DÉS MOINDRES CARRÉS

(Mémoires de l’Académie Impériale des sciences de St-Pétersbourg. VII® série. T, I, 1869, Ni 16, p. 1—24.)

(Lu le 29 avril 1859.)

ë V4 ET LE MAÉ

È rs k

Sur l’interpolation par la méthode des moindres carrés.

Dans le Mémoire Sur les fractions continues j'ai donné la série qui présente le résultat définitif de l’interpolation parabolique par la méthode des moindres carrés. Comme cette série fournit directement l’expression de la fonction interpolée sous la forme d’un polynome avec les coefficients les plus probables, et sans qu’on fixe d’avance le nombre de ses termes, on conçoit que, sous le rapport théorique, elle ne laisse rien à désirer pour l’interpolation parabolique. Mais pour rendre son usage tout-à-fait praticable, il restait à indiquer la marche commode à suivre dans l’évaluation de ses termes. C’est ce que nous avons fait pour le cas le plus simple où les valeurs de la variable, correspondantes aux valeurs connues de la fonction interpolée, sont équidistantes. En traitant ce cas particulier dans la note Sur une nouvelle formule, nous avons indiqué une réduction de notre série à la formule que voici, très propre à l’application:

sn du. Po() + PÈT — M Au, P1(4)

sm l

1) (n—i) (n—i—1 He (n?2—2?) > 1e Se ) Au, Pa (2)

11) De Din DE De D (2) +

RE T = = cu D 1.2.3 1.2.3

+ etc.,

en désignant par

U; Us, Ugs- . ‘u,

les valeurs données de # qui correspondent aux valeurs équidistantes de x

D— TL, Lo, Lg,....%,,

et en faisant, pour abréger,

2— 5 (mi + 20)

Dee

Le —

Dans cette série les signes de sommation s'étendent à toutes les valeurs de ©, depuis à = 1, jusqu’à 2 —n, et

Po(z) P1(2) Pa(2), Pa (8) + + - -

sont des fonctions entières de z qu’on tire de la formule

Az de eu (2 ra =)... (2 +) (2 —") (2 —")..(e— ei,

en adoptant pour / les valeurs

0, LA E Comme ces fonctions sont liées entre elles par l’équation (9) = 2 (22 — 1) 4p,, (9) — C— 1) [n° —( — 1)] 9, (0),

et que Po(e) = A1 = 1,

qe) = A (345) (2) = 24,

on trouve sur le champ

Pa (2) = 12 8° —(n? — 1),

Pa (2) = 120 — 6 (3n?—7)z,

Pa (2) = 1680 2 — 120 (3 n° — 13) 22 + 9 (n?— 1) (n° — 9),

ps (2) = 30240 &° — 8400 (n° — 7) 4% + 30 (15 n4— 230 n° + 407)z,

Ce développement de # qui résulte de notre série, tant que les valeurs

T; , La, La, . . 2,

sont équidistantes, est très commode pour l’évaluation de l’expression de «, vu que ses termes, comme ceux de la formule d’interpolation de Newton, contiennent les différences

2 3 Au,, Mu,, Au,,....,

dont les ordres vont en croissant, et que ces différences, sous les signes de sommation, ne sont accompagnées que des facteurs

tfi+1)(i+2) (n—i)(n—i—1)(n — i— 2) É2:5 ? 1.2.8 ?

qui d’après la propriété connue des nombres polygonaux, s’évaluent aisément par seule voie d’addition. Et comme cette série nous fournit l’expression de # avec les coefficients les plus probables, on conçoit qu’elle ne laisse rien à désirer pour l’interpolation dans le cas particulier où les valeurs de la variable qui correspondent aux valeurs connues de la fonction sont équidistantes.

Mais ce n’est pas le seul parti qu’on puisse tirer de notre série pour l’application; son usage est aussi très utile dans tous les autres cas d’interpolation parabolique, comme nous allons le montrer à présent, en indiquant la marche qui conduit aisément à la détermination successive de ses termes. On verra, d’après cela, que notre série procure un moyen très propre pour évaluer, terme par terme, l’expression de la fonction interpolée «, et qu’elle donne, en même temps, la somme des carrés des différences entre ses valeurs connues

M, ui 0e. : 104; et celles qui résultent de l’ensemble des termes trouvés pour son expression. D’après quoi on aura, sur le champ, l’erreur moyenne avec laquelle les termes trouvés de « représentent ses valeurs données, et par là on reconnaïitra tout de suite celui auquel on peut s’arrêter. Ainsi, au moyen de notre série on trouvera tout à la fois et le nombre de termes de #« qui sont importants pour l’interpolation et leurs coefficients déterminés par la méthode des moindres carrés. Pour faire comprendre la supériorité de cette méthode d’interpolation sur celles dont on se sert ordinairement, remarquons qu’elle donnera précisément, en général plus aisément, les mêmes résultats, que ceux que l’on trouve par la résolution des équations fournies par la méthode des moindres carrés qui suppose que le nombre des termes dans l’expression de « soit fixé d'avance. D’autre part, en déterminant et le nombre de termes de « que l’on doit calculer et leurs valeurs prescrites par la méthode des moindres carrés, elle sera, si ce n’est dans certains cas exception-

Res

nels, plus expéditive que la méthode d’interpolation de Cauchy qui est loin de donner les résultats les plus probables découlant de la méthode des moindres carrés.

D’après ce que nous avons montré dans le Mémoire cité plus haut, si les valeurs données de la fonction

MN Ne. 4 qui correspondent à

T— TL, Lo, Ly,....%,

sont affectées d’erreurs de la même nature, et que l’on cherche son expression, par la méthode des moindres carrés, sous la forme d’un polynome de degré quelconque, on aura *)

u = K 4%, (x) + K, 4, (x) + K, db, (x) +...., où

Je, He tes sont des coefficients constants, et

Yo (x), U (x), d (x), Sr el

les dénominateurs des réduites de la somme

> RS PE ete ine à 0 TL L—U L—te L—% ‘° æ—2)

qu’on trouve par son développement en fraction continue

Dans cette fraction les constantes &;, La) Las . . L2 L]

peuvent être choisies arbitrairement. Pour fixer les idées, nous supposerons

*) Nous n’emprunterons de notre Mémoire antérieur que la forme de cette série; mais tout ce qui est important pour son application sera donné dans ce qui suit.

qu’elles sont choisies de manière à ce que les coefficients de x dans les quotients

is as ss...

soient égaux à 1, et nous désignerons par

a, ? or d ? sa ds; L2 L] . L2 les valeurs de

Li, o, Ugye

qui remplissent cette condition. D’après cela, et en remarquant que les dénominateurs

ir as 3»...

seront des fonctions du premier degré, on aura, pour la détermination des fonctions

W(X), (x), LE), ....

LT — LG

ce développement de

en fraction continue:

z—bs—.

D'où l’on tire, pour l’évaluation de ses réduites

Polx) Pit) P2(x) ex (x) d, (x)? Ÿ, (x)? Ÿ, (x)? .. *g (@&)?: .…..,

les formules suivantes :

Lo (&)=1, Do(&)—0, ÿ, (&)—2—b,, P(2)—=@, (1): L, (&)=(&—0,) à, (x) — ad, (x), Pa (x)=(&—-b;) p; (X) — 42 Po (x),

ONU HUE re en 002 Te D EE RU GE TT Nr ee ARS FT MUNIE ON De PA UE En it OR SE UE De Gt QE OUR OS RE ON CR LR A

L@)=(@&-b)4,,(@)-a 4, @), pr (x-b)9,(&)-a, p,(n),

et par là, en faisant DOI =R, OO ———-n@=ER, h@ D — pr) = ER

som T — XL;

ho ——-nO=R,

on obtient, relativement aux fonctions

E,, R,, R,,....R, cette suite d'équations:

| 1 k, Le me: D, k, —= (x — b,) EF, — 4,

C’est au moyen de ces formules que nous parviendrons à déterminer

toutes les quantités qui sont importantes pour l'évaluation des termes de notre série.