OX

01 On

Ox'

Oy'

Oz ^ 0/

Ox Oz

Oy Ox

Lorsque le corps élastique est homogène, les quinze coefficients (7) a, h, c, (1, e, f, u, v, w, u', v', w', u", v", w"

se réduisent à des quantités constantes, et l'on peut en dire autant de la densité p, qui, pour de très petits déplacements des molécules, n(î diffère pas sensiblement de la densité primitive. Alors les valeurs de A, B, C, D, E, F, fournies par les équations ( )), (G), dépendent des six quantités

qui varient seules dans ces mêmes équations avec les ordonnées x, y, Z-. On peut remarquer que ces six quantités sont aussi les seules fonctions de or, y, z qui entrent dans la valeur générale de la dilatation ou condensation linéaire mesurée suivant une droite menée par le point {oc, y, z) de manière à former les angles a, ^, y avec les demi-axes des coordonnées positives. En effet, si l'on nomme £ cette dilatation linéaire prise avec le signe + ou cette condensation linéaire prise avec le signe —, on aura, comme on l'a prouvé dans le deuxième Volume des Exercices (page GG) ('),

1 Oi , On ^o OX ,

l £ := -T-^ cos^a 4- -T- cos-p 4- -,- cos^y \ Ox Oy Oz '

^^^ i (dn 0X\ a /'^' d'-\ (àl On\

' ■^[Tz^ôjj'''''^''''''^^[ô:v-^dV'''''^''''''~^[ry'^à^)

Dans le cas particulier où le corps élastique offre trois axes d'élas-

(1) OEiwres de Caiœhj; S. 11, T. VU, p. 89.

licite rectangulaires entre eux et parallèles aux axes des x, y, z, les neuf coefficients

(»o) U, V, w, ij', v', vv', u", v", \v"

s'évanouissent, et les formules (5), (G), réduites aux suivantes

(II) Ar=a-r^+f-r — h-e-T-, B=:f-^+l)^--hd,-, C = e-r^+(l-T- + c-r-, oa; Oy Oz <jx a y az Or ôy oz

coïncident avec les équations (63), (()4) des pages 233, 234 du troisième A'olume des ^'j^emce^ (').

Les formules (5) et (6) ou (ii) et (r2) étant une fois établies, il suffirait de les combiner avec les formules (2) ou (20) et (28) des pages iGi et iGG du troisième Yolume (^), pour obtenir les équations générales de l'équilibre ou du mouvement d'un corps élastique, dont les molécules s'écartent très peu des positions qu'elles occupaient dans l'état naturel. Donc, si l'on désigne par o la force accélératrice appliquée au point {x, y, z) de ce corps élastique, et par X, Y, Z les projections algébriques de la force o sur les axes coordonnés, les équations propres à déterminer le mouvement de ce même corps seront généralement

t)2ï ^, t)2î àH d2S d^r. ,d'-r, „d''r, ^2^ ,d''t ,,0-^Z

' c»/2 '^ âx^ dy- àz^ Ox^ dy^ dz^ d.v^ Oy^ ûz-

I d^-\ c)2£ d'-l , â'-T dir. ^ d'-r. „ à'-:, OK O-^l

\ Oj oz Oz ôx ôx dj âj Oz Oz Ox Ox Oj <JJ' oz OzO.t: O.r 0\

d^T ^, c)2ï ,()2Ï „c)2f à^-r, ^ O'-r Oir. d^^ , d'-X, „ dK

P -,-T = ? ^ + ^V -— ?, 4- W -— , -+- W 3-7 + f — ^ -(- b -— i -I- d — ^ -H U — I 4- u ^ -h u — f ' Ot^ ' Ox^ Oj^ Oz^ Ox- Or- Oz^ Ox^ dj^ Oz^

4- 2 ( V - — ^- -H U , — 7 1- f -^ 't -+- U -^ r -h V r h W ^ -H Cl - — ■- -+- W

Of Oz ùz Ox àx Oy dy Oz Oz Ox Ox Oy Oy Oz Oz Ox

' OxOy)

O'-t , ()2f ,c)2î „d2f ()2y O'^r. „0'-r, dK , à'-Z à

? -rf = ? Z 4- V ---^, 4- V -— ; 4- V — 7 -H u — ^ 4- u T-T -^u-r^ -^-c-— f-i-d— f+c-— ' Ot^ ' Ox- 0)^ Oz'' Ox^ Oy' Oz^ Ox- dy^ ôz-

<^-ç t^-? à'-l , d'^r. , c)2r, , O'^r, „ OK „ 0^1 „ On

ày Oz dz dx Ox Oy dy Oz Oz Ox Ox Oy ày Oz Oz Ox Ox Oy

(') OEuvre<! de Cnuchy, S. II, T. VIN, p, 274. (2) Ibid., p. 196, 202 et 2o3.

Si le corps élastique offre trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes des .r, j, z, les coefficients u, v, w; u', v', w'; u", v", w" s'évanouiront, et les équations (i3), réduites aux suivantes

(li^ ôy^ ôz- ÔJc dy ôz <)a- ' ' dl^

^ '^ ^ (}x2 c)v^ (?:;^ (^/ d^ dxdy '^ Ot-

flv^ ôy' dz' dz dx ôy Oz ' ' ât^

coïncideront avec les formules (G8) de la page 235 du troisième Volume (*). Enfin, si des formules (i3) et (i4) on veut tirer celles qui expriment l'équilibre d'un corps élastique, il suffira d'annuler les trois expressions

à^ àHi ^ ^^'"^^ , âl^' ôf' ôf'

Concevons à présent que le corps élastique se réduise à une placjue élastique naturellement plane et d'une épaisseur constante. Désignons par ii l'épaisseur naturelle de la plaque, et prenons pour plan des x, y celui qui divisait primitivement cette épaisseur en deux parties égales. La surface moyenne, après avoir coïncidé dans l'état naturel avec le plan des a?, j, se courbera, en vertu du changement de forme de la plaque, mais son ordonnée restera très petite. Désignons par f{x,y) cette ordonnée, et faisons, de plus,

z étant l'ordonnée d'une molécule quelconque m prise au hasard dans l'épaisseur de la plaque. Enfin soient

(17) A =Ao + A,.ç-i-..., F =Fo4-FiS-f-..., lî — lio+Bi-îH----,

(18) ; =to +;i •«-+-•• -, n =Yîo + -Oi. •>•+.. ., Ç =Ço +?!•« H-- • •»

(19) \z=Xo+X,,Ç + ..., Y = V„+ Y,.9+..., Z:=Zo-+-Z,5 + Zj^ -^..

(') OEuvres de Cnuchj, S. II, T. VIII, p. 27').

14 SUR LÉQUILIiniE ET LE MOUVEMENT

les développements de A, F, B; ^, y], î^; X, Y, Z suivant les puissances ascendantes.de s, dans le cas où l'on prend ^, j et ^ pour variables indépendantes. En supposant que la plaque élastique se meuve et soit extérieurement soumise à une pression normale désignée par P, on établira, comme nous l'avons fait dans le troisième Volume (pages 337 et 338) ('), les trois équations

Seulement, pour obtenir les valeurs des fonctions Ao, F^, B^; A,, F,. B, exprimées ii l'aide des dérivées partielles de Hq, r^o, 'Co, il ftiudra combiner les équations (9) de la page 33i (^), c'est-à-dire les trois formules

qui subsisteront encore pour s = — i et pour s = i, non plus avec les équations (58) de la page 339 ('), mais avec les équations (.5) et ((>). On aura donc, pour ,v — — i et pour s = i,

o^v dj àz \dz âfj \dj; dzj \dy ôx)

OJc âr dz \àz âvj \dx àzj \ây dxj '

puis, en substituant les valeurs des fonctions

ÔX ôz dv dz ôz

(•) OEuvres de Cauc/if, S. II, T. VIII, p. SgS.

(2) Ihid., p. 385.

(3) lOid., p. 394.

D'UNK PLAQUE ÉLASTIQUE. 15

tirées dos formules (^3), dans celles des équations (j), (6) qui déterminent les pressions A, F, B, on trouvera

/ . àc, . On f de an \ ,»

I O.V Oy \âf ax j

a, b, c, ^, c, f, u, u, m désignant de nouveaux coefficients dont les valeurs seront

, ,. v2(dc — 11"^ -t- u2(ec — v'2) + e*(cd — \\"'^)->r 2uo(v''w"— eu") -f- 2ev(u"\v''— dv") -\- 2vu(ii"v"— c\v")

(■>.7) li = b —

edc — eu"- — d v"^ — cvv"^ -h % u" v" w"

v'2(;dc — u"2) -f- u'2(ec — v"2) + d2(cd — w"^) -4- 2u'd(v"\v"— eu")-i- 2dv'(u"w"— dv") -h •2u'v'iu"v"— c\v")

edc — eu":' — dv "^ — cw"^ h- 9. u" v" \v"

u'^ ( de — u"- ) -I- v'2( ec — w"2 ) -u w"2( ed — w"- ) -h 9. v'\v"( v" -\v"— eu" ) -4- 2 w" u ( u" w" — dv" ) -+- ■>. u v'(u" v" — cw" )

edc — eu"- — dv"2 — c\v"'^-f- '2u"v"w"

, v'u(dc— u"-)+uVXoc— v''^)-l-d\v"(ed---^v"•^)-^-(u^v"-^^dv')(v"\\^"— eu")+(du-4-v'\v")('»''\v"— dv")+(v'-+uu')(u"v''— c\\") ~ edc — eu"- — dv"'^ — c\v""^ -+- 2 u" v" w" '

uv(dc — u"-)-i-v'u(oc — v'2)-f-\v"e(ed— \v"'^)-+-(v'e-t-w"u)(v"vv" — eu")-(-(w"v-i-ue)(u'w'' — dv')+(M2^-vv')(u"v"— cw")

( Jo) c =\v ^ j J- —j: — ^-j — J, ' ,

edc — eu ' — d/-— cw -2-1- 2u V w

V v^dc— u"2)+uu'(ec — v'2)-i-ed(ed — w"2) -I- (ud -H eu') (v"w"— eu'')H-(ev'-Hvd) (u"vv"— d v'')+(vu'-f- uv')(u"v"— cw') ^ edc — eu - — dv ' — cw - -+- 2 u v w

I J V ( u" w" — dv" ) -h u ( v" w" — eu" ) + e ( ed — w"^ )

edc

— eu"^ —

dv"^ —

cw"'^

-h-2u"v"vv"

dv") + u

— eu

edc

— eu"^ —

dv"^-

cw"-

dv") -+- v'

(v'Sv''-

- eu"

) 4-w"(ed-

edc. — eii"^ — dv"^ — cvv"^ -i- 1 u" v" w

Or, si, après avoir développé les deux membres des formules (25) suivant les puissances ascendantes de s, on pose successivement dans ces formules s=^ — i, s =1 i, on en conclura, en négligeant les termes pro-

portionnels au carré de i,

dx à y \ày dx

(/oj? <; >' \ a y ax

c/d? »/ \dy ax J

D'autre part, si l'on nomme U, V, W des fonctions de oc, y, z propres à vérifier les formules

i dx a y \ay ax J

/o-\ ] lll^ 1 \r nwT àc I d(] , ( dl dn\

(3o) -; W U + cl V 4- u" W =1 — u -T-^ — u V -^ -H T- h

j ax ()y \dy dx J

X" U + u" V -H cW =- e -fi - cl ^ - w'Y# + ^ V- i% \ ax a y \ay ax J

011 aura, pour s = -- i et pour s=i, en vertu des équations (23) et (35),

az ôx ôz ôy dz

puis on en conclura, en prenant pour variables indépendantes œ, y, s au lieu de x, y, z,

(7.V d.c as Oy as

('ela posé, soient

(38) U„, Vo, Wo

les valeurs de U, Y, W correspondantes à ^ = o. On tirera des for-

mules (35) et (By), en développant les deux membres de chacune d'elles suivant les puissances ascendantes de s,

ax dy \dy ôx

(3c,) / ;vv"Uo+dVo4-ti"Wo = -u^"-u'^^- vY'^ + ^ ^1 OJc ôy \ôy Ox

v"Uo + u" Vo + c Wo=- c ^ - d ^' - w'Y^" + ^] - I\ \ ôoc dy \ôy ôx

et

Par suite les équations (34) donneront

A ^Uo ,

r^r \dy ax ) àx- dy- ôx Oy

1 Ôx Oy \0y Ox j ôx- Ov-

ôx Or^

ÔX Ôy \ dy Ox

A^y Air Ai y

Si maintenant on substitue, dans les formules (20) et (21), les valeurs de A„, Bo, Fo, A,, B,, F,, fournies par les équations (33) et (4i), on trouvera

c^x^j ' 'iJy^-'^'-ÔJ^^ -^^^-^'^ô-Jôy-^^-ôy^ ^^^'=^-0^-

Ôx''

à^-Oo , , <^^Yîo ô-'ci

^^■-^^^^ + ^^"^^^"-^^^^)^+^^"-PY„=p'i;^

et

"f^'Co , , 0'*t, ., .^ ô'*Ko ,, ôK, , 0

ÔX'' 0

ôx^ ôy^ ' ôx Oy'^ ôy

3 [ ôx^

dJ:- ôy ôx Oy^ ôy*

ÔX* ' ôx^ ôy ôx ôy- Oy^ J

OEuvres de C. — S. M, t. IX.

^0' ^0' ^^0 désignant des fonctions de a? et j déterminées par les formules (39).

Les équations (4^) et (43) sont les seules qui subsistent, pendant le mouvement d'une plaque élastique naturellement plane et d'une épaisseur constante, pour tous les points de la surface moyenne. Sup- ])Osons d'ailleurs cette plaque terminée dans son état naturel par des plans perpendiculaires au plan des x, y ou par une surface cylindrique dont les génératrices soient parallèles à l'axe des :;. Si cette surface (cylindrique est soumise à une pression normale ^^ différente de P, et si l'on désigne par

a, (3 et y = i-

les angles que forme avec les demi-axes des x, y et ^ positives la normale à la surface cylindrique, prolongée en dehors de la plaque, les conditions (34), (35) et (52) des pages 336 et 338 du IIF Volume ('), savoir

(44) (Ao+'i:')cosa H- Fo cos|3 = o, Fq cosa + (Tîo+ y^) cos;3 =: o,

(45) A, cosa 4- Fi cosp = o, F, cosa + B, cos(3 = o,

1 (àk, JF, ^ \ /JF, ^B, ., \ o

devront être remplies pour tous les points de la surface moyenne situés sur des portions libres du contour de la plaque. Au contraire, les formules (4o) et (4i) des pages 336 et 337 du même Volume (^), savoir

(47) fo=o, riQ=o, Ço = o,

(48) li — o, -/]i = o

devront être vérifiées pour les points de la surface moyenne situés sur des portions fixes du contour de la plaque. Il est bon d'observer :

(') OEuvres de Caucliy, S. II, T. VIII, p. Sgo et SgS. (2) ibld., p. 391 et 392.

1° que, cil vertu des équations (4«). It^s formules (4(3) et (48) pourront être réduites aux suivantes

et

2" que des formules (43) et (49) combinées entre elles on conclura, en négligeant les termes proportionnels au carré de i,

II ne reste plus qu'à substituer, dans les formules (44)» (4 3) ft (49) ou (5i), les valeurs de Ao, Fo, Bo» A,, F,, B, fournies par les équations (33) et (4i)-

Si l'on voulait considérer une plaque élastique, non plus dans l'état de mouvement, mais dans l'état d'équilibre, il suffirait de supprimer, dans les équations (4^)» (43) et (49)» tous les termes qui renferment des dérivées relatives à /.

Revenons au cas où la plaque élastique se meut. Alors les deux inconnues E„, Y]„, qui mesurent les déplacements parallèles aux axes des j" et j pour un point quelconque de la surface moyenne, pourront être déterminées à l'aide des équations (4^) réunies aux conditions (44) ou aux deux premières des conditions (47); t'" sorte que les valeurs générales de ces inconnues seront indépendantes de la valeur initial(> de ^0' otpar conséquent de la forme de la surface moyenne à l'origine du mouvement. De plus, après avoir déterminé Ho et y]o, on déduira des formules (39) les valeurs de Uo, Vq» et de l'équation (43), réunie aux conditions (45) et (5i), ou à la dernière des conditions (47) et aux formules ( jo), la valeur générale de ^o- Si l'on suppose en particulier que, pendant la durée du mouvement, les déplacements Ho, yjo' niesu-

rés parallèlement au plan des x, y, restent très petits relativement \\ l'ordonnée *Co de la surface moyenne, ce qui exige que les valeurs initiales de H„, -/^o soient elles-mêmes très petites relativement à la valeur initiale de '(«; alors, en négligeant tous les termes qui renferment E„ ou 7]o, on tirera des formules (3())

(02) Uo=o, Vo=o.

Par suite, les équations (40» (4^) deviendront respectivement

Bi

,1/ -51) 1 <^ so

Air

F'J 'îC I = — f 1— .