + p') cos^a 4- w'- cos'y cos[r(M2+ ,,2)2 ç^g^] cos(m^cosy)l

En résumé, t3 et t? seront seulement fonctions des quantités variables

«^ -f- p^ et u'-.

D'autre part, si, après avoir fait, pour abréger,

(•07) K, = i(«2+p2)^ K, = ^iv\

on désigne par

les dérivées du premier et du second ordre de \^ considéré comme fonction de K,, par

les dérivées du premier et du second ordre de v considéré comme fonction de Kg, et par

la dérivée du second ordre de ■<? différentié une fois par rapport à chacune des variables K,, K.,, on trouvera

, o, ^K, <?K, dK,

ou dv dw

et, par suite,

En conséquence, les formules (8), (9) donneront

(112) 4^=0 4-\^+«H'>i.„ d\L — X)-s^'Q,+ v'-V^,u JT, =it')-f-\')jH-(^2\:;,,,

et l'équation (7), c'est-à-dire l'équation de l'ellipsoïde qui détermine les lois de la polarisation, deviendra

Lorsque le plan de l'onde primitive coïncide avec le plan de x, y» on a

a=ro, b = o, c=dzi;

on en conclut

U:=0, t^ = O, MP' zz: ± A',

et la formule (i i4) se réduit à

(ll5) (t) 4- s-;,) (xî+ y2) + (t) H- VO.^ V^j .,Aî)z2r:= I.

Donc alors, comme il était facile de le prévoir, l'ellipsoïde (7) est de

2k6 NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES.

révolution autour de l'axe des z, et dans cet ellipsoïde le carré du rayon de l'équateur est

t) -+- \'^ le carré du demi-axe de révolution étant

Donc, si Ton nomme généralement 12', Q", ù"'\es vitesses de propagation des trois ondes planes dans lesquelles se divise une onde primitive de lumière non polarisée, on pourra prendre, dans le cas particulier dont il s'agit,

to -h \^,

(ii6) i2'2=i2"2

et les deux premières ondes, se propageant avec la même vitesse, se superposeront de manière à n'en plus former qu'une seule. C'est ce qui arrive dans certains cristaux où les deux rayons polarisés que l'œil peut apercevoir, et qui produisent ce qu'on appelle la double réfraction, se confondent dès que le plan de l'onde devient perpendiculaire à un certain axe nommé Vaxe optique du cristal.

Sans rien changer à la direction de l'axe des z, on peut disposer du plan des y, z, de manière à simplifier l'équation (ii4). Effectivement, on y parviendra en faisant coïncider le plan des y, z avec celui qui, passant par l'axe des z, sera perpendiculaire au plan de l'onde. Alors la droite OP, perpendiculaire au plan de l'onde, se trouvera comprise dans le plan des y, z; et comme on aura par suite

la formule (34) donnera

En conséquence, l'équation (ii4) deviendra

Dans cette dernière, le double signe ± pourra être réduit arbitrairement soit au signe -h, soit au signe — . D'ailleurs, en vertu de ce qui a été dit précédemment (page 229), les valeurs de xd, -ç, et par suite celles de t?', p", ne varieront p^s dans le passage de l'équation (ii4) à l'équation (118). Maintenant il est clair que l'ellipsoïde représenté par l'équation (118) offrira un axe dirigé suivant l'axe des X, c'est-à-dire suivant la trace du plan de l'onde sur le plan des X, y. Les deux autres axes de l'ellipsoïde se confondront avec les axes de la section faite dans cet ellipsoïde par le plan des y, z, c'està-dire avec les deux axes de l'ellipse représentée par l'équation

Gela posé, soient

le carré du demi-axe qui, dans l'ellipsoïde, coïncide avec la trace du plan de l'onde primitive sur le plan mené par le point 0 perpendiculairement à l'axe des z, et

les carrés des demi-axes de l'ellipse (119). Les vitesses de propagation

des trois ondes polarisées seront déterminées par les formules

2i8 NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMAÏ[QUES.

la valeur de s'^ étant

tandis que s"^, s'"^ représenteront les deux valeurs de s"^ propres à vérifier l'équation

Lorsque le plan de l'onde primitive est perpendiculaire à l'axe des z, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on a

l'équation (122) se réduit à

(123) [^2- (t) + \vj] [52- (t) -+- -C^ï-h \\2A-2)] = o. On peut donc prendre alors

et, en combinant les formules (120) avec les formules (121), (124), on se trouve immédiatement ramené aux équations (116), (i 17).

Lorsque le plan de l'onde primitive passe par l'axe des s, c'està-dire lorsqu'on a

l'équation (122) se réduit à

(125) \s^- (t) + \v, + v,^,A'2)] [,v2 (u + -v:;2)] =0. On peut donc prendre alors

Alors aussi l'équation (118), réduite à

représente un ellipsoïde qui a pour axes les axes coordonnés; et l'on peut affirmer que, des trois ondes planes produites par la subdivision

de l'onde primitive, dont le plan renferme l'axe des z, les deux premières se composent de lumière polarisée parallèlement à deux axes rectangulaires compris dans ce plan, et dont l'un est l'axe des z, tandis que la troisième se compose de lumière polarisée perpendiculairement au plan do l'onde. Enfin, lorsque l'axe des z se trouve incliné d'une manière quelconque sur le plan de l'onde primitive, les quantités s"'-, s'"^ déterminées par l'équation (122) coïncident avec les deux valeurs de s^ données par la formule

j ^^^^A±^'Vi(^---;)-^^-^^-^-^--]V,.^.^^(,.^.)^.

Observons encore que l'équation (127) peut être présentée sous la forme

( ( O -H X"),) (x2 + y2 + z^) + X>i,, ( MX + py + <p'z)'- ("29)

et que cette équation, devenant semblable à l'équation (58), lorsque les différences

s'évanouissent, représente alors, comme l'équation (58), un ellipsoïde de révolution, qui a pour équateur le plan de l'onde primitive. Donc, si les différences (i3o), sans être nulles, sont très petites, l'ellipsoïde représenté par l'équation (129) différera peu d'un ellipsoïde de révolution qui aurait pour axe de révolution la droite OP menée par le point 0 perpendiculairement au plan de l'onde; et, des trois ondes de lumière polarisée produites par la subdivision d'une onde primitive, les deux premières offriront des vitesses de propagation peu différentes entre elles, et des molécules éthérées dont les vitesses propres seront dirigées suivant des droites sensiblement parallèles au plan de chaque onde. C'est effectivement ce qui arrive quand lu lumière traverse un cristal doué de la double réfraction.

OFMures de C— S.l\, t. yi. 32

§ IV. — Propagation des ondes lumineuses dans un milieu où V élasticité de l'éther reste la même en tous sens.

Considérons un milieu dans lequel l'élasticité de l'éther reste la même en tous sens. Alors, comme on l'a dit (page 228), des trois ondes planes dans lesquelles se divise généralement une onde plane de lumière non polarisée, les deux premières, se propageant avec la même vitesse, se superposeront de manière à n'en plus former qu'une seule, dans laquelle la lumière sera polarisée parallèlement au plan de l'onde primitive, tandis que dans la troisième la lumière sera polarisée perpendiculairement à ce plan. De plus, la troisième onde disparaîtra, si c'est dans le plan même de l'onde primitive que sont dirigés les déplacements et les vibrations initiales de molécules, et alors il n'y aura plus de polarisation. On arrive à la même conclusion, en substituant dans les équations (23) du § II les valeurs de ^, 01L, 0X,, t^, ^, .31 que fournissent les équations (56), (37) du § 111 pour le cas où l'élasticité de l'éther reste la même dans tous les sens. Effectivement, après la substitution dont il s'agit, les formules (2.5) du § II se réduisent à

I ^ =:- (t) + V')l - il \'^"(«ç + V-0 + (V'C),

(i) ■ { -~-=-{t} -^ ■<>')■(] -V <?" {ai -h v-n + W^^),

ot-

ât

^ — — (o 4-\')')ç — <v\')"("; + i'f] + (vç;

Si maintenant on ajoute les formules (1) après avoir multiplié les deux membres de la première par u, de la seconde par ^, de la troisième par w, et si l'on a égard à l'équation

on trouvera

(3) ^L(i'i +Z:L±^^i =-{^y+ v)'+ ■<y'k^) {ai + v-n + «'?).

ôt-

Ceh posé, en tenant compte des formules (2G), (27) du § II, on déduira sans peine de l'équation (3) la valeur générale do