CONTINUES ALGÉBRIQUES

Lettre adressée à OÙ. Braschmann et lue le 18/30 seplembre 1865 Oans la séance de la Sociélé Oathématique de Oloscou.

(Maremaruseckiä Côopaurr, TOME I, 1866 r., crp. 291—296. Journal de mathématiques pures et appliquées. Deuxième série, X, 1865, p. 353—358.)

diet ae à

Æ ACTE LMNT 18 re CMRTISRE TIR ItEE LS + + 1 .

Er — :

Sur les fractions continues algébriques.

Le 13 septembre 1865.

Monsieur,

Parmi les diverses applications des fractions continues algébriques qu’on à faites jusqu’à présent, celle que l’on rencontre dans l’interpolation d'après la méthode des moindres carrés se distingue par un caractère tout particulier: dans ce cas les fractions continues servent à déterminer les termes dans certains développements de la fonction en série. Cette interpolation et toutes les séries qui en résultent n’embrassent encore qu’une partie minime du champ d’un tel usage des fractions continues, et qui est peutêtre aussi vaste que celui d’usage ordinaire de ces fractions dans l’analyse. En effet, à l’ordinaire elles servent à trouver les systèmes des polynômes X, Y, qui rendent la différence uX — Y la plus proche possible de zéro, en supposant bien entendu que la fonction « soit développable en série ordonnée suivant les puissances entières et décroissantes de la variable, et. que le degré d’approchement se détermine par sa plus haute puissance dans le reste. Pour résoudre la question concernant l’énterpolalion d’après la méthode des moindres carrés (Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, 2° série, t. II, p. 235), il s'agissait de faire tendre le plus possible la différence de la forme wX — Y, non pas vers zéro, mais vers

une certaine fonction (vers 4 d’après la notation du passage cité), et

c’est ainsi qu'on est arrivé à un nouvel usage des fractions continues algébriques. Or ce cas particulier d’approchement de l’expression 4 X — Y à une fonction donnée n’est pas le seul qui se présente dans l’analyse et qui demande un nouvel usage des fractions continues algébriques: quelle que Soit la fonction donnée v, la détermination des polynômes X, Y, qui rendent l'expression uX — Y la plus proche de », se résout aussi à l’aide des fractions continues, et par des formules analogues à celles que l’on trouve dans

l’interpolation d’après la méthode des moindres carrés. Cette question sur la 39*

détermination des polynômes X, Y dans l’expression uX— Y est d’autant plus intéressante, que par sa simplicité elle se place immédiatement après celle que l’on résout ordinairement au moyen des fractions continues algébriques, c’est-à-dire où il s’agit seulement de rendre l'expression uX — Y aussi proche de zéro qu’il est possible.

Soit

in —do di 7 T2 +.

la fraction continue qui résulte du développement de la fonction , et

P; __4o Ps __Jon+1 Ps __PrG+P Q1 1? @ UD ? Qs Q@a+Q "°°"

ses fractions convergentes. Si l’on convient de désigner par £ la partie entière d’une fonction, les polynômes X, Y, qui rendent la différence u X— Y la plus proche de la fonction v, seront donnés par les séries suivantes:

X — (Eg Q,v— 9, EQ, v) Q, — (Ea Q,v —BEQ 0) Q +... Y= — Ev + (Eq Q,v—q EQ,v) P, —(Eg:0,v — 4 EQv) P+....;

Ces séries sont finies ou infinies en même temps que la série des fractions

convergentes Pi P2 P3

Qù 7 Or et leurs termes, comme il n’est pas difficile de le remarquer, présentent des polynômes dont les degrés vont en croissant. Arrêtées aux termes convenables, ces séries fournissent pour X, Y des valeurs entières et de degrés plus ou moins élevés, suivant le nombre de termes que l’on prend, et en tout cas ces valeurs de X et Y sont celles qui rendent la différence uX— Y aussi proche de v que cela est possible avec des fonctions entières de mêmes degrés que X et Y, et aussi avec des fonctions de degrés plus élevés, mais inférieurs aux degrés des fonctions que l’on obtient en prenant. dans les expressions de X et Y un terme de plus.

Les valeurs de X et Y qui jouissent de cette propriété remarquable résultent du développement de la fonction » suivant les __—. des fonc-

tions E,=uQ, —P,, R,=uQ,—?,, R=uQ;—2;,....

dont les degrés sont au-dessous de zéro et vont en décroissant. Un tel développement de la fonction v est facile à obtenir. Si l’on Ôôte de v sa partié entière Æv, et que l’on divise le reste par R,, le nouveau reste par A, et ainsi de suite, il est clair que les quotients de ces divisions, multipliés re-

spectivement par À,, 2,...., et ajoutés à Æv, donneront la valeur même de la fonction v exacte au dernier reste près. Or le développement de v que | l'où trouve de cette manière présente, comme il est facile de s’en assurer, la série suivante:

0=ÆEv+(Eg Qv—qEQv) R, — (kg, 0,0 — 4; EQ,0) R,+....

où les termes sont certaines fonctions dont les degrés vont en décroissant. Dans le cas le plus ordinaire, où les dénominateurs 4, 4, 43, -..de

la fraction continue

nid j:

RER Late, à

nl '

sont tous du premier degré, cette série se simplifie beaucoup; tous les facteurs qui accompagnent les fonctions X,, R;, R,,.... deviennent constants, et leurs valeurs se déterminent très-aisément : ces facteurs se réduisent aux produits

7 SET. A PET AIN POÈTE où À,, As, A3,.... désignent les coefficients de x dans les dénominateurs

Qi» das Be €t La, Lo, L,,..:. les coefficients de - dans les produits

Ge, Qi, Qui

D'où résulte dans le cas en question la série suivante, pour le développement de la fonction v:

v—=Æ+A LR —4,L,R,+....,

et ces valeurs de X et Y, pour rapprocher la différence #X — Y le plus

possible de v:

PE A L,Q,—4,1,Q,+...., Y=—Ev+A LP, —A.L,P;+:...

Dans le cas où la fonction v peut être représentée par la somme

K, K, P (x) + LS RE 2 POV is, T—L L—t EL — 3

®P (x) étant une fonction entière, et KX,, K,, K,,...., 4,42, %,,.... des constantes, on trouve, en posant Q, =, (x), @—=4,(x), Q—=14,(æ). :.., les expressions suivantes des quantités Z;, La, Li,....:

| L,=Kh(&)+K,, (2) + Ki (&) +....=2XK;4, (&,), L, = K, 4, (&,)+K,\, (x) + Kid, (ts) +....=2XK,;{,(x;), L, = K, (4, (a,) + K,4,(t) + K,4 (ts) +....—=2ZK,;,(x)),

Pour ces valeurs de Z,, Z3, L,,.... les séries précédentes deviennent o— Ev+A2K;4,(x) R, — 4,2K;%,(&) Rs + A5 2K;4, (2) R— A, EK; 4 (@s) Qi — 4, 2K;% (x) Q + 43 2K; Va (t) Qu—. Y=— Ho + A, ZK,;4, (x) P, — 4,2K; 4) Ps + 4; ZK;4, (x) P—

ba |

où l’on a La) =Q, Lr=@, hr) = Qu...

NT VE 1 Dans le cas particulier où la fonction v se réduit à un seul terme =

on trouve, d’après la première de ces formules, le développement suivant de

er — À, Ÿ, (a) a) R, — A, %, (a) y + À, 4, (a) ER, —

où chaque terme présente le produit d’une fonction de & par une fonction de æ, comme cela a lieu dans la série qui résulte du développement de (x — a)" d’après la formule de Newton.

En faisant dans les formules précédentes

pe F'(x) Us F'(t2) as Fan) __ ER 5 a

on trouve les valeurs des polynômes X et Y par lesquelles la différence

s'approche le plus possible de D, et comme un tel rapprochement

constitue la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme X réduise au minimum la somme