À L'AIDE

DES FRACTIONS CONTINCES,

TRADUIT PAR C. A. POSSÉ.

(Hparoxenie «8 IX-my romy Sanncoxrs Mmunxparopckoï Axaremin Hayx®, N 1, 1866 r.)

@T ET . LE ss + VA 8 a ‘

Sur le développement des fonctions en séries à l’aide des fractions continues.

$ 1. Soit

une fraction continue algébrique, les dénominateurs

VE 2) ss ans

étant des fonctions entières de la variable x, w la valeur exacte de cette fraction et

Fr Fe Fo

ses réduites, qu’on obtient en arrêtant le développement

U=G+— . 1 To di + — Te —+ .

successivement à Gp; 41, d,-... D’après les propriétés des réduites, pour

déterminer les valeurs des différences CHÈRE mis ON ct de 2 on à la formule jose (— |} del 7 QnlOn-11 + En On]?

uw — —

e, désignant la valeur de la fraction continue

In+1 +

Los: SE ARE RE

et représentant, par conséquent, une fonction de degré négatif.

On voit par cette formule que les fonctions uQ, — P,, uQ,—P,, uQ;— P3,....,

qu’on obtient en multipliant les différences

par

Q; Q Qss: RE

satisferont à l’égalité suivante:

Qn-11 + En On

Nous allons nous occuper maintenant des séries formées à l’aide de ces fonctions. Pour abréger, nous représenterons ces fonctions par

R;, Le, his, en posant uQ, —P,=R,, uQ,—P,=R,, uQ;—P3= R3....

$ 2. A l'égard des fonctions À,, R,, R,,.... en vertu de (1), on aura d’abord l'égalité (2) ER, res HAT

Qn+41 + En On

D'ailleurs, Q,, @, @:,...., les dénominateurs des réduites P3 P; P; Q:° Q2° Q;°'

représentent une série des fonctions de degrés croissants; donc, il est clair que dans la série

Ro Re

toutes les fonctions seront de degrés négatifs, qui vont en décroissant. D’après cela, ayant une certaine fonction v, développable en série procédant suivant les puissances entières décroissantes de x, nous pouvons obtenir, pour représenter la fonction v avec une approximation plus ou moins grande, une série dont les termes seront composés des fonctions entières de æ multipliées par les facteurs Z,, R,, R3,....

En effet, si nous convenons de représenter généralement par le signe

E 1 partie entière des fonctions, la différence 0 — Fo représentera une