Q + R 2 VO ^ \{J 2QR (O + R

à la t'ojmule

Q + U~2VQ ''H/ et qu'on aura de même, sans erreur sensible.

R + i> ~ 2 1 il ~^ P

A LA TIIËOHIE DE LA LUMIEUE.

Par suite la fonction

pourra ètro réduite à

(Q + R)^+(R + P)ifp+(P + Q)j-

Q2 1|2 I|2pï p2Q2

D'autre part, la fonction f(x, y, z) étant, ainsi que les différences (^190), infiniment petite du premier ordre, on pourra, dans celte fonction, substituer aux valeurs de x, y, z, déterminées par les formules (2()()j, d'autres valeurs qui n'en difTèrent qu'infiniment peu, par exem})le les suivantes :

QMl^

On aura donc encore, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

qnv \i^V' p^îQ-

(^ela posé, la formule (207) deviendra

11 il i i

Q2I|2 1^2 pV p2Q2

Ml^ K2 p2 P2Q2 /

e(, puisque l'équation (2o()) fournit les deux valeurs de s^ qui vérifient la formuh^ ('74)» il t?st clair que les deux nappes correspondantes de la surface des ondes pourront être représentées, non seulement par l'équation (217), mais aussi par celle qu'on déduit de la formule (17/i)»

en V écrivant / au lieu de s, et

R2pi

au lieu de a, b, c, c'est-à-dire par l'équation

I i''- (Q + H)(yj^+(H + P)ï^+(P + Q)p^

RP

PQ

ou

^ ( j--- + y^ -]- z-)(P X- 4- Oj-- + R s - )

— [ P ( Q + R ) .r^ 4- Q ( R -f - P ) J-' 4- R ( P + Q ) :; - ] /^ 4- PQ li / • - o.

Si Fou coupe successivement la surface à laquelle appartient l'équalion (2JC)) par les plans des rr^, des z.r, des xy, les sections ainsi obtenues seront, comme on devait s'y attendre, les trois cercles et les Irois ellipses représentés par les formules (157), (161), (ï(3:)) et(i:")8),

(;i(;2), (iGG).

Si, dans l'équation (219), on supposait P = Q, elle se décomposerait en deux autres, et ces deux dernières seraient précisément les formules (84), (85).

(Cherchons à présent les directions suivant lesquelles se mesurent les vitesses et les déplacements des molécules dans les trois systèmes d'ondes planes correspondants aux trois valeurs de s'- que détermine la formule (i3G). Chacune de ces directions sera parallèle à une droite représentée par une équation de la forme

les cosinus .1,, iil), £ étant déterminés par les formules (i4), (56) et (38) du § I, ou, ce qui revient au même, par les suivantes :

; (La-4-R/^-4- Qc"^ — i-^)c-l>4-2Ra^ii''' + 2Qca3=ro,

(221) < 2R<7Z;.^l) 4- (Ra2 4-M6-4-Pc-— 5-)i)i, 4- 2PZ>cS=:o,

( 2 Q ca vl, 4- 2 P 6c II!. 4- (C>«"4-P^^+Nc- — ^2)£ =0.

A LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE. Wl

Si les conditions (ijG), (iGo), (1G4) et (172) sont remplies, l'équation (i3G) pourra être remplacée, comme on l'a dit, par le système des équations (173), (174). Or, si l'on substitue, dans les formules (221), la valeur de s"" fournie par l'équation (173), elles donneront

/ Z;[2R«ill>-(M-R)^Ao] + c[2Qaa — (N-Q)c.l.] = o,

{■?.9.2) < c[2Pbe — (N -P)ciil,] + a[2R^;.l.-(L - R)ail!)] == o,

( a[2QcX-{L-Q)a^'\ + b[2Pc^\\^-{M-P)b^] = o,

et il est clair qu'on vérifiera celles-ci, en choisissant les cosinus -i, wi, Z de manière à vérifier les trois équations

iil, 2 P /> O 2Q c X 2R a

(223) e=W-Pc' ^.~T=^Qâ' Dl, "M-R^'

dont les deux premières, eu égard aux conditions (i5G), (iGo), (1G4), ([72), (17B), entraînent la troisième, ainsi que les trois suivantes :

Observons d'ailleurs que, en vertu des formules (181) et (182), les équations (223) et (224) pourront être réduites à

et que ces dernières s'accordent entre elles, eu égard à l'équation (193).

Lorsque, les conditions (i5G), (iGo), (1G4) étant remplies, les différences (19G) sont considérées comme infiniment petites du premier ordre, alors, en négligeant les quantités infiniment petites du troisième ordre, on obtient encore les équations (225). Alors aussi, les valeurs des exponentielles e^ e'-, e"- étant très voisines de l'unité, les valeurs de =.1,, Db, 8, que fournissent les équations (22j), diffèrent très peu de celles que détermine la formule

X ilî. s ^ v^* -h iiî)»-+- s* ^

OF.wres (ieC— S.\\,t.\\. 56

On doit en conclure que, dans riiypothëse admise, toute onde plane qui se propage avec une vitesse déterminée par l'équation (173) renferme des molécules dont les déplacements se mesurent suivant des droites sensiblement perpendiculaires au plan de l'onde.

Il reste à trouver les valeurs de a, dî,, g qui correspondent aux valeurs de s^ déterminées par la formule (174). Or, si l'on élimine z entre les deux premières des équations (221), on en conclura

<yv)

2 ac [ 2 RP ^2 - Q ( K a2 + M"è^ + P c^ - 52]]

ofc

2 /;c [ 2 0 R «2 - P (Ta' + R F-rQc2"=^ '

on, ce qui revient au même,