C. R., T. XVE, p. 299 (6 février
Dans le IIIe Volume des Zxercices de Mathématiques (*) et dans deux Mémoires présentés à l’Académie en 1839 (voir les séances du 28 octobre et du 11 novembre 1839) (?), je me suis déjà occupé des pressions ou tensions intérieures, mesurées dans un système simple ou dans un double système de points matériels, que sollicitent des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle. En développant les formules que renferment ces divers Mémoires, on obtient celles que je vais indiquer
SI. — Équilibre et mouvement d’un système de points matériels. Pressions ou tensions mesurées dans un semblable système.
Considérons d’abord un système simple de molécules que nous supposerons réduites à des points matériels, et sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Soient, dans l’état d'équilibre,
æ, y, = les coordonnées d’une molécule m;
æ+x, ÿ+ y, 3 +2 les coordonnées d’une autre molécule »;
r le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule 72 et lié à x, y, Z par l'équation
mr f(r) l'action mutuelle des molécules m, 7», la fonction f(r) étant
positive lorsque les moléeules s’attirent, et négative lorsqu'elles se repoussent;
(1) Œuvres de Cauchy, S. H, T. VII.
(2) Zd., S. I, T. IV, p. 513 et 520.
ù la densité du système au point (æ, y, =);
mx, my, m& les projections algébriques de la résultante des actions exercées sur la molécule m par les autres molécules;
enfin &, #, €, #, 1, ®, €, ®, € les projections algébriques des pressions ou tensions supportées au point (x, y, z), et, du côté des coordonnées positives, par trois plans perpendiculaires aux axes des x, des y et des z.
Les équations d'équilibre de la molécule m seront
(2) X—0,. Jo :—0;
et l’on aura
(3) X—S{mxf(r)l, S=S[myf(r) +—=S[mzf(r)],
les sommes qu'indique la lettreS s'étendant aux diverses molécules »2, distinctes de la molécule w, et comprises dans la sphère d'activité sensible de m. De plus, en vertu des formules générales établies dans le IIIe Volume des Exercices de Mathématiques, si le système de molécules est homogène, c’est-à-dire si les diverses molécules, offrant des masses égales, se trouvent distribuées à très peu près de la même manière autour de l’une quelconque d’entre elles, on aura encore sensiblement 4
| do — = SDmxt f(r)], == = SEmy f(r)], = 2 S[mz f(r)]
Supposons maintenant que le système de molécules vienne à se mouvoir et soient, au bout du temps £,
= SEmyz f(r)], HE = SCmezx f(r)], $ — -S[mxy f(r)].
5, n, C les déplacements de la molécule w;
5 + AË, n + An, (+ AT les déplacements correspondants de la molécule 7»;
v la dilatation du volume, mesurée au point (æ, y, =).
Enfin soient, à la même époque,
r + 9 ce que devient la distance r des molécules m, 7; x + #,3 + Ÿ, x +3 ce que deviennent les forces accélératrices X, DRE
et
A++ hB,c+E, +, c+E, $ + SF ce que deviennent les pressions L, 1%, ©, ®, €, F.
On aura, non seulement (5) (r+p}= (x + A) + (y + An)t+ (2+ At),
mais encore
(6) X + X—S[m(x+ AË) fr +p)l, et R L+A= SE (x + AE) Sr + PI + (7) | @+D— 2 S{m(y + An) (2+ AE) f(r + pl,
& De plus, eu égard aux formules (2), les équations du mouvement de la
molécule m seront (8) D'Eë—Xx, D'n—%%, D?t—3.
Si le mouvement que l’on considère est infiniment petit, l'équation (5), jointe à la formule (1), donnera
de AU ns rat 4
(9) et l’on aura, de plus,
Alors on tirera des formules (6), (7), jointes aux équations (3), (4),
(11) £= S[mf(r) AE] +] m ÉD xe |, ar 4— > {2S0m f(r)x AE] + SEm f'(r)xte]l — 2 av, ee
(12) D — = {SC f(r) (z An + y AE)] + SCm J'(r)yzp]| — 7 dv,
Dans les formules qui précèdent, la lettre caractéristique A indique l’accroissement que prend une fonction des variables indépendantes æ, Y, 3, Quand on attribue à ces variables indépendantes les accroissements
DES % Ày = y, Pre À Cela posé, en désignant par # une fonction quelconque de +, y, z, on aura (13) A8 — (exDz+yD;+1De__ 1)g,
Si, le système donné étant homogène, le mouvement infiniment petit propagé dans ce système se réduit à un mouvement simple dont le symbole caractéristique soit
UL+VY+WI+St € Y à
u, #, w désignant des coefficients réels; alors, en prenant pour a une fonction linéaire quelconque des déplacements linéaires £, n, € et de leurs dérivées, on trouvera
(14) AB = (exu+y0+zw 1)8,
et, en posant, pour abréger,
RES L=XU+ YO +2zw, (16) A3—(et—1)8,
par conséquent
(17) Bet t,
Cela posé, les formules (9), (10) donneront
(18) p= AIME 1),
(19) VUE + PH w; et, comme on aura encore xD EE y=Du, z=D,.* on tirera des formules (11), (12), jointes aux équations (17) et (18), (20) X—(G—DE+D, (ED, +nD,+6Ds)(H—K) ES
Le œ - [2ËD,(G—5)+DE(ED, + nD,+6D,)(H—X)] — : Au, ..., (21) l: = 2 Ln Du +ED,)(G—5)+ D, D EDa-tnDi+EDu)(H—X)— . Ou, .…,
les valeurs de GR ELR 3
étant
(22) G= S[m f(r)e'], H—S [re ee |.
3) = S1m 0. € =8[n €] (24) 5=Spm (D X=S[m ED |
Ajoutons que l’on tirera des formules (4).
(25) ®=:D,D,L, E—"D,D,L, Door
la valeur de L étant
(269 | L=s|mfte|
En comparant la formule (13) à la formule (14), on arrive immédiatement à la conclusion suivante :
Pour obtenir les valeurs générales des forces accélératrices
2: 4,3 el des pressions NÉ € NE qu correspondent à un mouvement infiniment petit quelconque d'un système homogène de points matériels, il suffit de calculer les valeurs particulières de ces quantités qui correspondent au mouvement simple dont le symbole caractéristique est
UL+VY+W2Z+SL e JAERCEATS
u, v, w désignant des quantités réelles, puis de remplacer dans ces valeurs particuhères les coefficients :
par les lettres caractéristiques
ad
qui devront s'appliquer aux déplacements ë, n» C considérés comme
fonctions de x, y, 3.
$ IL. — Réduction des formules dans le cas où le système donné devient isotrope.
Lorsque le système de points matériels donné devient isotrope, les fonctions de w, », w, que représentent les lettres G, H et que déterminent, dans le $ I, les équations (22) jointes à la formule (15), se réduisent à des fonctions de la quantité (1) KZ + + w?, et même, en vertu de la formule
L ARNER IH IH + +...
OEuvres de C.—S.I,t. VII. 33
à des fonctions entières de Æ? composées chacune d’un nombre infini de termes. Il y a plus : si, dans les formules (22), (23), (24), (26)
du $ I, on pose 1 — kr cos
ou, ce qui revient au même,
105 ouf LA De Eu 4 —— ,
n COS — += pas
