QS = -P

et, par conséquent, les quantités Q, S seront affectées de signes contraires, si l'une et l'autre diffèrent de zéro. Cette remarque fournit une nouvelle démonstration de la réalité des racines de l'équation (7), et permet, en outre, de fixer des limites entre lesquelles ces racines se trouvent comprises, ainsi qu'on va le faire voir.

Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que le nombre des variables x,y, z, ... soit égal à 3. Les équations (10) deviendront

( {Axx—s)a:-hAa:yf-^Axz^ = o,

(43) <^ \a:yX^ {Ayy--s)y -i- Ay.-. = o, Axz-^ -^ Ayzy + (A;; — 5)^ — 0;

ON DÉTERMINE LES INEGALITES SECULAIRES ETC. 183 et l'on tirera des deux dernières

les valeurs de V^x ou R, P^^,, ^^z et S étant respectivement

(45) R = V,,-={kyy~S) (A,= - S) - A^„

( -rjry Aj.y(A;;- 5) Aj^; Ay;,

\yy •■> ; /\xy •'*}'.

( S=(Ax^— 5)(Ayy— 5)(A;,— 5)

( — A;^.-(A^^-.V) - kl-S^yy— s) -~ kly{k..— s) -f-2AxyAxîAy2.

Cela posé, on aura identiquement

j (Axx-.OH-AxyIV-A,,P,,=:S,

( 48 ) Axy R ~ ( Ayy - s ) P^y - Ay, 1^, = O,

! Ax.R-Ay,lV-(A,,-.v)P,, = o;

et, si l'on prend pour s une quelconque des racines de l'équation (lic)), les formules (4B) donneront

/ A;rrPxr+A^=P^= = — S,

(49) < (Ayy— 5)P^y+ AyjPx;— o,

' ky.V ^y+ {K-.— S)\* X- — 0.

Enfin, si l'on combine la première des formules (49) avec la troisième, on en tirera

^ ^ ^'~. Axy(A,,-.)-A..Ay,-' P.y '

OU, ce qui revient au même,

QS^-Ply,

la valeur de Q étant

Donc, à chacune des racines de l'équation (7) correspondront des

18i SUR L'ÉQUATION A L'AIDE DE LAQUELLE

valeurs de Q et de S propres à vérifier la formule (42) et, par conséquent, affectées de signes contraires. En résumé, les valeurs des polynômes

i (A^:r--V)(Aj-y-5)(A,;-.0

correspondantes à l'une quelconque des racines de l'équation

(54) (Ayy— 5)(A-- — .0 — Aç.=ro-,

seront affectées, si elles ne s'évanouissent ni l'une ni l'autre, de signes différents.

Soient maintenant s', s" les deux racines réelles de l'équation (^4). rangées dans leur ordre de grandeur, en sorte qu'on ait

Ces racines, qui sont toutes deux réelles, puisqu'elles se réduisent aux deux valeurs de s données par la formule

,56) - „=A,^=^^(A^^=)Va=,,

vérifieront la condition

(57) S'-hS"=Ayy-i- Azz,

de laquelle on tirera, en ayant égard à l'équation (54),

OU, ce qui revient au même,

Donc les deux valeurs du binôme A^^ — s, correspondantes aux deux racines de l'équation (54), seront aff'ectées de signes différents, si

ON DÉTERMINE LES INÉGALITÉS SÉCULAIHES ETC. 18o

aucune d'elles ne s'évanouit; et, par suite, la racine unique A,^ de l'équation

sera renfermée entre les deux racines de l'équation (54) ou (29) R = o,

à moins qu'elle ne se réduise à l'une d'entre elles. Donc, attendu que la condition (5-^) entraîne la suivante

(61) Azz-S'>\zz—S'',

on aura

(62) A;;— 5'=0 et A;;— ^"=0.

Cela posé, soient S', S" les deux valeurs du polynôme (53) ou de S correspondantes aux valeurs s', s" de la variable s. Si aucune des deux racines s', s" ne vérifie l'équation (Go) ou l'équation (■;), S' sera une quantité affectée d'un signe contraire à celui de A..— s', et S "une quantité affectée d'un signe contraire à celui de A^, — s". On aura donc

D'autre part, le polynôme (53) ou S se réduit pour 5 = — œ à l'infini positif, et pour ^ = oo à l'infini négatif. Donc, si dans ce polynôme on substitue successivement, au lieu de s, les quatre valeurs

( 6/j ) s z= — oc, 5 = 5', .y = s", s = oc,

les résultats des substitutions seront généralement affectés des signes

et, par conséquent, l'équation (7) ou

(Axx— s) {\yy— s) {\zz~S)

OF.iti'rrs deC— S.\\,t.l\. ^4

admettra trois racines réelles, savoir une racine inférieure à s', une autre comprise entre les limites s', s", et une troisième supérieure à s". Supposons maintenant que la fonction (i) renferme quatre variables X, y, z, II. Dans ce cas, la fonction S sera déterminée par la formule (i4)» et les fonctions R, Q par les deux suivantes :

{K={kyy—S){K.,~S){k„a—S)

i — A|„ ( Ayy —s)— A^.„ ( A-; —s)— AJ-, ( A„„ — 5) h- 2 Ay- \yn A,„,

D'ailleurs, les fonctions (G7) et (68) étant semblables, la première à la fonction (53), la seconde à la fonction (45), on prouvera, en raisonnant comme dans le cas précédent, que l'équation R = o a généralement trois racines réelles, dont l'une est comprise entre les valeurs réelles de s propres à vérifier l'équation du second degré

(69) (A,,-5)(A„„-.0-AL=o,

tandis que les deux autres racines sont l'une inférieure et l'autre supérieure aux valeurs dont il s'agit. Cela posé, soient s\ s", s'" les trois racines de l'équation

\ i^yy~s){A..— s){A„„—s)

i - AlAKr- ^) - A^„( A,,- ^) - A^,( A„„ - ^) -f- 2 A^, A^,, A,„= o,

rangées par ordre de grandeur, et désignons par

les valeurs de Q et de S correspondantes à ces mêmes racines. Q sera une quantité affectée du même signe que la valeur de Q correspondante à 5 = — 00, c'est-à-dire une quantité positive, et l'on aura, par suite,

Donc, en ayant égard à la formule (42), on trouvera généralement

ON DETERMINE LES INEGALITES SECLLAIIIES ETC. 187

D'autre part, le polynôme (i4) se réduit, pour ^ = — oc, ainsi que pour s = x, à l'infini positif. Donc, si dans ce polynôme on substitue successivement, au lieu de s, les cinq valeurs

( -3 ) i zzi— ce, S =: s', S = s", S = S'^, S =l GO,

les résultats des substitutions seront généralement affectés des signes

Donc l'équation (7), dans le cas dont il s'agit, admettra quatre racines réelles respectivement comprises entre les limites

Les mêmes raisonnements, successivement étendus au cas où la fonction s renfermerait cinq, six, ... variables, fourniront évidemment la proposition suivante :

Théorème I. — Quel que soit le nombre n des variables x^ y, z, . . . , r équation

et les équations de même forme

(76) R=o, Qr=o,

auront toutes leu/'s racines réelles. Déplus, si l'on nomme

(77) ^•', A A •••, ''"-'' les racines de l'équation

rangées par ordre de grandeur, les racines réelles de i équation (']) seront respectivement comprises entre les limites

(78) —00, s', s", s", ..,, 5(«-»), oc.

D'après ce qui a été dit ci-dessus, il ne peut rester de doutes sur l'exactitude du théorème I, si ce n'est dans le cas où quelques valeurs de s vérifieraient à la fois deux des équations

prises consécutivement. Observons d'ailleurs que, si l'on nomme

les valeurs du polynôme S correspondantes aux racines s\ s", s'", s-"~*' de l'équation (29), et

K = S'S"...Sî«-''

le produit de toutes ces valeurs, K sera une fonction symétrique des racines /, s", s'", ..., s'"~''>, qui pourra être transformée en une fonction entière des coefficients A^^, A^^ , A^^, . . . , A^,., A^^, . . . , A,^, . . . , et s'évanouira toutes les fois que les équations (7) et (29) auront des racines communes.

Il est facile de vérifier le théorème I dans le cas où les quantités A^^, \j,y, A^2, . . . , \yy, Aj,, . . . , Ajj., . . . s'évanouissent toutes à l'exception de celles qui, dans le second membre de la formule (8), sont multipliées par la variable x ou par le carré de l'une des variables x, y, z, Alors, en effet, l'équation (29), réduite ii

aura pour racines A,.^., A^^, A„„, Donc, si, pour fixer les idées, on

suppose

on pourra prendre

D'un autre côté, comme, dans l'iiypothèse admise, le Tableau (11) se réduira au suivant

f Axa, O,

As;~^, O,

on aura évidemment

ls = (A^^-.)(A,,-.)(A,„.-.)...(A.,-5-^^^--^^---^^^

^^■'^ ' ^{^X.-S){\yy~S){k,,^S){k,,,-S)...

-Ky{^zz-s){kun-s)...-kl,{kyy-~s){Ku.-s)...-klMyy-s){^zz-s).

puis on en conclura, en désignant par S', S", S"', ... les valeurs de S correspondantes aux valeurs s' = ky , s"=k^^, /'= A«„ de la variable .v,

Enfin, il est clair que S se réduira, pour ^ = — ce, à l'infini positif, et pour ^ = 00, à (— i)". Donc, si dans le polynôme S on substitue successivement, au lieu de s, les /^ + i valeurs

(87) -œ, s'=\yy, s"=A,„ s'"^A,u, ..., 4-00,

les résultats des substitutions seront alternativement positifs et négatifs. Donc l'équation (7) offrira, dans l'hypothèse admise, n racines réelles qui, prises consécutivement et deux à deux, renfermeront entre elles les racines de l'équation (29).

Dans le cas que nous venons de considérer, les quantités S', S", S'", ... ne s'évanouiront jamais et, par conséquent, une même valeur de s ne pourra vérifier simultanément les équations (7) et (81), à moins que l'un des coefficients A^.^., A^^^, A^«, ... ne se réduise à zéro. Donc la fonction entière de ces coefficients, désignée par K et déterminée par l'équation (80), offrira ordinairement, dans le cas dont il s'agit, une valeur distincte de zéro. Il en serait de même, à plus forte raison, si aucun des coefficients A^^^, Aj.^., A^^., ..., A^^,, A^^, ..., A;., ... ne s'évanouissait. En résumé, la quantité K ne peut être identiquement nulle, et vérifier l'équation

quelles que soient les valeurs attribuées aux coefTicients A^.^, A^^, A A A A

Il est maintenant facile d'étendre le théorème I au cas où quelques valeurs de la variable s vérifieraient à la fois deux des équations (36) prises consécutivement. Admettons, pour fixer les idées, que, parmi ces équations, les deux premières, savoir S = o, R=:o, soient les seules qui offrent des racines communes. La condition (88) sera remplie; mais elle cessera de l'être généralement si l'on attribue à l'un des coefficients renfermés dans la fonction K un accroissement infiniment petit £. Soient AS, AR les accroissements correspondants des fonctions S et R. Les équations

(89) S + AS = o,

(90) R + AR=:o

n'offriront pas de racines communes, et les racines de la dernière, rangées par ordre de grandeur, seront de la forme

(91) s'-\-As', s"-{-As", s"'-hAs"', ..., 5(«-')+ A.v(«-i),

As', As", As'", . . ., A^'""^^ désignant des quantités infiniment petites qui s'évanouiront avec i. D'ailleurs, on conclura du théorème I que l'équation (89) admet n racines réelles, respectivement comprises entre les limites

(92) —oc, s'+As', s"+As", s'"-]- As'", ..., .ç(«-i'-+- A^f"-", gc;

et cette conclusion subsistera pour des valeurs de £ aussi rapprochées de zéro qu'on le jugera convenable. Donc elle subsistera encore pour £ = 0, c'est-à-dire que les n racines de l'équation (7) seront réelles, et renfermées entre les limites (78). Seulement, dans le cas particulier dont il s'agit, quelques-unes des racines de l'équation (7) pourront se réduire à quelques-unes des quantités s', s", s'", . . ., s^"'''\ qui généralement leur servent de limites.

On pourrait raisonner de la même manière, quelles que fussent, parmi les équations (36), celles qui, prises consécutivement, offri-

raient des racines communes; car cela ne peut arriver que dans le cas où les coefficients A^^, A^.^., A^^j, ...; A^^, A^.^, ...; A,^, ... vérifienl une ou plusieurs des conditions

L, M, ... désignant les polynômes dans lesquels se transforme K, lorsque, du système des variables x, r, 5, . . ., on retranche la variable X, ou les deux variables x, y, ou les trois variables x, y, :;, etc. Or, pour que les conditions (93) cessent d'être vérifiées, il suffira d'attribuer à un ou à plusieurs des coefficients qu'elles renferment des

accroissements infiniment petits £, z! , £", Soient AR, AS, AQ, ...

les accroissements correspondants et infiniment petits des fonctions S, R, Q, .... Le théorème I subsistera pour les équations

(94) S + AS = o et

(95) R-hAR = o, 0-i-AQ=.o,

tandis que s, z', £", ... s'approcheront indéfiniment de zéro; et, par conséquent, il continuera de subsister pour les équations (7) et (7G), au moment où £, £', t", ... s'évanouiront. Seulement alors deux des équations (36), prises consécutivement, pourront avoir des racines communes.

Si, comme on l'a déjà fait, on nomme

(10) ,Ç,, S-i, ^3, ..., *rt-t» s,i

les racines de l'équation (7), et si on les suppose rangées par ordre de grandeur, deux de ces racines, prises consécutivement, par exemple •^OT<'t ^,„+,, ne pourront devenir égales entre elles sans coïncider avec la racine s'"''^ de l'équation R = o ou P^j.= o. Donc, si l'équation (7) admet des racines égales, chacune d'elles vérifiera encore la formule Pj.^=z: o que l'on obtient à la place de l'équation (7), lorsque du système des variables x,y,z, . .. on retranche la variable ic. Pareillement,

chacune des racines égales vérifiera les formules

Pz.^O,

que l'on obtient en retranchant du système ce, y, z, . .. la variable j, ou la variable z, etc. En général, si deux, trois, quatre, etc. racines de l'équation (7) deviennent égales entre elles, chacune de ces racines fournira évidemment une valeur de s propre à vérifier, non seulement l'équation (7), mais encore toutes celles qu'on en déduit, lorsque du système x, y, z, ... on retranche une, deux, trois, etc. variables arbitrairement choisies. Alors aussi les coefficients A^^, A^.^., A^^, . . .; A, y» A^^, . . .; A,,, . . . satisferont à une ou à plusieurs des conditions (9'3). Mais ces conditions cesseront d'être vérifiées et, par conséquent, les racines de l'équation (7) deviendront toutes inégales, si l'on attribue aux coefficients renfermés dans les premiers membres des formules (93) des accroissements infiniment petits. Soient encore

(16) X,, ji, ^1,

des systèmes de valeurs de x, y, z, . . . correspondants aux valeurs s,, s.,, ..., Sn de la variable s, et choisis de manière à vérifier les formules (3) et (10), en sorte qu'on ait

^1) J, -h AyzZi-h...= 0

(' [Axjc — S^jJC^ -

l'a + Ax.:-2 -h. . . = 0

•^2)72 -+- Ay:Z^ +. . .:

AxZ-J^i -h AyzVi -f- (A;;

\Axx -^n) ^n "^ AxyJ n + A^; Z^-\- . . . — O AxyXn-^ (Ayy— ^/i)/" + A^z^n-^ • • . = 0 Axz^,i+ Ayzyn+ (A;: — 5„)-S„H-. . . =: O

et, do plus,

/ a;l-hyi + zl + ...= i,

\ a:l-hy:,-]-z.l-h... = i,

Si la fonction de A.r^, A^^, A^.;, ...; A^.^, A,;, ...; A-., ..., ci-dessus désignée par K, ne se réduit pas à zéro, des racines de l'équation (7) ne pourront être, ni égales entre elles, ni propres à vérifier l'équation (29); et les quantités (iG), ainsi que nous l'avons fait voir, se trouveront, aux signes près, complètement déterminées par les formules (28). Ajoutons que ces quantités satisferont à toutes les équations comprises dans le Tableau (22). Cela posé, si, en désignant par

(le nouvelles variables dont le nombre soit /i, on attribue à oc, y, z, . .. les valeurs que déterminent les formules

/ a^ =1 jTiç -h ■Xifi -Jr a-^^ -h . . ., ) Z — :;, ^ -r- ^2-^/ + -3 C + • • • .

on aura, en vertu des équations (22),

( 99 ) ^ 2 + y 2 + c - 4- . . . --^ ; - 4- Ti '- + C ^ + . . . ;

puis, en verlu des équations (96), respectivement multipliées par;, • les autres par r^, les autres par 'Ç, . . . , et ajoutées entre elles,

) Aj;j,^ + A^^j +Aj,;- -h. . . = .ç,}-iï + 52 72^1-1- 5373Ç +•• •. i \xz^ + A^.; y 4- A;; --+-... — 5, x;, i -i- ^2 ^î'n 4- 5, CjC h- • • • , \

JMitin, en ayant égard aux formules (22), on lirera : 1° des formules (98) respectivement multipliées par a?,, v,, r,, ..., ou par iTa»

OEuvrcs de C. — S.W, l.W. 20

19i SUH L'ÉQUAÏION A L'AIDE DE LAQUELLE

>',, -2» •••> OU para?.,, J3, ^3, ..., et ajoutées entre elles.

(lOl)

2«(les équations (100) respectivement multipliées pour ^,7, z, ..., et ajoutées entre elles,

i ^ar.r^-+A3.^j2^ A;;52^... 4-2 A^j..277-f 2Aa:->r5 -4-... 4- 2Aj.- >-:;+... (102) < -^ "^

il suffira donc généralement de lier les variables x, y, z, ... aux variables L 7], L, . . . par les formules (98), pour que les équations (99) et (102) soient simultanément vérifiées. Cette remarque entraîne évidemment la proposition suivante, que j'ai donnée dans le dernier Volume des Mémoires de V Académie des Sciences ( *).

Théorème IL — Étant donnée une fonction homogène et du second degré de plusieurs variables x, y, z, ..., on peut toujours leur substituer d'autres variables ^, 7], 'Ç ... liées à x, y, z, ... par des équatiojis linéaires tellement choisies que la somme des carrés de x,y, z, ... soit équivalente à la somme des carrés del,'(\X, - • • , et que la fonction donnée de X, y, z, ... se transforme en une fonction del, r^/Ç, ... homogène et du second degré, mais qui renferme seulement les carrés de ^, y], '(,

La démonstration du théorème II, ci-dessus indiquée, suppose à la vérité que, dans la fonction donnée, les coefficients

^XXI Aj..y, A^,-;, ...; A y-y, Ay-, ...; A;;, ,,.

ne satisfont pas à la condition (88). Mais, si cette condition était vérifiée, il suffirait, pour qu'elle cessât de l'être, d'attribuer à Tun des coefficients dont il s'agit un accroissement infiniment petit £; ef, comme on pourrait faire converger £ vers la limite zéro, sans que le

(1) OEuvres de Cauchy, S. I, T. II.

théorème II cessât de subsister, il est clair qu'il subsisterait encore au moment où £ s'évanouirait.

Dans le cas particulier où les variables x, y, z sont au nombre de trois seulement, l'équation (7) se réduit à celle qui se représente dans diverses questions de Géométrie et de Mécanique, par exemple, dans la théorie des moments d'inertie; et le théorème I fournit les règles que j'ai données dans le IIP Volume des Exercices (') comme propres à déterminer les limites des racines de cette équation. Alors aussi les équations (22) sont semblables à celles qui existent entre les cosinus des angles que forment trois axes rectangulaires quelconques avec les axes coordonnés, supposés eux-mêmes rectangulaires, et le théorème II correspond à une proposition de Géométrie, savoir que, par le centre d'une surface du second degré, on peut mener trois plans perpendiculaires l'un à l'autre, et dont chacun la divise en deux parties symétriques.

J'observerai, en terminant cet article, que, au moment où je n'en avais encore écrit qu'une partie, M. Sturm m'a dit être parvenu à démontrer fort simplement les théorèmes I et II. 11 se propose de publier incessamment le Mémoire qu'il a composé à ce sujet, et qui a été offert à l'Académie des Sciences le même jour que le présent article.

(') UEuvres de Caucliy, S. II, T. VIII, p. io3 et suis.

SUR LA

Soit f{z) une fonction qui s'évanouisse, lorsqu'on attribue à la variable z (les valeurs infinies réelles ou imaginaires. On pourra, dans un grand nombre de cas, déterminer le résidu intégral

ou plutôt la valeur principale de ce résidu, à l'aide des théorèmes I, il, III, IV des pages 255, 258, 274 et 27G du IP Volume ('). Toutefois, les démonstrations que nous avons données de ces théorèmes supposent implicitement que, parmi les racines de l'équation

('> .7rô = '''

celles dont les modules ne surpassent pas un nombre donné R sont en nombre fini [voirXa^ pages 247 et 248 du II' Volume (-)l. Or cette condition n'est pas toujours satisfïiite, et il peut arriver, par exemple, (fue l'équation (2) offre une infinité de racines très peu différentes de zéro. Nous allons maintenant nous occuper d'étendre les théorèmes cidessus mentionnés au cas dont il s'agit.

Concevons que l'équation (2) offre, non seulement une infinité de

(1) OEuvres de Cauchy, S. II, T. VII, p. 3o'2, 3oj, 3-20, 3>.2.

(2) ïhid., p. -294, 295.

SUR L\ DÉTERMINATION DU RÉSIDU INTÉGRAL ETC. 197 racines dont 1rs inodnles soient très considérables, mais encore une infinité de racines dont les modules soient très petits. Supposons d'ailleurs que, en attribuant au module r de la variable

(3) z = r{ç,o<,p + \'—i ?>mp) des valeurs infiniment petites

(4) P» pi» p2' •••'

on puisse les clioisir de manière que le produit

devienne sensiblement égal à zéro, quel que soit d'ailleurs l'angle /;, ou du moins de manière que ce produit reste toujours fini ou infiniment petit, et ne cesse d'être infiniment petit, en demeurant fini, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de p. La somme des résidus de /(:;) correspondants ii celles des racines de l'équation (2) qui offriront des modules renfermés entre deux nombres finis r„, R se trouvera représentée par la notation

(R) (Tl)

et pourra converger vers une limite déterminée, tandis que ces deux nombres s'approcberont sans cesse, le premier de zéro, le second de l'infini positif. Or cette limite sera, dans l'bypotlièse admise, ce que nous appellerons la valeur principale du résidu intégral ^^{{f {'■)))■ D'autre part, la formule (G'i) de la page 212 du 1«" Volume (') donnera

(7) '"'<:'" ((/(^-))) - ~ /"'ReW-/(Re/n~)rfy. -L f r,eH-f(r,eP.^^)r/p

Si, dans cette dernière équation, on prend successivement pour /„ les différents termes de la série (4), l'intégrale

(8) f r,e"^~f(r,e"\/~^)dp

(') OEwres de Camhv, S. Il, T. Vl, p. 26'».

198 SUR LA I)ÉÏEHMlNATI(3x\ DU RÉSIDU INTÉGRAL

convergera évidemment vers une limite nulle, et l'expression (G) vers une limite correspondante, déterminée par la formule

(9) ""^Î;."" iifi-)))=:^- f Re'/'v^/(Re/'v^')^/^

qui est semblable à l'équation (iG) de la page 2^9 du IF Volume (*). Cela posé, il ne restera plus qu'à faire converger R vers la limite ce pour obtenir, dans l'hypothèse admise, le théorème I de la page 2x5 du IF' Volume (2).

Supposons maintenant

c») /(=) = ^, + Tài+---^^'+-(--),

et admettons que, en attribuant au module r de la variable z les valeurs infiniment petites

(^) P, pi, p2, ••■,

on puisse les choisir de manière que le produit

(II) ^-r^iz) ■

devienne sensiblement égal à zéro, quel que soit d'ailleurs le rapport j, ou du moins de manière que le produit reste toujours fini ou infiniment petit, et ne cesse d'être infiniment petit, en demeurant fini, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières du rapport -• Alors, au lieu de la formule (9), on obtiendra la suivante

puis, en substituant à la fonction nj(^) sa valeur tirée de l'équation (10), et raisonnant comme on l'a fait à la page 230 du IP Volume (^), on retrouvera encore la formule (9) et le théorème ci-dessus

(1) OEiwres de Cauchy , S. II, T. VII, p. 296.

(2) Ih'id., p. 3o2.

(3) Ihid., p. 297.

mentionné. Seulement le résidu de /(^), relatif à :: = o, devra être eonsidéré comme faisant partie de la somme désignée par la notation ^((/{^)))f et comme équivalent à la constante A;„„,, dans le cas même où la fonction tj(z) deviendrait infinie pour une valeur nulle de z. Par conséquent, dans l'hypothèse admise, il faudra, pour ohtenir la valeur principale du résidu intégral ^((/(^■)))j ajouter la constante A„,, à la limite vers laquelle convergera l'expression (G), tandis que les nombres /'o, R s'approcheront indéfiniment, le premier de zéro, le second de l'infini positif.

On étendrait avec la même facilité les théorèmes II, III, IV des pages 9.jS, 274 et 27G du 11^ Volume (') au cas où, la fonction /(z ) étant déterminée par la formule (10), le produit zry(z) remplit, pour des valeurs infiniment petites de la variable z, les conditions précédemment énoncées.

Pour vérifier sur une valeur particulière de la fonction /(z) les remarques que l'on vient de faire, supposons

. sin -

cos -

a et h désignant deux constantes. L'équation (2) aura pour racines le> valeurs de z comprises dans les deux séries

(■4) ±ï^v-.. ±^„\'-'' ^^rJ^'' ■■■•

De plus, le produit (j), ou

(16) zf{z)

deviendra infiniment petit : i** pour les valeurs infiniment grandes

(') OEui'res de Cauc/iy, S. Il, T. VU, p. 3oj, 3io, 322.

(,UZ

— çUZ

cos-

•200 SUR LA DETERMINATION DU RESIDU INTEdRAL

(le z-, dont les modules différeront sensiblement de ceux des expressions (i4); 2° pour des valeurs infiniment petites de z-, choisies de manière que les modules correspondants de - diffèrent sensiblement de ceux des expressions (ij). Cela posé, il suit de ce qu'on a dit plus liant que le théorème I de la page 255 ou plutôt le théorème II de la page 258 du IP Volume (') subsistera pour la fonction (i3). On aura donc

(■7) <i'( Je^^--7. 11 = °'

\ \ ^os -

pourvu que l'on considère le résidu intégral

- ga- , g-

comme représentant la limite vers laquelle converge l'expression

cos - /

tandis que les nombres r^, R s'approchent, le premier de zéro, le second de l'infini positif. Il est d'ailleurs facile de constater l'exactitude de la formule (17); car on a

Slll -

- gaz __ g

O -(e«- 4- e-"-) // h\\ t.\1!!!l -tlli 3 ^

et, en combinant entre elles par voie d'addition les deux équations qui précèdent, on reproduit évidemment la formule (i 7).

(') OKiwves de Cauclij , S. 11, T. Vil, p. "ioi et 3o5.

Supposons maintenant

Le produit

„. sni -