C.R., T. XVI, p. 151 (23 janvier

J'ai remarqué, dans un Mémoire présenté à l’Académie le 30 septembre 1822, et dans le II Volume des Exercices de Mathématiques (*), que la pression ou tension supportée en un point donné d’un corps par une surface plane devait être généralement, non pas normale, mais oblique à cette surface. J'ai de plus développé les lois suivant lesquelles cette pression ou tension varie en grandeur et en direction, lorsque le plan qui renferme la surface tourne autour du point donné. Pour trouver ces lois, il m’a suffi d'établir l'équilibre entre les pressions ou tensions supportées par les différentes faces d’un très petit élément de volume, que j'ai fait successivement coïncider avec un prisme droit, dont la base était supposée très petite par rapport à la hauteur, avec un parallélépipède rectangle et enfin avec un tétraèdre dont les trois arêtes étaient parallèles à trois axes rectangulaires entre eux. Quand on considère un corps comme un système de points matériels qui agissent les uns sur les autres à de très petites distances, les lois obtenues ainsi qu’on vient de le dire se trouvent vérifiées, non seulement par les valeurs particulières des pressions auxquelles M. Poisson était d’abord parvenu, c’est-à-dire par les valeurs qui

(1) Œuvres de Cauchy, S. U, T. VIL

reproduisent les équations d'équilibre et de mouvement des milieux isotropes trouvées par M. Navier, mais encore par les valeurs plus générales que j'ai données dans le III° Volume des Exercices (! ), el qui se rapportent à des milieux non isotropes.

La considération d’un prisme droit élémentaire, dont la base est très petite relativement à la hauteur, m'avait, dans le II° Volume des Exercices, conduit à cette conclusion générale, que Les pressions ou tensions exercées en un point donné d'un corps contre les deux faces d'un plan quelconque passant par ce point sont deux forces égales et directement opposées. En d’autres termes, une couche infiniment mince renfermée dans le corps à une distance sensible de la surface, et comprise entre deux plans parallèles, supporte sur ses deux faces des pressions ou tensions égales, mais dirigées en sens contraires. Il restait à savoir si la même proposition doit être étendue au cas où l’un des deux plans parallèles est remplacé par une portion élémentaire de la surface extérieure du corps, et où l'épaisseur de la couche infiniment mince est remplacée par le rayon de la sphère d’activité sensible d’une molécule. Cette extension est nécessaire pour que l’on puisse mesurer la pression intérieure et relative à un point situé près de la surface d’un corps solide par la pression extérieure, comme nous l'avons fait, M. Poisson et moi, dans les Mémoires que nous avons publiés sur les surfaces, les lames et les verges élastiques. Mais avons-nous raison de le faire, et cette manière d'opérer est-elle légitime? C’est un point sur lequel s'étaient élevés dans mon esprit quelques doutes, que j'ai cru devoir loyalement exposer aux géomètres, non seulement dans le Mémoire lithographié sur la théorie de la lumière, mais aussi dans le Mémoire présenté à l’Académie le 18 mars 1839. Aujourd'hui ces doutes sont heureusement dissipés, ainsi que je vais l'expliquer en peu de mots.

Pour qu'un élément de surface plane, mené par un point intérieur dans un corps ou dans un système de molécules, supporte une pres-

(1) Œuvres de Cauchy, SH, T. VII.

sion dont la grandeur et la direction demeurent sensiblement invariables, tandis que l’on passe d’un point à un autre de cet élément, il est nécessaire, en général, que les deux dimensions de l'élément soient très petites. Mais, quelque petites que soient ces deux dimensions, si la hauteur d’un prisme droit qui a l'élément pour base devient infiniment petite, c’est-à-dire décroît indéfiniment, il arrivera bientôt un instant où cette hauteur pourra être négligée vis-à-vis de chacune des deux dimensions de la base; et alors, la surface latérale du prisme devenant très petite par rapport à la base, le système entier des pressions supportées par la surface latérale pourra être négligé relativement aux pressions totales supportées par la base sur laquelle le prisme x été construit, et par la base opposée. Donc l’équilibre, qui devra subsister entre les diverses pressions supportées par les diverses faces du prisme, se réduira sensiblement à l'équilibre des pressions supportées par les deux bases. Donc ces pressions totales, qui se changeront quelquefois en deux tensions, seront deux forces sensiblement égales, mais dirigées en sens contraires. Telle est la démonstration que j'ai donnée depuis longtemps de l'égalité des pressions ou tensions exercées en un point donné d’un corps contre les deux faces d’un plan quelconque, ou, ce qui revient au même, contre les deux faces d'une couche infiniment mince passant par ce point.

Si maintenant on veut démontrer l’égalité des pressions extérieure et intérieure correspondantes à deux points très voisins, situés sur une même droite normale à la surface qui termine le corps, savoir, des pressions supportées : 1° en un point donné de la surface du corps par cette surface même; 2° en un second point dont la distance à la surface soit au moins égale au rayon de la sphère d’activité sensible d'une molécule par un plan perpendiculaire à la normale ou, ce qui revient au même, parallèle à celui qui touche la surface au premier point, la démonstration pourra cesser d’être exacte, et ne subsistera que sous certaines conditions qu'il importe de signaler. A la vérité, on pourra toujours concevoir que l’on .construise un prisme ou cylindre droit qui ait pour hauteur la distance entre les deux points avec des

bases très petites, dont l’une pourra être censée se confondre avec un élément de la surface extérieure du corps. Mais, après avoir rendu ces bases assez petites pour que les pressions supportées par elles ne varient pas sensiblement dans le passage d’un point à un autre, on ne pourra faire décroitre indéfiniment la hauteur du prisme, et, pour que la démonstration précédemment rappelée soit applicable, # faudra que la limite inférieure assignée à cette hauteur, c'est-à-dire le rayon de la sphère d'activité sensible d'une molécule, soit effectivement une quantité très petite relativement aux dimensions qu'il sera possible d’'attribuer aux deux bases du prisme sans faire varier sensiblement la pression soit intérieure, soit extérieure.

Si, comme nous le supposerons généralement dans ce qui va suivre, les variations de la pression extérieure restent toujours très petites pour de très petites distances parcourues sur la surface du corps, la seule condition à vérifier sera que Le rayon de la sphère d'activité sensible d’une molécule reste très petit relativement à la distance qu'il faudra parcourir dans le corps sur un plan quelconque, pour obtenir des variations sensibles de la pression supportée par ce méme plan.

Dans un corps homogène considéré comme un système de molécules, les variations que la pression supportée par un plan éprouve quand on passe d’un point à un autre sont dues aux déplacements des molécules. Si d’ailleurs le corps est animé de l’un des mouvements infiniment petits que nous appelons rnouvements simples ou par ondes planes, les déplacements moléculaires ne varieront pas sensiblement quand on parcourra des distances très petites relativement aux épaisseurs des ondes. Donc alors la condition ci-dessus énoncée se réduira simplement à ce que Le rayon de la sphère d'activité sensible d'une molécule demeure très petit relativement aux épaisseurs des ondes planes. Sous cette condition, la pression extérieure supportée par la surface du corps ne différera pas sensiblement de la pression intérieure supportée par un plan parallèle au plan tangent et mené à une

distance équivalente au rayon de la sphère d'activité sensible d’une molécule.

OEuvres de C. — S. 3, t. VII. 32

En général, lorsqu'un corps homogène est doué d’un mouvement infiniment petit, ce mouvement peut être censé résulter de la superposition d’un nombre fini ou infini de mouvements simples. Alors la condition précédemment énoncée se réduit à ce que le rayon de la sphère d'activité sensible d'une molécule demeure très petit relativement aux épaisseurs des diverses ondes planes. |

Dans la théorie des surfaces des lames et des verges élastiques, on peut aux épaisseurs des ondes substituer des quantités du même ordre, telles que les dimensions des diverses portions de courbes décrites par des points qui s’écartent dans un sens ou dans un autre de leurs positions primitives. Alors on obtient les conditions qui doivent être vérifiées pour l'exactitude des formules relatives aux vibrations des surfaces des lames ou des verges élastiques, telles qu’elles ont été données par M. Poisson ou par moi-même dans divers Mémoires. L'accord général de ces formules avec l'expérience ne permet guère de douter que les conditions ci-dessus indiquées, et sous lesquelles elles subsistent, ne se trouvent effectivement remplies.

Dans le Tome VII des Mémoires de l’Académie (p. 390) et dans le XXE Cahier du Journal de l'École Polytechnique (p. 56), M. Poisson avait déjà cherché à démontrer l’égalité des pressions extérieure et intérieure correspondantes à deux points situés, l’un sur la surface d’un corps, l’autre près de cette surface. Mais la démonstration qu'il a donnée dans les Mémoires de l'Institut, et modifiée dans le Journal de l'École Polytechnique, en comparant l’une à l’autre les pressions supportées par les bases, tantôt d’un très petit segment de volume, tantôt d’un cylindre dont la hauteur et les bases sont très petites, me parait sujette à quelques difficultés qu’il serait trop long de développer ici; et ce qui me persuade que ces difficultés sont réelles, c’est, en premier lieu, que la démonstration dont il s’agit n’a jamais été opposée, à ma connaissance, ni par son auteur ni par aucun autre géomètre, aux doutes que j'avais énoncés publiquement et par écrit, en assurant que l'égalité des pressions extérieure et intérieure n'était pas démontrée ;

c’est, en premier lieu, que, dans les passages cités, M. Poisson ne fait pas mention de la condition à laquelle nous sommes parvenu, et sans laquelle, néanmoins, le théorème que constitue cette égalité peut, à notre avis, devenir inexact.

. Si, au lieu d'un seul système de molécules, on considère deux semblables systèmes séparés l’un de l’autre par une surface plane, alors, raisonnant toujours de la même manière, on obtiendra de nouvelles propositions analogues à celles que nous avons énoncées, et en particulier les suivantes : |

Tuéorème 1. — Étant donnés deux milieux séparés par une surface plane, et composées de molécules qui éprouvent de très petits déplacements, si dans chaque mulieu le rayon de la sphère d'activité d’une molécule est une quantité très petite que l’on puisse négliger relativement à la distance qu'il faut parcourir pour que les pressions ou les déplacements subissent des variations sensibles, les pressions mesurées dans les deux milieux en deux pounts situés sur une perpendiculaire à la surface de séparation, de maruére que la distance de chacun à la surface soit le rayon de la sphère d'activité sensible d’une molécule, et supportées en ces deux points par

deux plans parallèles à la surface, seront sensiblement égales entre elles.

Tuéorèe IL. — Les mémes choses étant posées que dans le premier théorème, supposons que des mouvements infiniment petits, simples ou à ondes planes, se propagent dans les deux milieux. Si le rayon de la sphère d’acuvié sensible dans chaque milieu est une quantité tres petite relaliwement aux épaisseurs des ondes planes, les pressions mesurées dans les deux milieux en deux points situés sur une perpendiculaire à la surface de séparaton, de manière que la distance de chacun à la surface soit le rayon de la sphère d'activité sensible d’une molécule, et supportées en ces deux points

par deux plans parallèles à la surface, seront sensiblement égales entre elles.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les pressions ou tensions intérieures, mesurées dans un ou plusieurs systèmes de points matériels que

sollicitent des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.