DES MOUVEMENTS DES PLANÈTES
Soit
Il 110 f'onclion réelle homogène et du second degré. Soient de plus
les déi'ivées partielles de f(.r, y, z, . . .) prises par rapport aux variables a-, y, :, Si l'on assujettit ces variables à l'équation de
condilioii
les maxiina et mininia de la fonction s seront déterminés (voir les Leçons sur le Calcul injiiiitcsimal, p. 2J2) par la formule
D'ailleurs, les diverses fractions que renferme la formule (4), étant égales entre elles, seront égales au rapport
xo{x,y, z, .. .) + rx(.g, j-, ^, . ..) -\- z '^(a\ y, z, . . .)
(jui, en vertu de la condition (3) et du théorème des fonctions homogènes, se réduira simplement à
On aura donc oncoro
(-y) ?(.r, r, j, ■ ..) x(.r, /, :;, .. .) __ 'hj^, y, =.•••) ,, ^^
on, ce qui revient au même, Soit maintenant
l'équation que fournira l'élimination des variables a-, y, :^, . . . entre les formules (6). Les inaxima et les minima de la fonction
ne pourront être que des racines de l'équation (7). D'ailleurs cette équation sera semblable à celle que l'on rencontre dans la théorie des inégalités séculaires des mouvements des planètes, et dont les racines, toutes réelles, jouissent de propriétés dignes de remarque. Quelquesunes de ces propriétés étaient déjà connues : nous allons les rappeler i(;i, et en indiquer d(; nouvelles.
Soit n le nombre des variables x, y, z, — Désignons d'ailleurs, pour plus de commodité, par
^xx'i ^^yyy -»;=' • • •
les coctTicients des carrés
dans la fonction homogène s = f(x, y, z, . . .), et par
^^xy—^ ^^yxy -*ars— - -»ï.t» • • • , -^y; — -^zyt • • •
les coefficients des doubles produits
-i.ry, io--, ..., 2yz, ..., en sorte qu'on ait
Les équations (6) deviendront
/ Aa:x-3^ + A^yJ + Ax:- + . . . = SO-,
• \ A^y X + kyyj + Ay; ^ + . . . = sy, I A-czX-h Ay^y + A;. - + . . . = sz, \ »
et pourront s'écrire comme il suit :
] A^yJC + {Ayy—S)y-^Ay.Z.^...= 0,
(lo) \
Cela posé, il résulte des principes établis dans le Chapitre III de YAnalyse algébrique (§ 2) (*) que le premier membre de l'équation (8), ou S, sera une fonction alternée des quantités comprises dans le Tal)leau :
j Ay:x ^■f ^xyi A^3, • • •,
] ^xyi yy ^^ .y=' • • • »
savoir celle dont les différents termes sont représentés, aux signes près, par les produits qu'on obtient, lorsqu'on multiplie ces quantités, n à n, de toutes les manières possibles, en ayant soin de faire entrer dans chaque produit un facteur pris dans chacune des lignes horizontales du Tableau et un facteur pris dans chacune des lignes verticales. En opérant ainsi, on trouvera, par exemple, pour n= 2,
(12) ^={^^XX—S){^yy—S) — Aly;
j)Our n = 3,
^'^^ ( -A^,(A,x-5)-A^,(A,.,.-.)-Ai,(A,,-.) + 2A,yA,.,A3.,;
(1) OEuvres de Cauchy, S. II, T. III.
ON DÉTERMINE LES INEGALITES SECULAIRES ETC. 177 pour /2 == 4»
r A:„ (A^:c— ^) (Ayy— s) + A;.„( Ai^— .0 (A;; — s) -f- A;.( A^^— .v) ( A„„— .s-)"l ^ L + Kui^yy- -0 ( A^. - *) + A3.,(A^.^- .V) (A„„- s) -h Al,( A» - s) ( A„„- .s)J r Ay;Ay„A;„(A^^.— .9) + Aa:;A^„A;„(Aj.y — ,y)1 L -^ A;r:yA^,^Ay„{A.. — ^ ) + A ^y A 3;; Ay ; ( A „ „ — .V ) J
-t- Aj^yAz„-\- A;^.Ayn-h A}.nAy. 2 [Aa:yAj:;Ay„ A-„-f- Aj:yAj.„ AyjA^tt 4-Ax; A^„ AyjxVj,,,];
et, généralement, on obtiendra pour S une fonction de s, qui sera entière et du degré n.
Concevons à présent que l'on désigne par
les n racines réelles ou imaginaires de l'équation (7). Soient, de plus,
(jo) ^1, j'i, -^i; 0^2, y.2f --2;
• • > ^nt J nj -■ Il
des systèmes de valeurs de x, y, z-, ... correspondants à ces mêmes valeurs de s, et choisis de manière à vérifier les formules (3) et (10). La première des formules (10) donnera
et
(Aa;a:— ■Çl)-fi+ Axy7i4- Aj,;Z;,-t-. . . = 0
( Axi- — 5, ) X, -^r Axyy-2 4- A^^ c. -i- . . . :^ o ; puis l'on en conclura, en éliminant le coefficient A^.^,
(17) (■«2 — .?i)^iJ:-2-H Aa;y(.r,r, — .r,/2) -^ A^^-ix^Zi— x^z^) -t-. . .rzzo.
En raisonnant de la môme manière, on tirera de la deuxième des formules (to)
(18) Aary(j2J",— /,X,)-i-(.Ç, — 5,)y,J,4-Ay;(/j-3, - V,5,)+...— O,
de la troisième
('9) Aj.;(G2-ri— -i^2)-H A;y(-îr, — :;,7j) -h (5, — .9,) c, :;* + ...-- o,
etc. Enfin, si l'on ajoute membre à membre les équations (i-j), (t8),
CEuvres de C. - S. Il, t. IX. 23
(19), etc., on trouvera
(20) (^1^2 + 7172+ -1 "2 + - ••)('Î2—'îl) = 0.
Donc, toutes les fois que les racines -y,, s., seront inégales entre elles, on aura
et, si l'équation (7) n'offre pas de racines égales, les valeurs de ^, r, z,... correspondantes à ces racines vérifieront loutes les formules comprises dans le Tableau suivant :
Soit maintenant R ce que devient la fonction S, lorsque, dans le Tableau {11), on supprime tous les termes appartenant à la première colonne horizontale, ainsi qu'à la première colonne verticale; et Q ce que devient la même fonction, quand on supprime, en outre, les termes renfermés dans les deuxièmes colonnes horizontale et verticale. Enfin, désignons par P„^, ce que devient S, lorsqu'on supprime dans le Tableau (11) les termes qui appartiennent à la même colonne horizontale que le binôme Auu — s, avec ceux qui appartiennent à la même colonne verticale que A^^— s, ou bien encore les termes compris dans la même colonne verticale que A„„— s, et ceux qui sont renfermés dans la même colonne horizontale que A^,^— s. Les polynômes R. Q; ^xx^ Pa;j» P^s» • • •; Pyr» Pyc» • • •» ^ zz «crout, aiusi quc S, des fonctions entières de s. De plus, on aura évidemment
(23) R = Pxx,
et l'on conclura des équations (10), en faisant abstraction de la première,
^ XX * xv *■ xz
ON DÉTERMINE LES INÉG VLITES SECULAIRES ETC. 17Î) Posons d'ailleurs, pour abréger,
(9,5) Xrr.P,,= R, Y = -I»,,., Z=.-P,,
La formule (24), combinée avec la formule (3), donnera
^' ^ X - Y " z - • •"-"- v^^fTY-^Tz^T??:',
et, si l'on désigne par
les systèmes de valeurs de X, Y, Z, . . . correspondants aux racines s,, .Vo, . . ., .9,j de l'équation (7), on tirera de la formule (2G)
ce
1 Jl
^1 Y, Zi ■■• v^Xf=rY? + ZJ
(28) ; x; ~ Y. ~ Z, y7f|~YfTzf
•^re ,V/î
Les valeurs de ^<, r,, r,, ... seront complètement déterminées, aux signes près, par la première des formules (28), à moins (jue la supposition s = s^ ne fasse évanouir simultanément les fonctions X = R, Y, Z, ...; et, comme on peut faire un semblable raisonnement à l'égard de ^o, r., Zo, ...; ...;Xn,y„, z,^, ..., il est clair que les expressions (16) seront, aux signes près, complètement déterminées par les formules (28), à moins que des racines de l'équation (7) ne vérifient en même temps la formule
Ajoutons que, si les racines 5,, .s., sont inégales, on (irera de la formule (21), combinée avec les deux premières des formules (28),
En partant de la formule (3o), on prouve facilement que l'équa-
tion (7) no saurait admettre de racines imaginaires, tant que les coefficients A^^, A^.^, A^.., ...; \yy, Ay^, ...; A.., ... restent réels. En effet, si l'équation (7) offrait alors une racine imaginaire de la forme 7^ i ^\J— I , elle en admettrait une seconde conjuguée à la première ou de la forme A — [x y/— i ; et, en prenant ces racines pour 5, et s.,, on obtiendrait pour X, et Xj des valeurs de la forme
( 3 1 ) X, = .')rt + Jb \/— 7 , X, = DM — Db v^^ , OR, % étant des quantités réelles. Par suite, le produit
(32) X,X2rrr.m'-+X2
serait nécessairement positif ou nul; et, comme on pourrait en dire autant des produits \^Yo, Z,Z., .. ., il est clair que la condition (3o) ne saurait être remplie, excepté dans le cas où l'on aurait
(33> X, = X2=o, Y,=rY.2=:o, Zi = Z,= o,
c'est-à-dire dans le cas où chacune des racines ^,, s., vérifierait les équations
(34) Pxx=:0, Pxy^O," Px,= 0,
Donc, si l'équation (7); du degré n, admettait des racines imaginaires, ces racines seraient propres à vérifier en même temps l'équation P.,x= o, ou (29) R-=o,
qui est de même forme, mais du degré n — i. En raisonnant de la même manière, on fera voir que, si l'équation (29) admet des racmes imaginaires, ces racines seront propres à vérifier en même temps l'équation
qui est de même forme, mais du degré n— i; et ainsi de suite. Donc, si l'équation (7) off*rait des racines imaginaires, ces racines devraient
ON DÉTERMINE LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES ETC. 181 satisfaire à chacune des équations de la forme
D'ailleurs, en prolongeant la série des équations (36), on parvient facilement à une équation du premier degré, qui coïncide avec la dernière des suivantes
(37) Ax:i — s = o, Ayy— S = 0, A„— .ç — o, ...;
et cette équation du premier degré n'admet pas de racines imaginaires, mais une seule racine réelle. Donc l'équation (7) n'a pas de racines imaginaires.
Concevons à présent que l'on combine la première des équations (10) avec la formule (24). On obtiendra la suivante
( "JO ) \ ^xx ■"" •^ ) i XX -^^xy "xy '^xz i xz . . • = O,
qui devra coïncider avec l'équation (7); et, en effet, il suffit d'observer de quelle manière les polynômes S, P^^^, P^^., P^,-, ... se forment à l'aide des quantités renfermées dans le Tableau (n), pour reconnaître que l'on a identiquement, c'est-à-dire quel que soit^,
(39) {Aa:x— ■^)i\x— Aa:yVxy— Aj:.i\.~ . . . -= S.
Ajoutons que, en combinant la seconde, la troisième, etc. des équations (10) avec la formule (24), on obtiendra encore des é(|uations identiques, savoir :
( Axy PxX — ( Ayy — s ) P^y - Ay; V J,- . . . = O,
i\0) Î A,,P^,-Ay,P,.y-(.\3.-.0Px=-...= O,
Cela posé, imaginons que l'on prenne pour s une quelconque des racines de l'équation P^^.^. = 0, ou
(-Î9) Krr:o.
Les formules (3()) et (4o) donneront alors
i^xy "xy "+" ^xz ^ xz -f- . • . ^^^ — S, ( Ayy - S ) \\y 4- A^- P^,3 + . . . ~ O, j A,,P,^-4-(A,,-5)P^,4-...= 0,
Le nombre des formules (4i) étant égal à n, si l'on efface l'une de celles qui offrent zéro pour second membre, les autres suffiront pour déterminer, dans l'hypothèse admise, les valeurs des n — i quantités
■■• xyy * xzf ' ' •
en fonction de S et des coefficients k^^., A^., ..., A^.^.— ^, A,., ..., A^- — s, Si, pour fixer les idées, on supprime la seconde des formules (4i), la valeur de Pj.^, tirée des autres, deviendra, eu égard aux notations adoptées,
