COULEURS PRINCIPALES

Violet .

Indigo .

Bleu... Vert...

Jaune..

Orangé Rouge .

NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES. klS)

Ainsi, dans le rayon rouge du spectre solaire, les molécules de l'éther effectuent environ cinq cents millions de millions de vibrations par seconde. A ce nombre prodigieux, il faut ajouter presque sa moitié pour obtenir le nombre des vibrations par seconde dans le rayon violet. Au reste, on peut déterminer approximativement le nombre des vibrations que présentent les rayons placés vers le milieu du spectre solaire, en opérant comme il suit.

En une seconde sexagésimale, les vibrations des molécules d'éther renfermées dans une onde plane se transmettent aux molécules que renferment d'autres ondes comprises entre des plans parallèles jusqu'à une distance d'environ 80000 lieues, de telle sorte que les vibrations commencent dans la deuxième onde quand elles s'achèvent dans la première, qu'elles commencent dans la troisième quand elles s'achèvent dans la deuxième, et ainsi de suite. Or les diverses ondes étant contiguës les unes aux autres, il suit de ce qu'on vient de dire que, pour obtenir la durée de la vibration des molécules éthérées dans une seule onde, il faudra diviser une seconde sexagésimale en autant de parties qu'il y a d'épaisseurs d'ondes dans une distance de 80000 lieues. D'ailleurs chacune des lieues que l'on considère ici est de 2000 toises ou environ 4ooo™; chaque mètre se compose de 1000™™, et il résulte du Tableau III que l'épaisseur d'une onde, pour les rayons placés vers le milieu du spectre, est d'environ un demi-millième de millimètre, et qu'en conséquence chaque millimètre renferme environ 2000 épaisseurs semblables. Donc le nombre des vibrations exécutées par les molécules d'éther dans une seule onde plane et en une seconde de temps, pour les rayons situés vers le milieu du spectre, sera sensiblement égal au produit des facteurs

80000, 4ooOj 1000 et 2000,

c'est-à-dire à

ou à 640 millions de millions. Il résulte des Tableaux II et V que ce dernier nombre représente effectivement le nombre des vibrations par

seconde dans le rayon F de Frauenhofer, qui est un rayon bleu situé dans le spectre solaire vers la limite du bleu et du vert.

Les nombres compris dans le Tableau V diffèrent de ceux que l'on trouve dans le Traité de M. Herschel sur la lumière. En recherchant la cause de cette différence, j'ai reconnu qu'elle devait être principalement attribuée à ce que les épaisseurs d'onde ou longueurs d'ondulation adoptées par cet auteur, et relatives aux diverses couleurs ou à leurs limites, diffèrent assez notablement des valeurs de / inscrites dans le Tableau III et données par Fresnel.

En terminant ce paragraphe, nous ferons observer que, dans les milieux qui ne dispersent pas les couleurs, les valeurs de k relatives à deux rayons différents conservent entre elles, en vertu de la formule (7), le même rapport que les deux valeurs correspondantes de s. Ce rapport est donc, ainsi que les valeuré de s, indépendant de la nature du milieu que l'on considère, pourvu que la dispersion soit nulle; en sorte qu'il reste le même, par exemple, dans le vide et dans l'air atmosphérique. On peut en dire autant du rapport entre deux valeurs diverses de /, qui est toujours l'inverse du rapport entre les valeurs correspondantes de k. Si, pour fixer les idées, on divise successivement la valeur /, de /, qui répond au rayon B de Frauenhofer, par les valeurs de /relatives aux autres rayons, c'est-à-dire par les quantités

^2> 'sj H> *5> 'e? 'tj

on trouvera pour quotients les nombres dont les logarithmes sont

(47) 0202980, 0675454, 1165319, 1528944, 2049754, 2438873, c'est-à-dire les nombres

Or ces derniers nombres représenteront dans l'air et dans le vide, non seulement les valeurs des rapports

( f,cs\ ^1 ^1 ^I ^1 ^1 ^1

mais encore celles des rapports

ç, k^ k^ k,^ k^ kf, k-j

ou même des suivants

\-Ji) — J — J —5 — J — J — •

§ X. — Considérations nouvelles sur la réfraction de la lumière.

Les lois de la réfraction simple, telles que l'expérience les donne, se trouvent comprises dans les formules (8) et (9) du § V. Or il est important d'observer que la méthode à l'aide de laquelle nous avons établi ces formules les reproduira encore si l'on suppose que les valeurs des déplacements ^, r\, X, relatives soit au premier, soit au second milieu, et tirées en conséquence soit des équations (i), soit des équations (2), fournissent, pour les points situés sur la surface de séparation, des valeurs égales d'une fonction linéaire quelconque de ces mêmes déplacements et de leurs dérivées prises par rapport aux variables indépendantes x, j, /. En effet, désignons par « la fonction linéaire dont il s'agit. Si l'on y substitue les valeurs de ^, y], l, qui représentent les déplacements moléculaires dans le rayon incident, c'est-à-dire les valeurs de ^, y], X, données par les équations (33) du § IV, « deviendra une fonction linéaire des sinus et cosinus de l'arc

k{xç,o?>r: -\- y^\nz) — st,

en sorte qu'on aura, par exemple,

(i) « = 6cos[^(^cosT + y sinr) — sf] 4- -?sin[Â:(jc cost + 7 sinr ~ st)},

les coefficients (S, S étant uniquement fonctions des quantités

(2) 3, B, €, JD, s, k, cosT, sinr.

Soient maintenant

€,, £, ou «', £'

ce que deviennent les coefficients

quand on passe du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté, c'està-dire quand on remplace les quantités (2) par les suivantes

(^) -^]» Î3i, <Ci, Uj, s, k, — cûST, siiiT

ou par

(4) 3', W, C, n', s, k', cost', sinr'.

Kn considérant à la fois les deux systèmes d'ondes propagées dans le premier milieu, on devra, pour ce milieu, remplacer la formule (i) par la suivante

^ i «= <^ cos[X:( ^ COST-}-/ sinr) —5^] +4^ sin[/:( ^ cosr +/ sinr) — .9/] f -h (EiCOs[A'(— jr cosT + jsinT) — st] 4- i?iSin[A-(— ^cosr -4- j sinr) — sf],

tandis qu'on trouvera par le second milieu

/gv ( «= <Ê'cos[/:'(^"cosT'+7sin-') — ,ç'^]

( +i^' sin [A-'(^cosr'H- rsinr') — 5'^].

Si maintenant l'on suppose que les deux valeurs précédentes de a deviennent égales entre elles pour les points situés sur la surface de séparation des deux milieux et correspondants à ^ = o, on aura

( (<Ê + €i)cos(/rrsin- — 50H-(-f + -i'i)sin(Â:j'sinT — ^0

( = ^' CO'è{k' y sxïït' — s' t) -^ £' ^m{k' y %m-:' — s' t).

Or, cette dernière équation devant subsister indépendamment des valeurs attribuées aux variables y et /, les coefficients des puissances semblables de y et de t devront être égaux dans les deux membres développés en séries convergentes ordonnées suivant les puissances dont il s'agit; et de cette seule considération on déduira immédiatement les formules

(9) A-sinr=: A-'sin-', s — s',

iNOUVEAUX EXERCICES DE MATHEMATIQUES. 423

auxquelles on parvient encore très simplement de la manière suivante.

Si dans l'équation (7) on pose, pour abréger,

(10) Ajsinr — ^i = Y, — ^ = - (Y— /rj- sinr),

on obtiendra la formule

; ((E + (Ê,)cosY + (ir -f--f,)sinY

1 — €'cos '-Y+ (A'sinr'— - Asitir j y

1 + iF'sin F- Y+ ^A-'sinT'- - AsinrVv],

([ui devra subsister à son tour, quelles que soient les valeurs de Y et dey. Or, le premier membre étant indépendant de j, le second devra l'être pareillement, ce qui entraîne la condition

s' (13) A'sin-'= — Asin-.

Cela posé, la formule (i 1) deviendra

(i3) ((Ê + €1) cos Y -i-{£-h i^i) sinY = (Ê'cos ('^ y\ + £'s\u ('^ yV

et, comme, en remplaçant Y par —Y, on en tirera

(î4) ((Ê -!- €,) cosY - (f + 4F, ) sin Y =: (Ê'cos [-y") - i-'sin ('^ yV

on aura encore

(i5) ((Ê + (Ê,)cosY=::rcos('^Yj, (iF + i^,)sinY^i-'sin('^'Yy

Si maintenant on réduit Y à zéro dans la première des formules (i5), elle donnera

Donc cette formule donnera généralement