QR

et, comme l'équation (227) devra subsister encore après un échange opéré entre les axes des j et :;, on aura nécessairement

r-Ra2 (M- ^ 16^-Pc

Cette dernière formule, jointe à l'équation (10) du § I, sutfirait à la détermination générale des valeurs de .1,, Db, 3 correspondantes aux valeurs de s"" qui vérifient la formule (i36). Mais, si l'on suppose remplies les conditions (i5G), (160), (164), alors, en considérant les différences (196) comme infiniment petites du premier ordre, el négligeant les infiniment petits du second ordre, on tirera des for-

imîlcs (2o3)

c'('st-à-(lipo, à très peu près, ,

tOR i ï^ - -p- = Q + R - 1'.

\ On trouvera pareillement

Cela posé, la formule (228) deviendra

D'ailleurs, si l'on nomme s"-, s"- les deux valeurs de .9- (|ni véritienl l'équalion (174)» 0» '^m'^i évidemment

(23l) .ç'='+5"-rr=P(Z>2+c2) + Q(c2+a^) + l{(a2+^2),

Donc, la formule (23o) donnera

et

.V, ift)', s' étant les valeurs des cosinus x, ail, G pour s = s', et =1", ail", G" les valeurs des mêmes cosinus pour s = s".

Si, en considérant un système qui offre trois axes d'élasticité reetan-

giilaircs, on ne supposait pas les pressions nulles dans l'état naluil'l, il faudrait aux valeurs de s^, que détermine la formule (i3G), ajouter le polynôme (72). Alors, en admettant que les conditions (i56), (iGo), (164), (172) fussent remplies, on obtiendrait, à la place des équa- (ions (173), (174)» les deux formules

, (,v-— Ga-— II^>'^— Ic^)^ (235) ) -[(Q + U)a2+(R+P)Z>- + (P+Q)c2](.v2-Ga2-II/>2 lc2)

■1! ) 1 l-U II'.../ H ! irir l> !•■ t ^ ■

dont la dernière peut è*é'criï'e'àihsr(^\i*îl suit

i [,■>__ (Q + Il + aG)^^-H (R + P + 9Jl)b^^(ï' + Q + 2l)6n 2

i ( 0 - R )2 a*-\- ( R — Vr- h'* -^ (P - Q)'- r* + 2 (P — Q) (P -~\\)lAc^-\-i{Q — K)(Q — V)c-ia''-¥-i{\\-V){\\~-(^)(r^l)-'

et l'une des trois nappes de la surface des ondes coïnciderait avec l'ellipsoïde représenté, non par l'équation (175), mais par la suivante

Alors aussi, en supposant remplies les conditions (i56), (160), (164), regardant d'ailleurs les différences (19G) comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, on déduirait des formules (58), (236) une équation propre à représenter les deux autres nappes de la surface des ondes, et, pour obtenir cette équation analogue à la formule (212), il sulfirait d'éliminer x, y, z entre les formules

r- 'Q -^ R + aG)x^-f- (R + P+ 2H)y2+ (P+ Q -i- 2l)zn ^

i (Q-R)^x''-i-(R — P)^y^-^(P — 0)ly>-t-2(P — Q)(P — R)y*y.s+9-(Q — R)(Q-P)z^x^+2(R — P)(R — Q)x^y2

^^^^^ "=U-i-R + 2G-^' i'^ÏT^^lMT^l-^' '-^ÎM-gi: Tr-

A LA THÉOIUE DE LA LUMIÈllE. Uo

Par conséquent, l'équation dont il s'agit serait

('^-«")' ^ (Q + K -4- 2(i )-^ "^ (Il + P -h 'iH j^ "^ (P + Q 4- 2ir /

1 ( + (K + p + 2iï7rP + Q + 2l)-^"^(P + Q + 2l)nQ + R+^^)' (Q + R + '-^G)MR + P + 2Hf

Quant aux déplacements absolus des molécules dans les ondes planes, ils se mesureraient toujours suivant des droites parallèles à celles que représente l'équation (220), quand on y substitue successivement les valeurs des cosinus x, Db, G tirées des formules (223) et (228) ou (23o),

Nous remarquerons, en terminant ce paragraphe, que, si l'on suppose

on tirera des formules (7), (8) du § I

Or, des formules (242), (248), jointes à l'équation (10), il résulte que, pour les trois systèmes d'ondes planes renfermées entre des plans perpendiculaires à Taxe des ce, les vitesses de propagation se réduisent aux trois valeurs positives de s déterminées par la formule

( (L + a-;52)(RH-a-52)(0+a-5^) ^^^^^ / -UML + :?l-52)-VnR^-'2l-A-^)-W^(0+.^-5'-)H-2UVVV=.o.

Pareillement, pour les trois systèmes d'ondes planes renfermées entre des plans perpendiculaires à l'axe des y ou à l'axe des z, les vitesses de propagation se réduisent aux trois valeurs positives de s déterminées par la formule

(R H- 0 - ^^) (M -h fl - S-) ( P 4- i? - 5'^)

ou par la suivante :

Dans le cas où le système de molécules que l'on considère offre trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux et respectivement parallèles aux axes des x,y, z, les coefficients

s'évanouissent, et en écrivant G, H, I au lieu de 51, H, C, on tire des formules (244), (245), (24G)

(248) (R + II-5^)(M + H-i-^)(P +II-52)-o,

(249) (Q+I -s^){P +1 -5'-)(N + I -s'-)=zo.

Donc alors les vitesses de propagation sont respectivement : i" pour les trois systèmes d'ondes planes renfermées entre des plans perpendiculaires à l'axe des œ,

(250) ^L+^G, v/R + G, v/Q~-rG;

2" pour les trois systèmes d'ondes planes renfermées entre des plans perpendiculaires à l'axe des j,

(25i) v^ir+H, v^M+^H, v/ÏM^H;

3° pour les trois systèmes d'ondes planes renfermées entre des plans perpendiculaires à l'axe des z,

(252) \/'Q~+i, v/P + Ii \/N+l.

Parmi les neuf vitesses que nous venons de calculer, une seule contient dans son expression la lettre L ou M ou N. Au contraire, deux de ces vitesses renferment l'un quelconque des coefficients P, Q, R; et, si l'on veut que ces deux vitesses deviennent toujours égales entre elles, il faudra nécessairement supposer

§ IIL — Application des principes établis dans les paragraphes précédents à la théorie de la lumière.

Plusieurs illustres géomètres ou physiciens, parmi lesquels on doit distinguer Huygens, Euler, Young et Fresnel, ont supposé la sensation de la lumière produite par les vibrations des molécules d'un fluide impondérable qu'ils ont désigné sous le nom A'éther ou deJ7im/c éthéré. Nous adopterons cette hypothèse, et nous supposerons de plus ({ue les molécules de l'éther sont sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Cette nouvelle supposition nous fournira le moyen d'assigner les lois suivant lesquelles la lumière se propage dans l'espace ou dans un milieu transparent. En effet, soient

in la molécule d'éther qui coïncide, au bout du temps /, avec le point

r le rayon vecteur mené primitivement de la molécule m à une autre

molécule m; a, 3, Y les angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des

coordonnées positives; ç, -f], "Ç les déplacements de la molécule m mesurés parallèlement aux

axes rectangulaires des -x^, y, ^.

Admettons d'ailleurs : i° que l'état primitif du fluide éthéré soit un état d'équilibre dans lequel les molécules soient uniquement soumises aux actions qu'elles exercent l'une sur l'autre; 2" que, dans cet état d'équilibre, l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux molécules m, m soit représentée par le produit

mm ({r),

et devienne insensible pour des valeurs sensibles de /•; 3° que, dans une première approximation, l'on néglige non seulement les produits, les carrés et les puissances supérieures de i, y], "Ç et de leurs dérivées prises par rapport aux variables indépendantes x, -, y, t, mais encore tous les termes qui s'évanouiraient, si, dans l'état naturel du flui(h'

éthéré, les masses m, m', m", . . . des diverses molécules étaient deux à deux égales entre elles et distribuées symétriquement de part et d'autre du point {x, y, z) sur des droites menées par ce point. Les équations différentielles du mouvement de la lumière se réduiront à celles qui sont inscrites, sous le n° 11, à la page i66. Cela posé, concevons que les déplacements et les vitesses des molécules éthérées soient nulles au premier instant pour tous les points situés hors d'une couche plane très mince, dont l'épaisseur ii est divisée en deux parties égales par un certain plan G G' G", et restent les mêmes pour tous les points de la couche qui se trouvent situés k la même distance de ce plan. En vertu du théorème F*" (§ F""), la propagation du mouvement de chaque côté du plan GG'G" donnera généralement naissance à trois ondes lumineuses renfermées entre des plans parallèles. Chacune de ces ondes offrira une épaisseur égale à ii. De plus, les vitesses de propagation des trois ondes, mesurées suivant une perpendiculaire au j)ian GG'G", seront constantes, et respectivement égales aux quantités qu'on obtient en divisant l'unité par les demi-axes de l'ellipsoïde que représente la formule (i6) du § F^ Enfin les déplacements absolus, ainsi que les vitesses absolues des molécules d'éther dans les trois ondes, se mesureront suivant trois directions respectivement parallèles aux trois axes de rellipsoïdc.

Considérons maintenant un grand nombre d'ondes planes, qui, au premier instant, se superposent dans le voisinage d'un certain point G, et qui soient renfermées entre des plans peu inclinés les uns sur les autres et sur le plan GG'G". Admettons d'ailleurs que les vibrations des molécules de l'éther, étant, dans ces diverses ondes, dirigées suivant des droites parallèles, soient assez petites pour rester insensibles dans chaque onde prise séparément, mais deviennent sensibles par la superposition ci-dessus mentionnée. Le temps venant à croître, l'une quelconque des ondes primitives se propagera dans l'espace, et se subdivisera, de chaque côté du plan qui divisait son épaisseur en parties égales, en trois ondes semblables, renfermées entre des plans parallèles, mais douées de vitesses de propagation différentes {voir la

A LA THÉOrilE DE LA LUMIÈRE. WJ

page 4o6). Par conséquent le système d'ondes planes, que l'on considérait au premier instant, se subdivisera en trois autres systèmes, et le point de rencontre des ondes qui feront partie d'un même système se déplacera suivant une certaine droite, avec une vitesse de propagation distincte de celles des ondes planes. Ce point de rencontre est celui dans lequel on suppose que la lumière peut être perçue par l'œil, et la série des positions que prend le même point, tandis que les ondes se déplacent, (constitue ce qu'on nomme un rayon lumineux. La vitesse de la lumière, mesurée dans le sens de ce rayon, doit être soigneusement distinguée non seulement de la vitesse de propagation des ondes planes, mais encore de la vitesse propre des molécules éthérées. Enfin l'on nomme rayons polarisés ceux qui correspondent à des ondes planes dans lesquelles les vibrations des molécules restent constamment parallèles à une droite donnée.

Pour plus de généralité, nous dirons que, dans un rayon lumineux, la lumière est polarisée parallèlement à une droite ou à un plan donné, lorsque les vibrations des molécules éthérées seront constamment parallèles à cette droite ou à ce plan; et nous appellerons /?^/i de polarisation le plan qui renfermera la direction du rayon lumineux et celle des vitesses propres des molécules éthérées.

(]ela posé, il résulte des principes ci-dessus établis que, en partant d'un point donné de l'espace, un rayon de lumière, dans lequel les vitesses propres des molécules ont des directions quelconques, se subdivisera généralement en trois rayons de lumière polarisée parallèlement aux trois axes d'un certain ellipsoïde. Mais chacun de ces rayons polarisés ne pourra plus être divisé par l'action du fluide éthéré dans lequel la lumière se propage. 11 y a plus, les trois rayons se réduiront à deux ou même à un seul, si les vibrations initiales des molécules de l'éther sont parallèles à l'un des plans principaux de l'ellipsoïde ou à l'un de ses axes, et dès lors il est facile de comprendre pourquoi les rayons polarisés ne se subdivisent pas ti Tintini.

Observons encore que le mode de polarisation dépend tout ii la fois de la constitution du fluide éthéré, c'est-k-dirc de la distribution de

OEittres lie C. - S. U, l. IX. 07

450 APPLICAÏJON DES FOEiMULES ETC.

ses molécules dans l'espace ou dans un corps transparent, et de la direction du plan 000" qui divisait primitivement l'épaisseur d'une onde en parties égales. En effet, les quantités ^, DK, m:, œ, ^, a, à l'aide desquelles on peut déterminer la grandeur et la direction des axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (iG) du § 1*"", dépendent en général, non seulement des valeurs que prennent dans un milieu donné les coefficients

3, 0, (C, D, (Ê, i; L, M, N, P, Q, R; U, V, VV, U', V, W, U", V", W;

[voir les équations (7) et (8) du § P'], mais encore des coefficients a, h, c, c'est-à-dire des cosinus des angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par la perpendiculaire au plan 00' 0".

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la surface représentée par l'équation (iG) du § l*"" était un ellipsoïde. Alors les vitesses de propagation des ondes planes, parallèles à un plan donné OO'O", sont toutes réelles et se confondent avec trois valeurs positives de s propres à vérifier l'équation (i5) (§ F'). Mais la distribution des molécules éthérées dans un corps pourrait être telle que les racines de l'équation (i5) (§ F'), et par suite les vitesses de propagation des ondes planes fussent imaginaires. Dans ce cas, l'ellipsoïde (iG) du § F'" disparaîtrait, et, la propagation des ondes planes ne pouvant plus s'effectuer, le corps proposé deviendrait ce qu'on nomme un corps opaque.

[Publication brusquement interrompue, à la suite des événements politiques de juillet i83o.]