UNE NOUVELLE SÉRIE

Bulletin physico-mathématique de l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. T. XVII, p. 257—261.

(Lu le 8 octobre 1858.)

Sur une nouvelle série.

Dans mon Mémoire sur les fractions continues, présenté à l’Académie en 1855 et publié dans ses Mémoires (Tome II), je suis parvenu à une formule qui, d’après les valeurs données d’une fonction, affectées d’erreurs quelconques, fournit directement sa valeur sous la forme d’un polynome avec des coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés. Cette formule comprend, comme cas particuliers, les développements connus des fonctions suivant les cosinus des arcs multiples et suivant les valeurs de certaines fonctions désignées par X°. On tire de notre formule plusieurs autres séries, en faisant différentes hypothèses particulières sur la suite des valeurs connues de la fonction cherchée. Dans l’hypothèse la plus simple, où l’on suppose ces valeurs équidistantes, telles que

n=f(@R), = 1f(2h),....u,=f(nh),

et leurs erreurs probables égales, notre formule fournit le développement de w — f(x) suivant les dénominateurs de la fraction continue qui résulte du développement de l’expression

es Les er y ue Sn ‘22

z—nh"

Mais comme on trouve que ces dénominateurs, à un facteur constant près et en prenant Ax — h, s’expriment par

AU (x —h)(x — 9h).….(@— 1h) (x —nh — k) (x — nh — 2h)..(h — nh — 1),

il en résulte, en vertu d’une transformation très simple des sommes, cette série remarquable: S

| 1 8 Si(n — 6€) Au; u— Du, + LÉ A(æ— h)(x — nh —})

BE (i+-1) (n—1)(n—1i—1) Au, na ar one A (@—h) (œ— 2h) (5—nh—}i) (ù—nh— 21)

TZi(i+1)(i+-2)(n—5) (n—i—1)(n—i-2)A3u; ,9, PRET res Ah )(e—2h)(2—8h)x—nh—h)(x-nh—20\x—nh—31)

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dans laquelle les signes de sommation s'étendent à toutes les valeurs de depuis à — 1 jusqu’à à — 1.

De plus, on trouve que les fonctions A(t—h) (x—nh—h), A(x—h) (x — 2h) (x —nh—h) (x — nh — 2h), A(x— h) (x — 2h) (x — 3h) (x — nh—h) (x — nh — 2h) (x — nh —3h),

que nous désignerons, pour abréger, par ME OEM sont liées entre elles par l’équation = (21— 1) (2x —nh— RAT —G— 1) [n —(—1ÿ]A AE, d’où l’on tire aisément les valeurs de toutes ces fonctions: A —h(2x — nh —h), A — 3h (2x — nh — hÿ — (n? — 1) hé, A — 15h (2x — nh — h) — 3 (3n° — 7)h° (2x — nh —h), M—105h4(2%—nh—h)—30 (3n— 13) A5 (2x—nh—h)+9 (n2—1) (n?—9)R$, À = 945h (2x — nh — h} — 1050 (n° — 7)hk7(2% — nh —h} + 15(15n4— 230n? + 407)h° (2x — nh — h),

- + - —+ : æ—h x — 2h Ee De en fraction continue 2n

me 12(n2— 12)h2 ns

2x —nh—h— 22 (n? — 92) h?

3(2x—nh—h) — 2(n2 — 32h?

(2x — nh—h) Pa dem PAL 32) À

7 (2& — nh—h) —. CAC]

La série que nous venons d’obtenir, pour l’évaluation de « d’après ses valeurs équidistantes, ne laisse rien à désirer pour l’interpolation paraboli-

pe de dé ibn Terme ETS ntn afiess ét A SES Sd

que de telles valeurs, vu que dans cette série tous les termes se calculent très aisément d’après les différences consécutives des valeurs données. Dans

le cas de h = n

et » infiniment grand, notre série se réduit à une suite ordonnée suivant les valeurs des fonctions X"”. Dans le cas de

et » infiniment grand, elle se réduit à la série de Maclaurin. D’autre part en multipliant ses termes par , et sommant depuis + — 1 jusqu’à 4—n, on en tire cette formule:

Sy se (Œu;ÿ , 3[Zi(n—1)Au;]? 5[Zi(i+ 1)(n —i)(n — à — 1) Au;]? sé TS 12.n(n?— 1?) h? 12.22n (n2 — 12) (n? — 22) h4

7 [Bi (i + 1) (à + 2) (n — i)(n — à — 1) (n — à — 9) A3u;]? . 12.22.82,n (n? — 12){n2 — 22) (n° — 39 À

Notons encore que les fonctions

A(x—h) FN M(x— h) (&— 2h) (x —nh —h) (x —nh — 2h), A(x— h) (x — 2h) (x — 3h) (x —nh—h) (& —nh —2h) (x — nh — 3h),

qui entrent dans notre série, sont très remarquables par des propriétés analogues à celles des fonctions de Legendre X!”.

Ces fonctions, en outre, fournissent des expressions approximatives de la somme «

S F(ih)

qui jouissent de la même propriété importante que celles qui ont été données par Gauss pour les quadratures.

Dans un de nos Mémoires ultérieurs on verra tous les détails nécessaires sur la série que nous venons de donner et les fonctions remarquables dont ses termes sont composés.

SUR L'INTERPOLA TION