DONT L'ÉLASTICITÉ N'EST PAS LA MÊME DANS TOUS LES SENS

Nous avons donné, dans le troisième Volume des Exercices mathématiques [p. 328 et suivantes (^)], les équations qui expriment l'équilibre ou le mouvement d'une plaque solide élastique ou non élastique, d'épaisseur constante, ou d'épaisseur variable, mais en nous bornant à l'égard de la plaque élastique au cas où l'élasticité restait la même dans toutes les directions. Alors les projections algébriques sur les axes coordonnés des pressions/?', />",/?"' supportées en un point quelconque {x,y, z) par trois, plans perpendiculaires à ces mêmes axes, ou, en d'autres termes, les six quantités

se trouvaient liées aux déplacements H, y], '( du point dont il s'agit par les formules (58) de la page 33r) (-). Considérons maintenant une plaque élastique dont l'élasticité ne soit pas la même dans tous les sens. On devra aux formules que nous venons de rappeler substituer

(,') OEuvrex de Cauchy, S. II, T. VIH, p. 38 1 et suiv. (î) Ihid., p. 391.

OF.uvres de C. — S. U, t. IX. 2

les équations (3G), (37) des pages 22G, 227 ('), dans lesquelles m, désigne une molécule d'un corps élastique, «, h, c les coordonnées primitives de cette molécule, c'est-à-dire celles qui se rapportent à l'état naturel du corps, r le rayon vecteur mené primitivement de la molécule m à une molécule voisine, a, ^, y les angles formés par le rayon r avec les demi-axes des coordonnées positives, f{r) une fonction qui dépend de la loi de l'attraction, et p la densité du corps au point {x,y,z). D'ailleurs, si, en supposant toujours que les déplacements H, V], 'C restent très petits, on veut prendre pour variables indépendantes, au lieu des coordonnées primitives «, />, c, les coordonnées x, y, z relatives à l'état d'équilibre ou de mouvement du corps élastique, il suffira, comme on l'a prouvé à la page 207 du troisième Volume (-), d'écrire partout^ au lieu de a, y au lieu de h, z au lieu de c. Donc, si l'on fait, pour abréger,

(.) a^pS[f cos^a/,.)], b=?S['f ^°^^^'^^''']' ^ =?S[t'^«^"-^^'-^]'

(3) d =--pJ^[^''cos2;3cos2y/(,.)1, c =p§p-^cos-2YCOs2a/(,-)l, f = p g P-^cos^a cos^p/t/-) I:

u =pCM^cos2acos3coSY/(!^) L v = p V ^cos^a cosy/(/-) . \v = p C — cos^a cos;3/(/-) .

( 4 ) / u' — p C — cos^ ,3 cosY /(/-,), ^' "^ P S if '^^^^ ^°^^ '^ cosy/(/') , '^'^'' = ? S ~~ ^^^^ ^^^^ ? /('") '

" — ? S -— • cos ^ cos^ Y /(''); ^'" — ? s ~T ^^^ ^ ^°^' Y /( ^ ) h ^^'" " P s ~7 co^ ^ cos 3 cos- y /( /' ) •

les valeurs de A, B, C, D, E, F relatives à un corps élastique dont l'élasticité n'est pas la même dans tous les sens deviendront

A = a -v^ ôr

(On (K\ [Oz -^ âfj

\ ( dl un ' \ dy ôx

fàn J:^ \àz ~^ ôyj

on Oy

àX

(d-n d:\ \dz'^ ôyJ

' \dx dzj

( ' ) QEuvres de Cauchy, S. II, T. VIII, p. 267. (2) Ibid., p. 240.

,. 01 , On „ 0^ , I) = U -j^ 4- u' — + u" -,- 4- cl 1 Ox dy Oz

(On o;\ JOX Ol\ ,1 [rz-^0y)^''\<ïc^0l)^''^

roi <w

\0y Ox

^ Oc, , Or\ ,, Ot, ...

ax ay Oz '

(On 0X\ (O: 01 \ {Oz OyJ \0x OzJ '

fOi On \0y Ox

n O'i , On „ OX,

Ox Oy Oz

(On o':\ ( ox oi\ „,

[Tz'-ôj-)^''\j-x^ozr'^

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V Oy Ox

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