À UNE SEULE VARIABLE

(Bulletin physico-mathématique de l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. T. I, p. 193—200.)

(Lu le 14 octobre 1859.)

Sur le développement des fonctions à une seule variable.

$ 1. Dans mon Mémoire Sur les fractions continues j'ai montré que si l’on cherche, d’après les valeurs données de la fonction (x)

ler FR): Fe}

son expression approximative sous la forme d’un polynome de degré quelconque, avec des coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés, on parvient au développement de Z(x) en séries analogues à celles de Fourier, et qui sont ordonnées suivant les dénominateurs des réduites de la fraction continue résultant du développement de l’expression

Da 6? (xs) & — &ÿ?

les erreurs probables des valeurs données de F'(x)

F(x,), F(&,),.. . F(&,) étant proportionnelles à 1 1 1

6(&)" 0e)?" 0(œn)" D'après cela, en faisant des hypothèses particulières sur la suite des valeurs |

%;, CAT +... x,

et la forme de la fonction U(x), on obtient, pour le développement des fonctions, plusieurs séries plus ou moins remarquables.

Si l’on suppose les valeurs

Mie

équidistantes, infiniment proches entre elles, et que l’on fasse m—=—1, 4,—=+1, Pia} SE

l'expression

se réduira à

1 du T UV Var—Tt

on reconnaît aisément que ses réduites ont pour dénominateurs des fonctions entières de + qui peuvent être représentées ainsi:

COS p, COS 2 p, COS 3 p,....

p — arc COS &.

En vertu de ce que nous venons de dire, on est conduit au développe-

ment connu de Fourier de f(x) en série ordonnée suivant les cosinus des arcs multiples.

En faisant la même hypothèse sur les valeurs de

et en supposant que (? (x) se réduit à une constante

on trouve que Pexpression Des T — X;j

devient

et comme les réduites de cette expression ont pour dénominateurs les fonctions désignées par X°°, il en résulte la série connue, ordonnée suivant les valeurs de ces fonctions.

Dans une note lue à l’Académie en 1858 j'ai indiqué l'expression très simple des dénominateurs des réduites de

N' E(xi)

quand on à OR}, et que les valeurs

: Pl EG à

sont équidistantes. Ceci nous a fourni une nouvelle série pour le développement des fonctions, série d'autant plus remarquable qu’elle ne laisse rien à desirer pour l’interpolation parabolique dans un des cas les plus ordinaires de la pratique.

Nous allons indiquer à présent encore deux cas, où les dénominateurs des réduites de l’expression DE AT —X;?

ont une forme remarquable, ce qui, en vertu de nos recherches antérieures, donne encore lieu à deux nouvelles séries pour le développement des fonctions, séries qui, dans certaines circonstances, fourniront les résultats avec la moindre erreur à craindre.

$ 2. Si, depuis — co jusqu'à + co, les différentes valeurs de la va-

riable x ont la probabilité Ë Ÿ un et que l’on cherche pour toutes ces

valeurs de æ l’expression approximative de F'(x), sous la forme d’un polynome, avec la moindre erreur à craindre, on aura, d’après notre Mémoire cité plus haut, cette formule pour la détermination de l’expression cherchée

de f(x):

+ + V£ 64e 4 (a) F (a) dx = ee? 4 (x) F(x) dx F(x) = RS Vo (x) sx ER 7 (A (æ) LS eh? 4 2 (x) dx V : he 2 (x) dx NN NN ET D DUR PERS EC RE NE “a ETS

L (&), d, (æ),. PRE

sont les dénominateurs des réduites de la fraction continue qui résulte de

+ ae

du.