C0SY=:: C0S( - Y

Cette dernière devant subsister, quel que soit Y, entraînera l'équation

qui réduira la seconde des formules (i5) à

et l'équation (12) à

(20) • A''sinT'= A' sinr.

On se trouve ainsi ramené aux équations (8) et (9), dont les deux dernières coïncident avec les formules (8) et (9) du § V.

En supposant que la fonction linéaire « des déplacements ^, tq, ^ et de leurs dérivées relatives slx, y, t se réduise simplement à la variable ^, on ferait coïncider les équations (8) avec les formules (7) du § Y. Mais adopter ces formules, ce serait admettre, comme nous l'avons déjà observé, que l'on peut sans erreur sensible ne pas tenir compte des altérations produites par le voisinage du second milieu dans la valeur de ^ que détermine la première des équations (i) du § Y, ou par le voisinage du premier milieu dans la valeur de ^ que détermine la première des équations (2) du même paragraphe. A la vérité, en prenant successivement pour « la variable ^, ou, ce qui revient au même, la vitesse -^) puis la composante, parallèle à l'axe des a;, de la pression

supportée par un plan perpendiculaire à cet axe, puis enfin les composantes, parallèles aux axes des y et z, de la pression supportée par un plan perpendiculaire à l'axe des z, on déduirait immédiatement des équations (8) celles que j'ai données dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac pour l'année i83o, et qui s'accordent si bien avec les formules et les expériences de Fresnel, quand on suppose que la densité de l'éther reste la même dans tous les milieux. Mais les principes développés dans le § IX ne nous permettent plus d'adopter cette dernière hypothèse; et d'ailleurs il n'est pas sulBsamment démontré

que la variable l et les pressions ci-dessus mentionnées doivent, dans le voisinage de la surface de séparation de deux milieux, conserver la même valeur, tandis qu'on passe de l'un à l'autre. Des recherches approfondies sur ce sujet délicat m'ont conduit à un nouveau principe de Mécanique, propre à fournir, dans plusieurs questions de Physique mathématique, les conditions relatives aux limites des corps et aux surfaces qui terminent des systèmes de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Ce principe, que je développerai dans un autre Mémoire, étant appliqué à la théorie de la lumière, on en conclut que, dans le voisinage de la surface de séparation de deux milieux, les déplacements ^, •/], 'C des molécules d'éther relatifs, soit au premier milieu, soit au second, devront fournir les mêmes valeurs de «, si l'on prend pour a l'une quelconque des trois fonctions

ou bien encore si l'on suppose

ÔK

àl

ôx

dz'

„ = „.!^+i<Vc.^4 + *cf^ + '''

a, h, c désignant les cosinus des angles formés par la normale à la surface de séparation des deux milieux avec les demi-axes des coordonnées positives. Il est bon d'observer que la valeur de «, déterminée par l'équation (22), représente la dilatation linéaire de l'éther mesurée suivant cette même normale.

Lorsque, les deux milieux étant séparés l'un de l'autre par le plan des j, z, on suppose l'axe des z parallèle aux plans des ondes lumineuses, et par conséquent perpendiculaire au plan d'incidence, on a dans la formule (22)

et, de plus, ^, y], X, deviennent indépendants de z. Donc alors, en chan-

CEuvres de C. — S. II. t. X. 5^

dl ^^

dx^

dy dx '

El dx

dl dy

dx dy

dn' dx

àX

- dx'

dy dy'

géant, ce qui est permis, le signe de la première des différences (21), on trouvera que les fonctions (21) et (22) peuvent être réduites à

Donc, si l'on nomme l', •/]', 'Ç ce que deviennent les déplacements H, Y), l tandis que l'on passe du premier milieu au second, on aura, pour les points situés sur la surface de séparation, c'est-à-dire pour x = o,

Lorsque dans les équations (24) et (20) on substitue à c, rj, '( les seconds membres des formules (i) du § V, et à ^', y]', 'C les seconds membres des formules (2) du même paragraphe, on obtient les lois de la réflexion et de la réfraction qui ont lieu à la surface des corps transparents, avec les diverses formules que contiennent les deux lettres adressées à M. Libri les 19 et 27 mars, et imprimées dans le n° 14 des Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, pour l'année i836. On déduit aussi des conditions (24) et (25) les lois de la réflexion opérée par la surface extérieure d'un corps opaque ou par la surface intérieure d'un corps transparent, dans le cas où l'angle d'incidence devient assez considérable pour qu'il n'y ait plus de lumière transmise, c'est-à-dire dans le cas où la réflexion devient totale {voir à ce sujet les deux lettres que j'ai adressées à M. Ampère les i*' et 16 avril i836). Comme je l'ai montré dans ces différentes lettres, les formules auxquelles conduisent les conditions (24) et (25), non seulement déterminent l'intensité de la lumière polarisée rectilignement par réflexion ou par réfraction et les plans de polarisation des rayons réfléchis ou réfractés, mais encore elles font connaître les diverses circonstances de la polarisation circulaire ou elliptique pro-

NOUVEAUX EXEllGICES DE MATHEMATIQUES. i27

duitc par la réflexion totale ou parla réflexion opérée à la surface d'un corps opaque et, en particulier, d'un métal. D'ailleurs, les divers résultats de notre analyse se trouvent d'accord avec les lois déjà connues, particulièrement avec les formules proposées par MM. Fresnel et Brewster, ainsi qu'avec les observations de tous les physiciens. Au reste, je reviendrai sur ces résultats dans de nouveaux Mémoires, où je déduirai directement des équations (i5) du § I les lois des divers phénomènes lumineux, y compris les phénomènes de l'ombre et de la diff'raction.

§ XI. — Sur la relation qui existe entre la vitesse de propagation de la lumière et l'épaisseur des ondes lumineuses.

Pour une couleur donnée, la durée T des vibrations lumineuses, ou, ce qui revient au même, la quantité

reste la même dans les difl'érents milieux. Mais l'épaisseur /des ondes lumineuses, aussi appelée longueur d'ondulation, et, par suite, le l-

rapport

devront, si l'on adopte la théorie exposée dans ce Mémoire, se trouver liés à la vitesse de propagation

parla formule (i) ou (5) du § VI, c'est-à-dire par l'équation

en vertu de laquelle (2- se développera en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de k. D'ailleurs, en

posant, comme dans le § VI,

"" ai'

tirera de 1'

'équation (4)

Les coefficients a,, a^, a;,, ..., b,, h,, bg que renferment les

seconds membres des équations (4) et (5), dépendent de la nature du milieu dans lequel se propage la lumière ; les quantités k, [î dépendent en outre de la valeur attribuée à s, c'est-à-dire de la couleur. Dans le vide et dans les milieux qui ne dispersent pas les couleurs, par exemple dans l'air atmosphérique, les coefficients

82, 83, . • . , i}2> ba, ...

s'évanouissent; alors la formule (4), réduite à

(7) |-2=^'=ai'

exprime que la vitesse de propagation 12 est indépendante de s, et ^proportionnel à k-.

Concevons maintenant que, les valeurs de k et de ù étant relatives à l'air atmosphérique, on désigne par

ce que devient la quantité k lorsqu'on substitue à l'air un autre milieu. La valeur de 0, déterminée par l'équation (8), ou, ce qui revient au même, par l'équation (16) du § V, ne sera autre chose que l'indice de réfraction d'un rayon lumineux qui passerait de l'air dans le nouveau milieu que l'on considère, et la formule (G) deviendra

(9) k'^=: 9' k'-=his'--^h^s'* +hss'^ -h . . . .

Si dans cette dernière formule on remplace s par sa valeur tirée de l'équation (3), on trouvera

(10) 6^=hi9J-hh^^'s''-hh3^'s'* + ....

NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES. i29

Donc en posant, pour abréger,

(11) h,Oj=a, h,9J^\>, h,9J=c, on aura simplement

On ne doit pas oublier que, dans les formules (10) et (11), ù représente la vitesse de propagation de la lumière dans l'air, vitesse qui reste la même pour toutes les couleurs.

Soient maintenant '

^1, d„ 9„ e„ 9,, 9„ 9, les valeurs de 0 relatives aux rayons

de Frauenhofer, et

.Vl, ^2> •^3» ■^4» '^5» '^G> ^1

les valeurs correspondantes de s. Si l'on désigne par i l'un quelconque

des nombres entiers

et si l'on pose en outre

(i3) Qi=^Oh

la formule (i 2) donnera

(•4) 0,-=ia-f- b.ç?+c.v,^4-

Or il résulte des calculs développés dans les §§ VI, VU, VIII qu'on peut, sans erreur sensible, réduire le second membre de l'équation (4) ou (G), et par conséquent le second membre de la formule (r4). à ses quatre premiers termes. Donc cette formule pourra s'écrire comme il suit :

('5) 0, = a+b.ç?+f,yf+îi.çf.

D'autre part, on pourra encore négliger A' 0, dans le premier membre

de la formule (i i) du § VII, et réduire cette formule à

i + ju"' 0 (U'- 0)S'"^,- [U"- 0 - (U'- 0)S"(3,]S'"y/ i (5,-,

les valeurs de

0, U', U", U" étant celles que fournissent les équations (lo) et (6) du § VII, savoir

( 0 - t SQ Ql + Q2+ 03+ 04+ 05+06

et l'on tirera de ces dernières équations combinées avec la formule (i4)

(,8) ] U' = tt+ b S' 5?+cS'5Kî'S'5?,

j U" = a + b S" 5? 4- r S" s\+ b S" s^, \ \}"'= Cl + b S'"^|+ r ^"'s'l-\--b^"'sl,

les notations S^;, S'^J, S"^;, S'" 5;, ^s% ... exprimant ce que deviennent les sommes désignées par S0,, S'0,, S"0,, S"'0, dans les

équations (17), quand on y remplace 0, par s^^ ou par s-, Enfin

il est clair que la substitution des valeurs de

fournies parles équations (i5) et (18), transformera les deux membres de l'équation (16) en deux fonctions linéaires des quantités

qui varient avec la nature du milieu réfringent. Or, ces deux fonctions devant être égales entre elles, quel que soit le milieu réfringent, on peut en conclure que dans l'une et l'autre les coefficients des

NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES. Wl

quantités (19) devront être les mêmes. Par suite, l'équation (16) devra continuer de subsister si, dans cette équation et dans les formules (17), on remplace 0,- par l'une quelconque des quatre quantités

(20) I, sj, sj, sf,

ce qui revient à supposer, dans les formules (i5) et (18), l'une des quantités a, b, c, "ï» réduite à l'unité et les trois autres à zéro.

Remplacer 0, par l'unité, c'est substituer l'air au milieu qui devait réfracter la lumière. Alors on trouve, non seulement 0,= f, mais

aussi

et l'équation (iG) devient identique, comme on l'a déjà remarqué

Remplaçons maintenant, dans l'équation (16), 0, par s'-, n désignant l'un des trois nombres entiers 2, 4, G, et faisons, pour abréger,

\ ç'"-- S"'s'l= - .ç'/+ s'I-i- 5'j— si— sl-\- s'^-h 5« ; l'équation (iG), jointe aux formules (17), donnera

i +|s"-S-(ç'-OS'"|3,-[s"-ç-(ç'-ç)S"(3,]S-y,-|5,.

L'équation (22) fournira pour s'^ des valeurs approchées de divers ordres, si l'on réduit le polynôme que renferme le second membre au seul terme ç ou à la somme de ses deux, trois, quatre premiers termes, et, si l'on nomme

às'l, A'- s'}, A^sf, A* 5?

les différences finies des divers ordres qui doivent compléter les

valeurs approchées dont il s'agit, on aura rigoureusement

On trouvera, par suite,

( A^s1=s':- ç - (ç'-ç)^,.- [ç"-ç - (ç' ç)S"[3,]y,; puis on en conclura

ou, ce qui revient au même,

(25) S"A^5?rr:ç"-ç(ç'ç)S"[3„

de sorte que la formule (23) donnera

= iS.çf -+-i3/S'A5?+A^5f

et pourra être remplacée par le système des équations

^^ j A^^f =r yt S" A^i-;-' 4- A^^f , A=5 5j' = o,- S'" A^y^' + ^'^s'|.

De plus, la formule (22), réduite à

( 28 ) 5? = f S si -\- (3,- ^'^s1 + y,- S" A- 5f + (5,- S'" A^ s'I ,

fournira précisément pour s'I la valeur que l'on tirerait de l'équa-

'^'''"*^t/?S/ry\

tion (26) ou des équations (27), en y posant

On tire des équations (2) et (3)

(30) s = ^k=z2'KQM.

Si, dans cette dernière formule, on suppose Cl, k ci l relatifs à l'air atmosphérique, la valeur de ù sera la même pour toutes les couleurs; et, en désignant par

les valeurs de /(:, / relatives k s = s^, on trouvera

(3i) Si = ^ki=^2n^li',

par conséquent

(32) sf = Q'^kf^-{2'!l^)^lj'\

Soient maintenant A^^, A^^J', ..., A/:", A-/7", ... ce que deviennent les différences As", A^s", . . . déterminées par le système des équations (27), quand on remplace dans ces équations s[' par k" ou par Ij". On aura

i kf=y^k'l -i-Akf, Ak'l =^i'è'Ak'l +An'l,

I AUf = y ,• S" A2 k'I + A^ k'I, A' kf = ô,- S'" A^ k'I + A* kf,

lj"z=l-Sli" +A^'S A/7" =z(3,S'A/7" + A-/7",

puis on tirera des formules (33), (34), combinées avec les équations (27) et (32),

i2/ " ' ~Vii

I A^ÂTj' = (^^fA'sf, A* Ai' = (^)"^'^"; A» /r« — / 1— 1 " A3 ç'^ A* /"" — f~ ) A* 5" .

Gela posé, en multipliant les deux membres de l'équation (28) par

OEuvres de C. — S. U, t. X. 55

kSf* NOUVEAUX EXERCICES DE MATHÉMATIQUES.

(i) ou par ( —^) > on en conclura

( 37 ) kl := \ S ^? + [3, S' Ak'l + yi S" A^ kf + ô, S'' A=^ kf,

( 38 ) Ij" := î S /• " + ;3, S' A/7" + yi S" A^ Ij" + a,- S"' A' tj" .

Les formules (37) et (38), entièrement semblables à l'équation (28), fournissent précisément les valeurs de k" et de /7" que l'on tirerait des équations (33) et (34) en y posant

(89) A^A7-ro, A*/-"— o.

Les valeurs de 6,, ou des indices de réfraction, déterminées par les expériences de Frauenhofer, sont composées chacune de sept chiffres, et le Tableau XXIII du § VI montre que l'on peut compter sur l'exactitude des cinq ou six premiers chiffres. Les valeurs de // n'ont pu être déterminées avec la même précision, et, pour chacune d'elles, on ne peut regarder comme exacts que les trois ou quatre premiers chiffres. Il en résulte que, dans les valeurs de k^, 5,, et par suite dans les valeurs de Ij", k", s", on ne saurait compter sur l'exactitude du cinquième chiffre et des suivants. On ne doit donc pas être surpris, lorsqu'on veut appliquer au calcul des différences finies des divers ordres de s", k'I, Ij" les formules (27), (33) ou (34), de trouver les différences finies du troisième ordre, sensiblement nulles, aussi bien que les différences finies du quatrième ordre, c'est-à-dire comparables aux variations que produisent les erreurs d'observation. Or c'est précisément ce qui arrive. Si, pour fixer les idées, on applique les formules (27) à la détermination des différences finies

et si l'on prend pour unité de temps, non plus la seconde sexagésimale, mais le quotient que fournirait la division de cette seconde en mille millions de millions de parties égales, alors, en faisant usage des logarithmes de -± (3, et de q= y, renfermés dans les deux premiers Tableaux du § VI, et posant successivement /? — 2, puis n — 4» on obtiendra les valeurs de s% As", A'-s", A'^" comprises dans les Tableaux suivants.

Tableau I.

Valeurs de sf, AsJ, A^yJ, A'^f.

Av?

Somme. . .

A^.vf

Somme. . .

T.S"A^yf....

3oioo33 7323938

S,vf

Tableau II.

Valeurs de sf, ^sf, l^sj, A.^sf.

SOMMES

S' \sf

\Ssï

L(--S'A*t)-- Somme. . .

^^sf

L(=PÏ/)

Somme. . .

Y/S"AVv/....

-Il ,o55

Pour s'assurer que les valeurs de A^^", renfermées dans les dernières lignes horizontales de ces deux Tableaux, sont, en effet, comparables

aux variations que produisent dans les valeurs de s" les erreurs d'ob-

A* l ■ servation, il suffît de calculer les diverses valeurs de A^// ou de -t-^>

en supposant que l'on désigne par

ce que devient li en vertu de la formule (32), quand on remplace dans

cette formule s'- par

s'I — A^sf.

Or, dans cette supposition, on tire de la formule (32) (4o) si -A'sf — {iTi^Yiti — AHi)-"

et, par suite,

(■~fr