D HAT
depuis x = —h jusqu'à x — +h, ne peut rester numériquement au-des- ? »
sous de
(GE) (Az V#+r),
où l’on prend le radical avec le signe contraire à celui de À.
$ 63. En cherchant de la même manière la fraction
plans + plat 4, + pis) p + pin—2)
p{n—1) a? + p(n) x + pH ?
qui, parmi toutes les autres de la même forme, s’écarte le moins de .
u= a" + Ba + Car +...
entre x = —h et x = +, on prendra l= 2, et comme pour cette valeur de Z la quantité + a © est égale à à ? — 2}, on fera Re.
Or, en prenant u= 2" + Bat + Ca + ; ECS
dans l’expression de Z ($ 53), on trouve
2n—2T (ar: A — 2h (a—2 + Bas...)
Z+-V ah? on—4 y (a PS h2 an —6+. …) —Qh—A (alt 2 + Bath...)
21" + — 2/2\N—4 ol. n—2 2 n—4 [r 2(+) L|s +h "= (+) L|s +.
h2 D \n—4 2ani+ (28 (+) Lan +...
Cette valeur de Z, développée en fraction continue, nous donne
Fa 1 EE us n D \2n—$ AR T3 — h4 n—4 Es h?— 2 (+) L (re — 9 () : Lja+. rer
D'où résulte cette suite des fractions convergentes de Z:
et ces valeurs de g,, g,....:
DIR OUR EU DE RDE TON CRT OS ER ND 0,4: be: 9! 0.0 S D Se 6:90 5 + » +» à + ©
qui désignent pour nous les coefficients de dans les quotients complets.
Comme #— 2, on cherchera la valeur Z = L, parmi les racines de ces deux équations:
2(E 1—(48 +(# — 2) ne) OR
Ja = — = 0 2 (w—2() 2) La première de ces deux équations donne h\n—2
la seconde
Rues + r+y/(8+ +R m\+% |
h\n—4Q tres 5) Ne LE
L —= (5) Ë M —y(B+ em) nr ail .
Dans le cas particulier de B— —” Th, ces trois valeurs, au signe près,
sont égales. Mais en faisant abstraction de ce cas, nous trouvons que la plus petite numériquement est celle qu’on trouve d’après la formule
L= LE à [8+ 2e /(B+ J +" ,
NA je
en prenant le radical avec le signe contraire à celui de B +
D'où, d’après le $ 53, nous concluons
Li, — Gi LB + st, A À (8 + 7 Te ne) +- +
Cette valeur de Z,, sauf le cas de B————/, ne vérifie que la seconde des équations 2 n—4 n=@—2($) L=0,
on aurà M,=m—2($) "Z,
Pour ces valeurs de M,, N,, et en remarquant que k — 2, les expressions de U et V que nous avons trouvées dans le $ 54 donnent
U = (aux, Ge ES Dm (x CS 4
—2| N° au —L CE nl @— Dans ; 225) L)
p= naar af —2(f) L)e+(r—2(5) %)]
h = fe(2 ras (m— 22) r)].
Tels sont les termes de Ja fraction
+ Le u —L, Ge ver} + CG SR (re DE G) Lo)
U y qui, parmi toutes celles de la forme
plans + pla ap, 4 pi) pp pr 2)
pMm—1) a? + p(n) æ + p(n+H1) ?
depuis x — — } jusqu'à æ — + h, s’écarte le moins de :
u=t "+ Dr Cr "+, : 1:
Nous allons examiner maintenant le cas de B=—"—" 1},
que nous avons laissé de côté.
D'après les valeurs de g,, g,, trouvées plus haut, on a, dans le cas de
ne" B=—"— hè,
h=hË— 2 OR L, j +2 4) F; ;
Comme les racines des équations 2 n—A gn=W—2($) L=0,
n° TT 1 + o(+)
Cr r sont L je a(2)”, Le —2(5) ”,
valeurs, au signe près, égales, nous trouvons deux valeurs de Z = L;;: h \n—2
Ly= — 2 (5) ; h \n—2
» PAR | (5) à
En prenant la première valeur de Z,, nous remarquons qu’elle ne vérifie que la seconde des équations
Ja re . =
Donc, on aura RER M; M; Ram:
et par là on trouve pour U et V les mêmes expressions que dans le cas général où l’on a aussi i — 2. ‘
En passant à l’autre valeur de Z—Z,, nous remarquons qu’elle vérifie la première des équations
h= 0, Ja = 0,
d’où il suit
M; M, DÉS vhs À et comme M, __0 N, 1?
on trouve
Pour ces valeurs de M, N,, et en observant que Fe 2,
nous trouvons, d’après les expressions de U et V données dans le $ 54,
T2" 2u— LI (a+ Var = RM —2 + (0 — Var — 2
Tree Los ?
Fash".* ‘
D'où résulte la même valeur de LA qu’on trouve d’après les formules du cas général, en prenant L, — — 2 ()
$ 64. En vertu de ce que nous avons vu relativement à Z, qui détermine les limites des valeurs de la différence
Fur entre æ ——h et x — + h et en remarquant que papa... + plir—3) + pin —2)
U EE 2 nu U—r=2 RS ares.
pi —1) »2 + pl) & + p(n+1)
peut représenter toutes les fonctions de la forme
pu wi = … Bin—3) pin—2) d + Bi" ‘+ Ba t+....+p" d + — a VE
nous parvenons à ce théorème:
Théorème 21.
La fonction te Bat te Hat tie j e RU S ESS
depuis &— — h jusqu'à x — +h, ne peut rester numériquement au-des-
sous de OT L+rtre {ET E)
ni
où l’on prend le radical avec le signe contraire à celui de la quantité
B+"— mp.
SUR
