L'INTÉGRATION DE LA DIFFÉRENTIELLE
dx.
Vaf + 02° + Ba? + ÿù + 5
(Bulletin de l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. T. III, 1861, p. 1i—12.)
(Lu le 19 octobre 1860.)
Sur l'intégration de la différentielle
V' at + ax + Br? + yx + O
L'intégration de la différentielle
ZX + À
dx
V 24 + ax8 + Ba? + yx + Ô
ne présente aucune difficulté, si la fonction 2 + Qu + Pr? + ya + D
a des facteurs égaux. En faisant donc abstraction de ce cas, nous supposerons dans tout ce qui suit que les facteurs de la fonction
at + ax + Ba + ya + Ô
sont tous différents entre eux. Dans cette hypothèse, comme l’on sait, l’in-
tégration de dx
V'at + au + Ba? + yx +5?
en termes finis est impossible; de là on conclut que l'intégrale
X + À dx
V 24 + 3 +- Ba? + ya + Ô
ne peut être exprimée en termes finis que dans le cas où l’on donne à la constante À une valeur convenablement choisie. En effet, si l’on admettait
que l'intégration de t+A
V'at + aus + Ba? + yx + 0
en termes finis fut possible dans le cas de À — C aussi bien que dans celui de A—C,, on trouverait que la même chose aurait lieu relativement à la
différentielle dx V 24 + ax$ + Ba? + yx + 8?
qu’on obtient en retranchant les différentielles
æ + C æ+ C; de
T, = Va + 0x8 + Ba? + yx + Ô V at + 005 + Br? + yx + 8
l’une de l’autre, et en divisant leur différence par C— C,, ce qui est inadmissible. D’après cela les différentielles de la forme
V'at + 0x8 + Br? + yx + Ô présentent l’un des deux cas: ou, pour une certaine valeur de À, l'intégrale
V' at + as + Ba? + Pr + y
s’exprime en termes finis, ou bien, pour toutes les valeurs de À, une telle expression de | æ + À
V'at + ax + Pr? + yx + 0
est impossible. La discussion de la différentielle
V at + aux8 + Ba? + yx + 0
sous ce rapport est d’une très grande importance, C’est à cela que se réduit, en définitive, l'intégration des différentielles qui contiennent la racine carrée d’un polynome du 3" ou du 4" degré, comme nous l’avons montré dans le Mémoire sur ces différentielles, et c’est par là seulement qu’on peut reconnaître, si la fonction elliptique donnée de la troisième espèce est réductible ou non à celle de la première. Ces questions importantes surpassent les moyens que possède l'Analyse dans son état actuel, faute d’un critérium infaillible par lequel, d’après les valeurs des coefficients &, B, y, à, on puisse reconnaître si l'intégration de
V at + ax8 + Bar? + yx + 8
pour toutes les valeurs de À, est impossible en termes finis ou non. D’après
ce qu'Abel a donné dans son ingénieux Mémoire sur l'intégration de la différentielle ET l'intégrale
V' at + ax + Ba? + yx + 8
pour toutes les valeurs de À, n’est impossible en termes finis que dans le cas où la fraction continue, résultant du développement de
Va + a + Bat + ÿx +5,
est dépourvue de périodicité. Mais c’est ce dont on ne peut s’assurer aussi loin que soit prolongé le développement de
V'at + 00 + Br + x + 0,
vû que le nombrs de termes dans une période reste arbitraire. De même on ne peut tirer, par rapport à cette question, aucun parti de la considération de certaines intégrales définies, d’après lesquelles on peut assigner analytiquement tous les cas des différentielles de la forme
dx V' at + ax + Ba? + ya +
qui s’intègrent en termes finis; car, pour reconnaître par là que la différentielle donnée, pour toutes les valeurs de À, n’admet pas une telle intégration, il est indispensable d’avoir les valeurs exactes de ces intégrales, tandis qu’elles ne peuvent être évaluées, d’après les coefficients «, B, y, à, qu’avec une approximation plus ou moins grande.
Pour la solution complète des questions importantes que nous venons de mentionner, on doit trouver un procédé qui, d’après les coefficients «, B, y, à et à l’aide d’une série d'opérations algébriques en nombre limité, conduirait à reconnaître que par le choix convenable de À il est possible ou non de rendre l'intégrale
V at + ax + Pr? + yx + Ô
exprimable en termes finis. C’est ce que nous avons cherché à faire pour le cas de &, B, y, à rationnels, et, pour ce cas, nous avons trouvé une méthode qui, au moyen des opérations algébriques et en nombre limité, conduit ou à trouver l’expression de l’intégrale -
x + À da,
V' at + ax + Ba? + ya + 0
avec une certaine valeur de À, ou à reconnaître que pour aucune valeur de A cette intégrale n’est possible en termes finis.
- Cette méthode d'intégration de la différentielle
dx, Va + ou + Pa? + ya + 0
sont rationnels, consiste en ce qui suit: 1) On réduira l'intégrale
[ T+ À - de V'at + ax + Pr? + ya + Ô à la forme 2+B = de,
V at le + me + ne
où !, %», n sont des nombres entiers, ce qu’on peut toujours faire par la substitution linéaire % = dy 2 +0, si la fonction at + an + Pa? + x + Ô
a un facteur rationnel du premier degré. Dans le cas contraire on réduira préalablement l’intégrale
æ + À [ dx, V' at + ax + Pa? + yx + Ô en posant rem —10b+3Y en E ï 4B— a? ‘“?
V' at + 023 + Ba? + ya + Ô — x? — ! ax — 8 d’après quoi, en faisant ia + 1608 —16ay= 1686419 2 a3 — 8 aB+- 16 y TRE.
3 2 Tr —28—0b, PER PR af — 6 8 2 TÉTEN on obtiendra ( x + À 0 24+2A—}ja di lo 2 Vat+on+Pat+yz+es 2) 244 28 + be + cs Rract
où la nouvelle intégrale contient sous le signe du radical un polynome doué du facteur rationnel z.
2) On examinera si la fonction É+U + mi + n2 est décomposable en deux facteurs rationnels du second degré (22 + pe) (8 + re +5) dont les coefficients p, r, s vérifient l’équation (1) S(p°? — pr + 5) — nombre carré, et au moins l’une de ces deux inégalités:
(2) pr—92s>0, ou 4s—r > 0.
Dans le cas où il est possible de décomposer la fonction
el + mes + ns en deux facteurs
(+ pa), (+ re +5),
qui remplissent ces conditions, et que p n’est pas égal à r, on réduira l’intégrale
2+B de, V'at+le3+ me? + nz en posant (pr) (2+p2) , {—p)z+s 7 "1?
ce qui donne 2+B 2=+| a+ (r—») (2B —») F V a4+-l28+ me? + n2 2) V2, [a + (D — r}1] [(a +n2— pr? +45] À MORTE in Va—Va+r(p—r}
La nouvelle intégrale
[ + (r —p) (2B —») Vala+ (D — FF] [(e1+ p?— pr) +4 si]
se réduira de la même manière, en tant que la fonction a [2 + (o—r}] [a +2 —pr) + 4 sz; | est décomposable en deux facteurs rationnels (2 + p,2,) (2° + re, +5) qui remplissent les conditions | 8, (D? —P7, +S8,) = nombre carré, pr —28 > 0, ou 48 —r°> 0,
p, n'étant pas égal à r,. Et ainsi de suite.— Si, dans ces réductions, on rencontre une intégrale
[= de
A4 le + M2? + Nit; À
dans laquelle la fonction 4 3 2 2 + la + mef + ne,
se décompose en deux facteurs 2 2 (2 + ps.) (+72, +5)
dont les coefficients p,, r, sont egaux, on trouvera immédiatement l’expression de cette intégrale, d’après la formule
[ Zi + 3 Pi 2 ae Va + pri + V 2 + Diti + Si VS + pi) (+ piri+ si) 2 Va + pis; — V 2 + Diti + Si * en prenant
Dans le cas contraire on répétera ces réductions jusqu’à ce que l’on parvienne à l’intégrale 2 + B)
Ï Free à dans laquelle la fonction + bé, + me + m2, n’est plus décomposable en deux facteurs rationnels du second degré
qui remplissent les conditions
8, (D°, —p,7, +8,) — nombre carré, pr, —25, > 0,'ou 4s —r, > 0, ù et on traitera cette intégrale par un procédé que nous allons exposer tout
de suite.
3) Ayant à intégrer la différentielle
de
Val m2+tnz ?
où la fonction
+ + mi + ne n’est pas décomposable en deux facteurs rationnels
(22 + pa) (° + re +5) qui remplissent les no Méou
S (D? — pr + Ss) — nombre carré,
pr—2s>0, ou 4s—r > 0,
on calculera, d’après les formules
D His es + CS î 21,3 — 8l;m; + 16n;?
Mn mt gl L=k M =M, NEA,
les nombres Lo Mo, Po)
Li, M, No;
en poussant le calcul jusqu’à ce que l’on rencontre dans cette suite une valeur fractionnaire, ou que l’on trouve deux systèmes de nombres
po 7
ur 7
Hd?
L+-Y? My) Nu qui soient respectivement égaux. Dans le premier cas on conclura que
l'intégrale
de Va+lSrmirnz ?
pour aucune valeur de B, n’est exprimable en termes finis. Dans le second cas il sera certain que cette intégrale, pour une certaine valeur de B, est exprimable en termes finis, et son expression sera donnée par cette formule:
ao {VA Va Ve (4) , V'at+ 123 + me? + n2 NE { 98H 1 9h +2 9B4+-Y p 108) PR TR TE Sn b où
sont des fonctions algébriques de z qui se déterminent ainsi:
1 1 1 1 == 16 lo — 4 loto + 3 No Gp m M msaun orage ae Lmo —< 1?
4 3 2 PR RE Ps 0 0 Va 4 le + mor? +008 — 22 — lot 3 Le re D — 3 hu + 5 M 2 1 Am, —l??
4 3 2 BP et DRE Aus. PSN E (5) Vat+ les + m2? + Ma — 2 à le, 3 ee ee . . DR L1 e . 6 0-p 30 v'ue . . . .
ps, ve 9 — 3 Mi + 3 Ni 41 — 1 Am: — 12 4 NUE e œ- à PTE 2 ?
V z; He me nr — 88 — lis 3
Quant à la valeur de B, elle sera donnée par cette formule:
1 1 1 1 [Br (eine. ah) | 1 2 (&i 1 1
ZE] 26 nu + SES is .. + gr ur)
Le nombre des opérations qu’on aura à faire par cette méthode d’inté-
mm OU
gration sera toujours limité. Les réductions à exécuter, d’après le X 2, sur l'intégrale | dz
Vai+ls + m2+rnz ?
dans le cas où la fonction
+ + me + ne se décompose en deux Run (+ pe) (+ re +5), qui vérifient les conditions (1) et (2), seront en nombre inférieur au plus
petit exposant des facteurs premiers dont se composent les termes de la fraction
pr —2s5+92V 8(p? — pr +s)
V s(p?— pr+s) ,
réduite à sa forme la plus simple. Le nombre des systèmes
br Mis No;
L,Mm,n,,
qu’on aura à calculer, d’après le X 3, en traitant l’intégrale
2+ B Î an de V at +28 + me + nz
où la fonction
+ + me + nez ne se décompose pas en deux facteurs (2 + pe) (À + ra +5),
vérifiant les conditions (1, 2), ne surpassera pas celui des solutions entières des équations Y3— 3 XZ— m° — 3n,
Z3(4 X°Z — X?Y?— 18 XYZ + 4 Y° + 27 7°)
= N (4 Un — Pom? — 18 Imn + 4 m° + 27 n°),
qui ne peuvent être qu’en nombre limité; en effet, d’après la dernière équation, le carré de l’inconnue Z doit être diviseur de
(4 on — lm°— 18 Imn + 4 m° + 27 n°),
et tant qu’on fixe la valeur de Z, les deux autres inconnues se déterminent complétement par ces équations.
Pour montrer sur des exemples l’usage de cette méthode, nous allons chercher, en premier lieu, l'intégrale
x + À dx Vai+a+z+i
Comme la fonction
4 2 LS DEL EGRS
n’a pas de facteur rationnel du premier degré, on réduira cette intégrale, d’après le A 1, en posant
Vat+n+x+i—x2—1 De cette façon on obtient A 1 z + 2 À 1 7 = dt = >| = — de + — log z.
(7) Vañ+a+x+! 2)Vz1 22 2% a 8
En remarquant que la fonction
H—22%— 2 ne se décompose en deux facteurs rationnels du second degré
(2° + pe) (8 + re +5) qu’en prenant P=1, r—=—1, s—— 1,
et que ces valeurs ne vérifient pas la condition
8 (D? — pr +5) — nombre carré,
on passera immédiatement à la recherche de l’intégrale
g+922A VA I Z
dz,
— b97 — suivant le X° 3. Pour cela on calculera les nombres bo Moy Mo)
d’après les formules (3), en prenant 1=0, m— —9, n— —]1.
L’on obtiendra de cette manière
L= 0, m=—2,n,—=— 1, ré Mis, 4m — :} L=—4,m—= 4, nm——1, be M 4, nl
En remarquant que le dernier système des nombres
ls My, Ng est identique au second h, M, M;
on s’y arrêtera, et on conclura tout de suite que l’intégrale
2+922A —— ds Vai9gg ?
pour une valeur de 24, convenablement choisie, est exprimable en termes finis. Comme dans ce cas
on aura, d’après (4),
2 23 +2 À de — log (V3) + Log (V2, Va),
Vai—92— 2
où les fonctions CA ? lo » Z3
en vertu de (5), se déterminent ainsi:
1 1 1 re lo° — à loto + 3 M0
