UL

Somme. . . .

Epaisseur ti= j,

,Ki)

Somme

Épaisseur l'i~ ^ -• •

Tableau IV (suite).

VALEURS DE l.

Somme.

Épaisseur // =

i=zL

Somme. . .

Épaisseur//

625goJ5

En résumé, les épaisseurs des ondes dans l'air et les autres substances étant exprimées en dix-millionièmes de millimètre, ces épaisseurs seront, d'après les expériences de Frauenhofer, représentées par les nombres que renferme le Tableau ci-joint.

Tableau V.

Epaisseurs des ondes en dix-millionièmes de millimètre.

VALEURS DE l.

h. Air

ïi. Eau

Solution de potasse. . . .

Huile de térébenthine..

il '"espèce 2* espèce 8* espèce / i'" espèce 2" espèce 8° espèce 4" espèce

Flintglass

36oi

jT-

II est important d'observer que, en appliquant à l'équation (i) le théorème de Lagrange sur le retour des suites, on en tire la valeur de k"^ développée en une série de la forme

D'ailleurs, pour déterminer les coefficients b,, ba, b;,, ..., il suffira de substituer dans l'équation (9) les valeurs de s-, s'', s\ ... déduites de l'équation (i), savoir

5^ = ai A-2 + a2 A-* + as /c^ H- . . , , 5* = a^ /c^ + 2 ai 82 A-'' 4- . . . ,

Alors l'équation (9) deviendra

A2=a,biA2-+-(a2bi + a2b2)A*-+-(a3b, + 2aia2b2-f-a^b3)A«-f-..., et l'on en conclura

a,bi=i,

a2b, 4- ai b2= 0,

asbi-i- 2a,a2b2+ ajb3= 0,

bi= — )

a2b.^ a2 ai a?

, a3b, + 2a,a2b2 a,a3— aa^

at af

Cela posé, la formule (9) donnera

('0 Si,k^z=zs^~^s'^

at a,'

Or, puisque dans le cas où la distance rde deux molécules assez rap-

prochées pour exercer une action sensible l'une sur l'autre est considérée comme très petite du premier ordre, les quantités

sont des quantités très petites du premier, du troisième, du cinquième, .. . ordre, il est clair que, dans le même cas, les quantités

et, par suite, les coefficients de s\ ^*', ... dans le second membre de la formule (ii), seront des quantités très petites du premier, du second ordre, etc. Donc ces coefficients décroîtront très rapidement aussi bien que les coefficients de s-, s\ s^, . . . dans le second membre de la formule (9).

Si, dans le second membre de l'équation (i), on conserve seulement le premier, les deux premiers, les trois premiers termes, etc., on obtiendra diverses valeurs approchées de s'-, savoir

(12) s^=:aik^,

et, si l'on substitue la première de ces valeurs approchées dans les différents termes qui composent le second membre de la formule (i i), ces diff'érents ternies deviendront

(i5) aiA^ — a^A-'s ~' \'^'~'^)^''> "■'

Or les coefficients des puissances successives de k'^ étant du même ordre dans la série (i5) et dans celle que renferme l'équation (1), il est naturel d'en conclure qu'on obtient le même degré d'approximation lorsque, dans les seconds membres des équations (1) et (i i), on conserve le même nombre de termes. En conséquence, aux for-

mules (12), (i3), (i4). etc. doivent correspondre les suivantes

ai '

(17) k^^ls^-^^s^,

8 2 r "1^3 '2. dit

(18) k^=-s''--ls'*- ' ■' . '-s\

qu'on peut encore écrire comme il suit

(20) k^=his'--{-h.iS%

(21) k-=hiS^-i-h2s''+h-iS\

C'est, au reste, ce qu'il est facile de vérifier a posteriori. En effet, la formule (11) entraîne immédiatement la formule (16). Pareillement, la formule (i3) s'accorde avec la formule (17), de laquelle on tire

2 8, V \2 a,/ -d-i ou, ce qui revient au même,

et, par conséquent,

(23) s-^.= sil ^ -^i— z=aiA-2+a2A^+2^A-^+5^A« + ...

s-=: Bi A-^+ a2AS en négligeant les termes

Or ces derniers sont respectivement comparables pour leur petitesse

aux termes

que l'on a négligés dans le second membre de l'équation {i) pour

OF.uvics de C. — S. U, t. X. 35

réduire cette dernière à la formule (i3), puisque les quantités

sont respectivement du cinquième, du septième ordre, etc., aussi bien que les quantités

On prouverait, par des raisonnements semblables, que la formule (i4) s'accorde avec la formule (18), etc. Cherchons maintenant jusqu'où les expériences de Frauenhofer permettent de pousser le degré d'approximation, c'est-à-dire combien de termes ces expériences permettent de conserver dans l'équation (i), ou, ce qui revient au même, dans la formule (11).

Lorsque dans la formule (i i) on écrit s^ et k^ au lieu de s et k, on en tire

( 24 ) kl = b, si + h^sl + h,sl+...,

puis, en posant successivement n = i, n^=^i, /z = 3, . . .,

k\ = his\ + biS\ H- h^s\ kl = h,sl + h^sl-hh^sl

j kl = bisl-hbiSl + b,sl

Or si, dans le second membre de la formule (11) ou (24), on conserve seulement un, deux, trois, . . . termes, on pourra en éliminer le coefficient b,, ou les deux coefficients b,, h.,, ou les trois coefficients b,, ba, bg, . . ., à l'aide de la première, ou des deux premières, ou des trois premières, etc. des formules (25), et l'on trouvera, dans le premier c^s,

dans le second cas,

dans le troisième cas,

Il est bon d'observer qu'on peut déduire directement les équations (26), (27), (28) de la formule de Lagrange pour l'interpolation, en considérant

comme une fonction entière de s-, dont le degré soit l'un des nombres o, I, 2, Ajoutons que la formule (26), si l'on y pose n = 2.,

la formule (27), si l'on y pose n = 3, la formule (28), si l'on y pose ^i = 4> • • » pourront s'écrire comme il suit :

sl{s\-sl) sl{sl-sl)

^ «^ sl{s]-sl){sl-sl)~^'sUsl-sl)isl-sl)'^sl{sl-sl){sl-sl)'^''' k\ - + - ^''

4{^l-s\){sl-s\){sl-sl) sl{sl-s\){sl~sl){sl-sl) ""'

Généralement, si l'on conservait n — 1 termes dans le second membre de l'équation (24), on tirerait de cette équation, ou, ce qui revient au même, des équations (25),

ce que l'on peut démontrer directement comme il suit.

sl{sl-sl){s-l

-si)..

sl{sl-s\){sl

-si).

..{si

En désignant par i un nombre entier inférieur à n, on tire de la formule d'interpolation, ou bien encore de la formule relative à la décomposition des fractions rationnelles,

{s'''-s\){.f--.';l)...{s^--sl) ^^, {s\-s\){s\-sl)...{s\-sl) •

(33) { ' {s\-s\){s\-sl)...{s\-sl) 2

{sl—s\ ){sl — sl)... {sl—sl^ )

puis, en égalant entre eux les coefficients de ^-c*-'^ dans les deux membres de l'équation (33), on en conclut : i" Pour /«< n — I,

{s\-s\){s\-sl)...{s\-sl)

(34) / {s\—s\){s\—sl)...{s\ — sl

{sl-s\){sl-s\)...{sl-sU)

qP Pour ï = /î — I,

ks\

-s\){s\-sl)..

.{s\-sl)

' {si

-s\){sl-sl)..

■■{si- si)

{sl-s\){sl-s\)...{sl-sU) Or, si l'on a égard aux formules (34), (35), les n premières des for-

mules (25), respectivement multipliées par les coefficients

slisl--

-sDisl

~sl).

■-{si -si)'

slisl-

-si) {si

-si)..

..{si- si)'

slisl — si )isl — sl)... isl — sl,) puis combinées entre elles par voie d'addition, donneront

si {si

— si) {si — si) . .

■■{si -si)

si {si

-s\)is\-~sl)..

■'{si — si)

l s;,isl —si){s;^ — si)... (.v- — S'^, )

et il est clair que cette dernière équation se réduira simplement à la formule (32), si, dans le second membre de la formule (24), par conséquent de chacune des formules (23), on conserve seulement les n — I premiers termes, ce qui revient à poser

^« = 0, bn+i — o,

Lorsqu'on passe de l'air à un autre milieu, la quantité k doit être

remplacée par

dans l'équation (32), qui se change alors en cette autre formule

sl{sl—sl)...is\~sl) 01 kl

(87) ' slisl - s\) isl - si) . . . isl - si)

sl{sl-s\){sl~sl)...isl-sl,)

Si d'ailleurs on pose, pour abréger,

et si l'on représente les carrés des indices de réfraction par (^9) 0„ 02, 0„ ...,

de sorte qu'on ait

(4o) &i=ei

/désignant un nombre entier quelconque, les formules (32) et (37; deviendront respectivement

Enfin, si l'on passe successivement de l'air à d'autres milieux réfringents de diverses natures, et si, dans ce passage, k devient successivement

(43) Ok, B'k, 9" A, ...,

alors, au lieu de la formule (/ji), on obtiendra un système d'équations de la forme

pourvu que l'on pose

c'est-à-dire pourvu que l'on désigne par

les carrés des indices de réfraction relatifs aux divers milieux dont il s'agit. On ne saurait, dans les formules (4i), (42), (44), supposer /2 = 2, car alors les formules (4 r), (42), réduites à

donneraient simplement 0, = ©o» et par suite la dispersion cesserait d'avoir lieu. On aura donc au moins /î = 3. Ajoutons qu'il suffira d'éliminer les quantités

ou plutôt les rapports

Kra-i

entre l'équation (42) et /^ — i des équations (44), pour obtenir, entre les valeurs de

relatives k n — 1 substances diverses, une équation de condition qui devra être sensiblement vérifiée, lorsqu'on pourra, sans erreur sensible, réduire à ses /? — i premiers termes la série comprise dans le second membre de la formule (9) ou (24).

Gela posé, en attribuant successivement à n les valeurs entières et croissantes 3, 4» •• -, on pourrait chercher la première de ces valeurs pour laquelle se vérifient, sans erreur sensible, les équations de condition du genre de celles que nous venons de mentionner, et décider ainsi jusqu'où les expériences de Frauenhofer permettent de pousser le degré d'approximation. Mais on arrivera plus promptement au même but à l'aide des considérations suivantes.

La formule (42) détermine 0;^ en fonction linéaire des seules quantités

Des formules semblables détermineraient ©«+,, 0^+2» ... en fonctions linéaires des mêmes quantités, et généralement le caractère propre d'une valeur de n assez considérable pour qu'on puisse, sans erreur sensible, réduire la série (9) ou (24) à ses >? — i premiers termes, c'est que n des quantités

seront toujours liées entre elles par une équation linéaire sans terme constant, et dans laquelle les coefficients resteront indépendants de la nature du milieu réfringent.

Concevons maintenant que, par les notations

on désigne plusieurs des polynômes contenus dans la formule générale

c'est-à-dire autant de sommes des quantités

prises tantôt avec le signe -f-, tantôt avec le signe — ; de sorte que, en appliquant le calcul aux expériences de Frauenhofer faites sur sept rayons, l'on ait par exemple

Représentons, au contraire, par les notations (5o) 20,, 20;., l"Qi, ...

plusieurs des polynômes compris dans la formule générale (5i) +0, + 0; + 0';+...,

e'est-à-diro autant de sommes formées avec les diverses valeurs de

correspondantes à une même valeur de i, mais relatives aux diverses substances, et concevons, par exemple, que

représentent les sommes des valeurs de

relatives à toutes les substances, que

représentent ce que deviennent les précédentes sommes quand on y change les signes des termes relatifs aux diverses espèces de flintglass, etc. Enfin, décomposons 0, en diverses parties représentées par

en sorte qu'on ait

2; • Ht' &"

En admettant que les lettres caractéristiques S, S', appliquées séparément ou simultanément à ces diverses parties gardent les mêmes significations que lorsqu'on les applique ii 0,, et indiquent toujours des sommes formées de la même manière, on aura encore

r0, =r2r, +i'y. +rsr;: +

( 2S0,-=:is&,- + :^s&;.-t-2s^';+

OF.uvres de C— S. Il, t. X.

Cela posé, revenons à la formule (4'-^)» et voyons d'abord quelles conséquences on aurait pu déduire de cette formule et des autres semblables s'il eût été permis d'y supposer n = i. Dans cette hypothèse, de l'équation (42), réduite à

on aurait tiré

puis, en remplaçant le premier des milieux réfringents par le second.

et, par conséquent,

ou, ce qui revient au même,

On aurait trouvé de la même manière

et finalement

Or plusieurs fractions égales entre elles sont encore égales à celle qu'on obtient en divisant la somme de leurs numérateurs ajoutés les uns aux autresou pris les uns avec le signe +, les autres avec le signe —, parla somme de leurs dénominateurs ajoutés pareillement les uns aux autres ou pris avec les mêmes signes que les numérateurs.

Donc la formule (58) entraînerait la suivante

qu'on peut écrire comme il suit

et dans laquelle il est permis de remplacer la caractéristique S par

l'une des caractéristiques S', S", Observons d'ailleurs que, si l'on

pouvait considérer comme égaux les rapports compris dans la formule (58), et attribuer les différences de leurs valeurs réduites en nombres aux erreurs d'observation, le moyen d'atténuer l'influence probable de ces erreurs sur la détermination de la valeur commune des rapports dont il s'agit serait de faire concourir également à cette détermination les carrés des sept indices de réfraction, et par conséquent de substituer le nouveau rapport

à tous les autres, attendu que les deux termes de ce nouveau rapport seraient sept fois plus grands que les moyennes arithmétiques entre les termes correspondants des premiers, et que, selon toute apparence, les erreurs d'expérience dans

étant, les unes positives, les autres négatives, produiraient dans le polvnôme

une erreur de beaucoup inférieure à la somme de leurs valeurs numériques ou, ce qui revient au même, à sept fois la moyenne arithmétique entre ces valeurs.

Si le second des milieux réfringents était remplacé successivement par le troisième, par le quatrième, etc., alors, au lieu de la for-

28i NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES,

mule (()o), on obtiendrait les suivantes :

On aurait donc généralement dans l'hypothèse admise

Or le moyen d'atténuer l'influence probable des erreurs d'observation sur la détermination numérique de la valeur commune des rapports compris dans la formule (62) serait de substituer le nouveau rapport

iS0,- S0,-+S0;.+ S0';4-S0';'+...

à tous les autres, ce que l'on prouve par les raisons ci-dessus alléguées pour la substitution du rapport (61) aux rapports (58). On tire effectivement de la formule (62)

^^''^ S0^-Is0;.

On obtiendrait de la même manière les diverses équations

NOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 28o

qui peuvent être rom[^aoéos par la seule formule

^6-7^ Qi Q^ Qs Q-, Q. 06 0, 80,

^ ^' 1@, 1&, ~ 1&, - 1&, ~ 20, ~ 20e - 20, - VS0/

Si l'on pouvait, en réalité, considérer comme égaux les rapports compris dans la formule (58) et attribuer les différences de leurs valeurs réduites en nombres aux erreurs d'observation, alors les valeurs de

déterminées par les formules (66), mériteraient plus de confiance que les valeurs observées. Mais il n'en est pas ainsi, car nous avons vu qu'il n'était pas possible de supposer /z = 2 dans l'équation (42) et de la réduire ainsi à l'équation (56). En conséquence, les seconds membres des formules (66) doivent être considérés comme représentant, non les valeurs exactes, mais seulement des valeurs approchées de

Désignons ces valeurs approchées par

C^ C- Ck. 0, c- c, c^

-Jl, .J.2, ~<3, .J^, .Jj, ,Jç, >.,

en sorte qu'on ait

(68) ^,-^se,, s==^-se,, ..., s,=^se„

et par A0, la valeur de la différence de sorte qu'on ait encore

(69) 0,^r.^,+ A0„ 0,= ^,-+-A0„ ..., 0-:rz^- + A0,.

On tirera des équations (68)

et les formules (69), combinées entre elles par voie d'addition, donneront

(71) A0, + A0j-h A0,4-Ae4-+-Aes4-A06+ ^07^=0 ou SA0,=:o.

Cola posé, cherchons ce qui arriverait si, dafts la formule (42) et dans les autres semhlables, on pouvait, sans erreur sensible, supposer /z = 3. Alors cette formule, se réduisant à

et devant subsister indépendamment de la nature du milieu réfringent, entraînerait la suivante

de laquelle on tirerait, en la joignant aux trois premières des équations (68),

(74) K,Sri+ K22r2 4- K32r3 = o.

Or, en substituant dans la formule (72) les valeurs de 0, , ©2» ®3 tirées des équations (69), et ayant égard à la formule (74)» on obtiendrait la suivante

qui déterminerait Aôg en fonction linéaire des deux quantités A0,, A02- Des formules semblables détermineraient A©,, A&-, AOg, A0- en fonction des mêmes quantités, et la substitution des valeurs de

ainsi déterminées dans l'équation (71) fournirait entre les seules quantités A0, , A02 une équation nouvelle dont les coefficients seraient encore indépendants de la nature du milieu réfringent. On aurait donc, en vertu de cette équation nouvelle, et en désignant par A&'- ce que devient A©^ quand on passe du premier milieu au second.

ou, ce

qui

revient

même,

On trouverait do la mémo manicro

et finalement

Supposons maintenant que l'on désigne par S'0, l'un des polynômes compris dans la formule (48), et par 2'0, l'un des polynômes compris dans la formule (6i), en choisissant les signes de manière que

représente, au moins pour l'une des substances, la somme des valeurs numériques de

A01, A02, A03, A0;, A0„ A0e, A0„ et que

représente la somme des valeurs numériques de

\\\\ opérant comme on l'a fait, lorsque de l'équation (58) on a successivement déduit les formules (39), (O2), (64), ((^7), on déduirait de la formule (77) celles qui suivent :