VR).4, (@ VR).4, (@ VR
Cette formule va nous servir à calculer v, d’après CARRY lorsqu'on connaîtra la fonction Ÿ, (VR).
En abordant la détermination de la fonction (A (VR), nous remarquons
que dans les équations
Lu 0,8, 0,
ainsi que dans les équations Po (æœ VR) — 0, Po (a? VR) Lou 0,
peuvent se trouver des racines communes, ce qui, comme nous le verrons,
complique considérablement la recherche de la fonction ( (VR). Nous examinerons ces cas singuliers après, et maintenant nous allons nous occuper
de la détermination de la fonction (Us (V R) dans le cas général, quand ni les équations
ni les équations ,(@VR)=0, p,,(a VR)—0
n’ont de racines communes.
D’après (4) nous avons 4 (VR)=e, (VR).9,, (a VR).®,, (@ VR), 4, (VR)=®,,(VR).p., (a VR).,,(& VR).
En déterminant à l’aide de la seconde de ces formules les valeurs des fonc-
tions Pis (ce VR), Po (ϡ VR)
et les substituant dans la première formule, nous trouvons
Doi (e VR). Yo (2 VAR). P, (YR) :
Poe (VR).92 (« VR). Po (a? ÿR)
ce qui, en vertu de l'égalité 3 . (VR). Po (A VR).9..., (a? VR) =, ;
se réduit à ce qui suit
CE à VER). D (a? VR). Po (VR). Po—2 (& VR). Pos (a? ŸE) “ 5 Do Comme l'équation Vos nus 0,
par l’hypothèse, n’a pas de racines communes avec l'équation
Ÿ = 0 à 0—1 2 la fraction
Pb (VR).Po 2 (x VR). Po—2 (a? VER)
ne peut devenir infinie pour aucune racine de l’équation,
et dans ce cas, comme on le sait, on peut trouver toujours une fonction entière, de degré inférieur à celui de VAE qui pour toutes les racines de l'équation
aura la même valeur que la fraction
Pp (VER). Po (x VR). Pp—2 (a? VR)
Do
pour l’une quelconque des trois déterminations du radical VAR. Dans le cas présent nous déterminerons la valeur du radical V2 de la manière suivante: d’après l'égalité
Pi (VR).@,, (œ VR).®,., (a? VR)—v
chacune des racines de l’équation
doit annuler la fonction ps (VR) au moins pour l’une des trois déterminations du radical qui se distinguent par les facteurs æ°, &, «?; et comme, par l’hypothèse, les équations
he (x VAR) AS Di (a? VR) — 0
— 594 — s n’ont de racine commune, l'égalité ?1 (VR)=0,
pour chaque racine de l’équation
n'aura lieu que pour une seule détermination du radical. C’est avec cette valeur du radical que nous considérerons la fraction
PP ÜVR).9p—2 (a VR) pp—a (a? VAR)
Do
et soit, dans cette hypothèse, Z la fonction entière de degré inférieur à celui de TE qui pour toutes les racines de l’équation
(supposées d’abord distinctes) a des valeurs égales à celles de la fraction. Pour cette fonction Z, comme il est aisé à voir, la différence
d, (& VR).4,, ( VR).L—4, (VE)
s’annulera pour toutes les racines de l’équation
et pour chacune des trois déterminations du radical VR.
En effet, en vertu de l'expression ci-dessus de la fonction 4, (VR), cette différence se représente ainsi
Po (VR). Pp—2 (a VE) Pp—2 (a? “ )
Ve
4, @ VR).4,, (@ VR)[L— ce qui après la substitution des valeurs des fonctions 4, @VR), 4,, @VR), selon (4), et après le remplacement du produit 9, (VR).p,, (a VR).@, ,(& VE)
par ®,,; d’après (3), se réduira à ce qui suit
Pi (x VR).9,., (a? VR) pus (VR).v,,.D,
ou ?p (VER). Po—2 (& VR) Ph—2 («2 VR) |
Do 2
En examinant cette expression de la différence d, (@ VR).4,, (@ VR).L—4, (VER), nous remarquons que, pour les racines de l’equation Pi (VR).9, @VR).p. (@VR)=0, ,—0, l’un de ces facteurs, à savoir (a VR).@,, (& VR),
s’annule si l’on attribue au radical VR celle de ses valeurs pour laquelle l'équation Poe (VR) 0
n’est pas vérifiée; dans le cas contraire, en vertu de la propriété de la fonction Z, s’annule son dernier facteur D. On voit donc que, pour chacune des
trois déterminations du radical VR, la différence db @VR).4, (@VR).L—4, (VE)
s’annule pour les racines de l’équation
En vertu de cela il n’est pas difficile à voir que notre différence, étant réduite à la forme X+YVR R+ZVR'R—=o(VR), contiendra tous les trois polynomes X, Y, Z divisibles par la fonction LE En effet, d’après le $ 2, les polynomes X, Y, Z qui figurent dans l’expression
X+YVRRi+ZVR?'R,—=o(VR)
doivent être divisibles par æ—x,, si 4—x,, annulant les expressions o(VR), p (æ VER), o (a? VR), ne réduit À à 0, ce qui aura lieu pour toutes les racines de l'équation v, = 0 (car autrement, les équations
®,,(@ VR)— 0, p,, (a VR)=0, contrairement à l'hypothèse, auraient
une racine commune). Donc, d’après ce que nous venons de démontrér à
l'égard de la différence , (@ VR).4., (@ VR) L—4, (VR),
les polynomes X, Ÿ, Z qui figurent dans son expression par la formule X+YVRR +EZVRER,
— 0 étant supposées inégales, par
doivent être divisibles par chaque facteur linéaire de la fonction 0, et par suite, les racines de l’équation CAE cette fonction elle-même. En posant
X s Mers P,
Doi Vi Doi nous parvenons ainsi à l'égalité 4, (@VR)4, (@VR)L-L(VR)=Mo,,+No, VRRÿ+Po, VRERe, qui donne l’expression suivante de la fonction cherchée (US (VR):
(8) LV R)=4, a VR) D (@VR).L-(M+NVRRE+ PVR R)e
où L, M, N, P sont certaines polynomes dont le premier, comme on l’a vu, est de degré inférieur à celui de CARE , . : 3
Nous avons trouvé cette expression de la fonction d (VR) en suppo-
sant inégales entre elles toutes les racines de l’équation Vi 0;
mais il n’est pas difficile à voir que tout cela, par le passage à la limite, s'étend au cas de racines égales. Quant à notre hypothèse concernant les équations
Un 0,9
p—1 2 = 0, foi (æ VE) = 0, ? ( VE) = 0,
d’après laquelle ni les équations
ni celles-ci P,— (@VR)=0, 9, (& VR)—0,
ne doivent avoir de racines communes, il est aisé à montrer qu’elle aura toujours lieu, si le produit
Ye @ VR).4,, (@ VR)
. » 3 figurant dans l'expression trouvée pour Ÿ. (V R), n’a pas de facteur commun avec la fonction v,;, qui evidemment appartiendrait aussi à la fonction
DEEE RERO
En effet, nous avons d’après (4) Vo (æ VR) (7 (a? VR) = == Po (o VR) ‘ Po (a? VE) F qu (VR) ; ASE (a VR) ; , (a VR),
et, en remplaçant, d’après (3), le produit
P,— (VR).p,, (a VR).p,, (& VR)
par v,,, nous obtenons
be, (œ VER) .Ÿ (o VR) = P, à (æ VR). | (VAR). Por (VR).0, ; d’où il est clair que le produit b., (a VAR).p,, (&@ VAR)
et la fonction v,, auront le facteur commun æ—x,, si æ — x, est une ra-
cine commune des équations
Il en est de même, si x — x, est une racine commune des équations fo TP = 37 D\— Pi VR)—=0, p,,(& VR)= 0.
Pour s’en convaincre remarquons que, A désignant la détermination du ra-
. 3 ss : :
dical VAR avec laquelle ces équations ont lieu pour x — %,, NOUS POUVONS les présenter ainsi:
P,1 (xA)—=0, p,, (“A)—0.
D'où il est clair, que le produit 4, (@VR).4,, (@ VR), qui est égal, comme nous l’avons vu, à
Pi (@VR).p,, (& VR).e,, (VR).0,
s’annulera pour + — x, et pour toutes les déterminations du radical VA
VR=A, aA, & A:
ce qui ($ 2) suppose que cette expression contient en facteur une certaine puissance de æ—x,. D'autre part, on voit par la formule
Por (VER). Po (& VR). Po (&? VR)= vs
que la réduction à zéra de la fonction Pa (VR) pour x — x, entraine la divisibilité de la fonction entière v,, par la même différence x — x,..
$ 12. En vertu de ce qu’on vient de démontrer nous concluons que l'expression de la fonction 4, (VR) par la formule
4, (@VR). 4 (@VR).L—(M+NVRR}+PVRR,) v., aura toujours lieu, si le produit
d., (& VR).4,, (a VE)
D'autre part, d’après la proposition du $ 10, la fonction Y (VE), après avoir été réduite à la forme
qui y figure n’a pas de diviseur commun avec la fonction v,,.
X+YVRR'+ZVR'R,, doit avoir tous les termes | X, YVRR?, ZVR?ER,
de degré ne dépassant celui de — et présenter elle-même l’expression de
degré ne dépassant celui de + Si cela aura lieu pour un seul système
des polynomes Z, M, N, P qui figurent dans la formule
bd, (VR)=4, (a VR).p (VV R)L— (MAN VRRË+PVRER)0,
(en comptant identiques ceux qui ne diffèrent que par un facteur constant) la fonction y (VR) sera donnée immédiatement en calculant ce système des polynomes Z, M, N, P. Mais si cela aura lieu pour les divers systèmes des polynomes Z, M, N, P, il faudra choisir parmi eux le système convenable. Les moyens nécessaires pour y parvenir seront indiqués plus bas, mais quant à présent nous allons montrer qu’une pareille complication dans la détermi-
nation de la fonction ge (VR) par la formule
P(VR)=Y, (GVR).4 @VR) L—(M+NVRRE+PVRR,) v,
ne se présentera que dans des cas exceptionnels.
A cct effet nous remarquons que, d’après 8, les termes de l'expression p1(VR=X+YVRR}+ZVRIE,
seront de degré ne dépassant »,, et, par suite, la fonction ®,, (VR) sera représentée par la formule suivante:
X:9, (VR) = A4,2"-1+ À, PRENT ae de An, + (Ba Ba + Be) VR RS
HA TA Sr UN à en AE 0 FU à mu Me à Cns 1-X) VR'ER,,
où, d’après $ 9, à, X désignent les degrés des expressions VX, BR, VR'R,. Or, comme la fonction pi (VR) peut être ($ 8) divisée par chaque facteur
constant, l’un des 3%, ,—À1—X + 3 coefficients
AA LAS E D, D; .. * Bn,—à)
Y Ci (3:38 ... noi —N
peut être égalé à 1 et, par suite, dans l’expression de la fonction pi (VER)
il ne restera que 3n,, —À — \ + 2 coefficients inconnus.
D'autre part, en portant dans la formule
Poi (VER) 4 Po (œ VE) Hi Po (a° VER) a 0
les valeurs des fonctions ®,, (VR), P,, (& VR), P, à (& V'R) tirées de
(9) et développant en série les radicaux VR, hs, VRe Æ,, nous trouvons
pour la fonction Pis l'expression de la forme
Von — K, dpi + K, dpi 1 D ES AE on pre K3n,,—1-\+2 at DEA,
À N—-3 + Kn,,—1N\+8 LT RE où K,, K,, K,,.... sont fonctions des coefficients qui figurent dans l’ex-
pression (9) de ps (VR). Mais d’après & 10 la fonction v , doit être
RS
LA . R Ÿ x * . LEE #
de degré ne dépassant celui de + ou celui de ‘re g par consé- HA
quent nous aurons:
KO, = 6, Kin,,—1-\+2 = 0,
ce qui présente autant d'équations qu’il y a de cocfficients à trouver, d’après
la remarque ci-dessus, pour déterminer la fonction ps (VR); et alors cette
expression de v,, 8e réduit à la forme:
/ — %, 1 = Fan, M'A SR
D'où l’on voit que la fonction v, , sera en général du degré À+\'—2 et que son degré ne peut s’abaisser au-dessous de cette limite que dans ce cas particulier, où l’équation
K3n,—1—1"+3 = 0 se vérifie en même temps que les équations X, = 0, K, = 0, + 6 K3n,,—1—\+2 = 0.
En passant à la détermination de la fonction Ÿ (VA) = X + YVR, Rÿ + ZVRFR, nous remarquons que d’après le $ 10 tous ses termes, pris séparément, doi-
