C.R., T. XVL, p. 954 (8 mai
Dans un Mémoire (voir Extrait n° 201) que renferme le Compte rendu de la séance du 6 février dernier, j'ai développé les formules qui servent à déterminer les pressions ou tensions intérieures, dans un seul système de points matériels sollicités par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, et j'ai ajouté qu'il était facile d'étendre ces formules au cas où l’on considère plusieurs semblables systèmes, superposés l’un à l’autre, c'est-à-dire, renfermés dans le même espace. C’est ce que je vais faire voir, en considérant spécialement le cas où deux systèmes de points matériels se trouvent superposés l'un à l'autre.
42h COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
S 1 — Æquilibre et mouvement de deux systèmes de points matériels, superposés l’un à l’autre. Pressions ou tensions mesurées dans ces deux systèmes.
Considérons deux systèmes de molécules que nous supposerons réduites à des points matériels et sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Soient, dans l’état d'équilibre,
æ, y, : les coordonnées rectangulaires d’une molécule w du premier système ou d’une molécule m, du second système ;
æ+x, y + y, : +2 les coordonnées d'une autre molécule » du premier système, ou d’une autre molécule 72, du second système ;
r le rayon vecteur mené de la molécule m ou m, à la molécule »2 ou »,, et liéà x, y, z par l'équation
(1) rx + y +2.
Soient encore
mar f(r) l'action mutuelle des molécules m, 7;
mn r f(r) l’action mutuelle des molécules m,, 72 ;
mr f(r) l'action exercée sur la molécule m par la molécule 72, ;
mr [(r) l’action exercée sur la molécule m, par la molécule 72; chacune des fonctions f(r), f(r), f(r), [(r) étant positive lorsque les molécules s’attirent, négative lorsqu'elles se repoussent;
ù la densité du premier système au point (æ, y, =);
», la densité du second système au même point;
mx, my, me les projections algébriques de la résultante des actions exercées sur la molécule m par les autres molécules;
mx, M7, M2, les projections algébriques de la résultante des actions exercées sur la molécule m,.
Enfin, soient
db, f, Ês $, %, ®, É:0,:€
les projections algébriques des pressions ou tensions supportées au
point (x, y, 3), du côté des coordonnées positives, par trois plans perpendiculaires aux axes des æ, des y et des 3. Les équations d'équilibre de la molécule m seront
(2) X = O0, Ps nee LES, les valeurs de X, 7, x étant
(3) X = S[mx f(r)]+ S[m,xf(r)],
et la somme qu'indique la lettre S s'étendant aux diverses molécules, distinctes de m, qui se trouvent comprises dans la sphère d'activité sensible de w. Pareillement les équations d'équilibre de la molécule in, seront
les valeurs de X,, 5,, &, étant
(5) X,=S[m,xf(r)]+S[mxf(r)],
LAS, AAC DE A, GC ee OR CR PE SUN DE NT OÙ Co NN EE VE Ne M VU
De plus, si chaque système de molécules est homogène, c’est-à-dire si les diverses molécules, offrant des masses égales, se trouvent distribuées à très peu près de la même manière autour de l’une quelconque d’entre elles, on aura sensiblement
A2 à SE x? f(r)] + 2 SEm,x? f(r)] (6) [+ %SEmx (+ 20m x fr),
| ® — =: S[m yz f(r)] + è S[m,yzf(r)] (7) | > | + 2S[m,y2f,(r)] + 2 SCm yz f(r)],
La nd 0 be EP 20 HAN M NC UN En EN EE ES GUN NS UT D © AU © Æ A"
OEuvres de C. — S.1, t. VII. 54
Supposons maintenant que le double système de molécules vienne à se mouvoir, et soient, au bout du temps £,
£, n, C les déplacements de la molécule m mesurés parallèlement aux axes des æ, des y et des z;
€, 1, les déplacements semblables de la molécule m, ;
£ + AË, n + An, (+ A les déplacements correspondants de la molécule 77;
£ + AË, n,+ An, ©, + A, les déplacements correspondants de la molécule 7n,; |
u la dilatation du volume, mesurée dans le premier système autour de la molécule m;
v la dilatation du volume, mesurée dans le second système autour de la molécule 1, ;
NX + #,5 + Ÿ, x: +3 ce que deviennent dans l’état de mouvement les forces accélératrices X, 7, &;
x + #,35+%, %,+8, ce que deviennent les forces accélératrices RONA PR
A+ A, w+B,2+C,œ+m,c+E, + $ ce que deviennent les
pressions L, 6, ©, ®, €, %
Enfin, concevons que, dans l'état de mouvement,
la distance r des molécules m, » devienne 7 + p,
la distance r des molécules m, m, . » r +6, la distance r des molécules m,, m, » T+P, la distance 7 des molécules m,, m » T+G,.
Les équations du mouvement de la molécule m seront, eu égard aux
formules (2),
(8) Dim DNA ITS
tandis que les équations du mouvement de la molécule m, seront, eu égard aux formules (4),
(9) Hi dns Pers. DL =,
EXTRAIT Ne 213. 427
et l’on aura, non seulement
(r+p}}= (x + AË Y°+ (y + An }?+ (z + AE }?,
Ur + (te Ù(r+
b)= (x + A+ (y + An,)'+ (2 + A6,)?,
SP—=(x—E+E + A6) +(y—n ++ An} + (z—6 +6, + AK), = (x —E,+E+AËE)+(y—n+n+An)+(z—6,+i+A},
mais encore
X + ZX = S[m(x+ AË) f(r+p)l+S[m,(x —E+E +AE)f(r +s)] X,+ 4, S[m,(x + AË,) f(r +p,)]+ S[m,(x—EË+E£+AE)f(r+s)], / + SE 1ù É Mn S[m (x+ AY f(r+p)l+ ro olm,(x— 6 +E,+AEPf(r+s)] { 4 | 1ù, ue Mise ; | à a A LS in CRE EAU + 6,)], ® + D — = SE (y + An) (2+ AE) fCr + p)] 1 ë Es SUm,(x — Ë HE + AE) (y —n+n,+ An,) f(r + s)] ET: ‘4 > Leu 0m, (y + An) (z + 4f,) f(x + p,)] + EE S[m (x —E,+E + AE) (y —n,+n+An)f(r+6)],
RS PR Re OU D dé e ee je GT ee ET ER Te 6e 6 ee 16e dans noce ele 7 Dre. En 8: do à
Si le mouvement que l’on considère est infiniment petit, les équations (10), (11), jointes à la formule (1), donneront
se trat + z AË __ X 4Ë,+yAn,+zAÿ, posent 2 Ares 2 Fr F
— XGA) —E]+yIG+A)n—n]+r[G+A)E—ET
= AGHA)E —ET+y[G + A)n —n]+2f+ A) 6]
et l’on aura, de plus,
| V = D,Ë+D,n + D.6, ( v,= DE, + D,n,+ D:x,.
Alors on tirera des formules (12), (13), (14), (15), jointes aux for-
mules (3), (5), (6), (7),
pe) Î
| 3— S[m f(r)AÆ]+Sim,f(r)[(G+A)E,—E]|
| +s[n 20 sfr xs].
\ "MANS M ULÉENE ER D EE NY PE DORE Re D A EN LA ET Ki it SN ES LE 27 EN ne pe ,
(X—= S[m,f(r)AË]+Simf,(r) [G + A)E —E,]|
| 4 8[ me LD xe | + S[ me LC De |
À {2 SE fOISAË] + SEm fe]!
+2 {80m f(r)x(E + AE E)] + S[m fre]!
+ {a S[m, f(r)æAË,]+S[m, f'(r)x°p,1l
+ aS[mf, (r)x(Ë+AË—E,)] + S[mf(r)xs,]!
à SIL fGr) + m, f(x — Lo, Sf[m, Gr) + mf(r)lxt,
D — 2 | SDm f(r) (zAn + yYAË)] + S[m f'(r)yzp]| : (Sim, f(r)[z(n,+ An, —n) +y(6,+ A6, —6)]| + SQm,f'(r)yzs)
+2|S[m, f(r) (An, + YA6,)]+ S[m f,(r)y2p,1|
CE VE NE A EE 0 OUI DD ie EU Eu EN UE NL A DS UT UN ES dE NPD EN OA 0 DE LS A La ds Et 2 EN 4e du ee nee EC OT AA Pa DE 22 PAS PU AL, JL .5i 2. Sr 0 ee
Dans les calculs qui précèdent, nous avons, pour plus de généralité, distingué l’une de l'autre les deux forces accélératrices rf(r), rj,(r) qui correspondent à l’action d'une molécule du second milieu sur une molécule du premier, et d’une molécule du premier sur une molécule du second. Lorsqu'on suppose la réaction égale à l’action, non seulement entre les molécules de même nature, mais aussi entre les molécules de natures diverses, on a
f.Cr)= f(r).
Observons encore que, dans les différentes formules ci-dessus établies, la lettre caractéristique A indique l'accroissement que prend une fonction des variables indépendantes
L'ÉUES LR | quand on attribue à ces variables les accroissements FE Ere à ER ee Cela posé, en désignant par 2 une fonction quelconque de x, y, z, on aura (23) A8— (exDr+yD;+1D jy,
Si, les systèmes de molécules donnés étant homogènes, le mouvement infiniment petit, propagé dans ces systèmes, se réduit à un mouvement simple dont le symbole caractéristique soit
UL+VY+W3+SI e LE :
u, #, æ désignant des coefficients réels, alors, en prenant pour 2 une fonction linéaire quelconque des déplacements £, n, €, £, n,, & et de leurs dérivées, on trouvera
(24) AE (ORPI TIM Ge et, en posant, pour abréger,
(25) t=XU+YV +2w, on aura
(26) A8—(et—1}s8,
par conséquent (27) A—et—1.
Cela posé, les formules (16), (19), (18) donneront
