OU A SU
quand la variable £ acquiert une valeur nouvelle désignée par +. Lorsqu'on remplacera
æ Ati perd, is Dar LS, une fonction donnée (2) RaF(z, 3,2)
des inconnues æ, y, 3, ... acquerra elle-même une valeur nouvelle représentée par AT SR OS MES
et, si cette valeur nouvelle est développable par la formule de Taylor en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de T — l, on aura
(3) HERT dRr DR en
Si dans l'équation (2) on remplace successivement la fonction F(æ) par chacune des inconnues
T, UE Sa | , on obtiendra les formules ÉD 2 =LT+ — D, + psc 5 tre (Tr — 1}? 9 (4) € Nn—= Y + D, y + à D? y +..., ar dE tu sm Hs se d D}3+..:,
qui représenteront les intégrales des équations (1), toutes les fois que les séries
ON PR RE PER RUN A ROIS IR RTS Fe SIT Des CAS à 2 5 à
seront convergentes. C’est du moins ce que l’on peut aisément démon-
trer à l’aide d’un théorème général que j'ai donné sur le développe ment des fonctions en séries. Donc, pour établir l'existence des intégrales générales des équations (1), il suffira de prouver qu'on peut attribuer à + — : un module assez petit pour rendre convergentes les
séries (5), toutes comprises dans la série plus générale
ri ET 2 T ED,R, (Tr —t) “de
Done, si l’on désigne par : le module de + — 4, et par Jo Ÿ4 Vas
des limites supérieures aux modules des quantités R, -D,R, —-DiR, .;,.,.
il suffira de prouver que le module : peut devenir assez petit pour rendre convergente la série
(7) Joy Jits dat”,
Observons maintenant que, en vertu de la formule (2), jointe aux équations (1), on aura DR —=D,F(2,/7,3;..)X + D,F(x,7,s,.:..)Y +..., D'R=D:F(2,»,3,...)X' + D'F(zx, 7,5, ...)Y+...
(8) PANNE (ES, 72, :..)XT +7.
+D,F(x, 7,3,...)DX +D,F(z, 7,3, ...)DY +...,
en sorte que la valeur générale de D?R se composera de termes dont chacun sera le produit d’un nombre entier par une des dérivées partielles de divers ordres de la fonction F(æx, y,z,...), et par des puissances des fonctions X, Y, Z, ... ou de leurs dérivées. Cela posé, soient | Ni tr cuas nl
les modules d’accroissements imaginaires attribués aux quantités variables
et tellement choisis que, pour ces modules, ou pour des modules plus
petits, les fonctions | ARR 2 se EUR LS - 0
modifiées en vertu de ces accroissements, restent continues par rapport aux arguments et aux modules des accroissements dont il s’agit.
Soient encore See ANT Ve |
les plus grands modules des fonctions NL RS Le Me PIE Ms, 2 correspondants aux modules D PS PUR dede à des accroissements imaginaires attribués aux variables . Vs: Es des
En vertu du théorème établi dans la séance précédente (*), pour obtenir
des limites dos dy, do
respectivement supérieures aux modules des quantités
RER SOIR I Le 2
il suffira de calculer ces quantités dans le cas particulier où l'on a RO V8 11,
Y—=bæ ty 151...6"1, (9)
— —1 41 =—1 — te D Lies RE OUT MURS
(10) RM UN Sin.
a, b,c, ... désignant des facteurs constants, puis d'attribuer aux variables
et aux constantes GED CR AT R
(1) Œuvres de Cauchy, S.1,T. VI, p: 464. — Extrait n° 467.
les valeurs que détermine le système des formules
(T——X, Fe ÿ: 3 —=— 7, RAT = -rt, (11) EX = %, à Sema JA d'Apnnte “À AR H=K,
jointes aux équations (9) et (10). D'ailleurs, pour déduire la série (3) de la série (6), il suffira de joindre aux formules (11) la suivante
(12) t—- lit,
et, dans le cas particulier que l’on considère, la série (6) ne cessera pas de représenter le développement de
