BOT PP PP NT

fonction de degré négatif. En la divisant par À, nous obtenons une fonction entière ©, comme quotient et un reste r, de degré inférieur à celui de X..

. En divisant r, par À, nous obtiendrons aussi une fonction entière o, au

quotient, et le reste r, obtenu ainsi sera d’un degré inférieur à celui de Z,. En continuant de cette manière les divisions des restes successifs par K,, R,,.... nous trouverons une série de quotients |

y Ways Dpevee) représentant des fonctions entières, et une série des restes RO JE MTS

dont les degrés seront inférieurs à ceux de Z,, 2,, R,,...., et toutes ces fonctions seront liées par les équations o — Lo = v, ER, +7, = 0% Ra + "= 03 ht Ts, rai —=% BR, +", Or ces équations, après l'élimination de r,,r,,....7,,, donnent la formule suivante pour la représentation de la fonction v

(3) = Po+o, R+0,R,+0,R,+....+0,R +7.

Le degré de r,, étant, d’après ce qui précède, inférieur à celui de 2, cette formule donnera, pour la représentation de v exacte aux termes d’ordre de À,,, l'expression suivante:

— Lo +0, R,+0, 8, +0, R,+....+0,2,,

®,, O9, O3, . . . désignant des fonctions entières. Toutes les fois que la fraction continue

sera illimitée, la série des fonctions LE, Re, Bye.

déterminées par ses réduites, le sera aussi et par conséquent on pourra aug-

menter indéfiniment le nombre » dans l’expression de v, trouvée ci-dessus, ce qui nous conduit à la série infinie suivante pour le rate de v:

EE A R, +0, À, +0, Ru.

$ 3. Dans chaque cas particulier, les fonctions ©,, 6,, 6,,...., comme on à vu, peuvent être déterminées à l’aide des divisions successives; nous allons donner maintenant leur expression générale d’après laquelle chacune d’elles se détermine immédiatement.

Pour cela, nous allons démontrer d’abord que les degrés des Rte

G),, Wa, OP

sont respectivement inférieurs à ceux de q,, %, Q3,+..., qui figurent dans la fraction continue

En effet, d’après le $ 2, ces fonctions représentent les quotients dans les divisions de o— Lo, PE PTT par R,, R,, R

ge.)

. 2. È Sa h] , or, d’après ce qu’on à remarqué à l'endroit cité, v — Ho est de degré moindre que 0, et r,,r,,.... sont de degrés inférieurs à ceux de À,, R,,....; donc, il est clair que les fonctions |

seront de degrés inférieurs à ceux des expressions

1':B7 8 R° ER; Rs

D'ailleurs, en vertu de (2), on trouve que les degrés de 1x Rs ae sont égaux à ceux des fonctions

ne a hs :

Q2? Q3? Q,? ds AL IERE, | par conséquent les degrés de

NT PRE CT EN TPS PR PSE PRE PT ee ee

seront égaux à ceux de Q,, 3, HEC TER CRE

Or, en remarquant que @,, Q@s, @,,.... désignent les dénominateurs des

fractions réduites sil Fe ds Ge 00

qu’on obtient en arrêtant le développement

U= + — Lo 1+— 1 Lo + — ds +.

successivement aux dénominateurs q,, 4, Qs,. + « ., nous trouvons que Qs Q1 @Q: @2

Q,=4;, Q, DT 9, Fr MM: RESTE Far

Il s’en suit que les fonctions

Q,, %3, La 22 29 Q.? Que L By Rs R° BR.

seront de degrés égaux à ceux des dénominateurs q,, @, Qs»....; done, les fonctions [A] (A) o

seront des degrés moindres que celles-là.

$S 4. Passant à la détermination des fonctions

M ve Ve TC OR remarquons que la formule (3), après la multiplication par Q, donne Q,v—=Q, Ev +0, R, Q,+0,R,Q0,+....+0,R,Q,+r,0,.

Le degré de r, étant moindre que celui de X,,, et ce dernier, en vertu

de (2), égal à celui de ee, le terme r, Q, ne contient pas de partie Qn+1

entière; quant au terme Q, Fo, il représente évidemment une fonction

entière. Il en suit qu’en déterminant la valeur de Eo, v, d’après la formule précédente, on trouvera: À

EQ, v — Q, Lo + Bo, R, Q, + Bo, R,Q, +. ne + Eo,R Q,,

et retranchant cette formule de la précédente, on aura

Q.v—EQ,v—0, R 0,— Bo, ER, Q,+ 0,8, 0,— Bo, R,Q,+.... +0, R,Q,—0,R8,0,+r,0.

En multipliant cette formule par qg, pour en tirer la valeur de

Fa, (0,o— Bo, v), nous arrivons à l’égalité suivante: (4) E, (@, v— EQ )= —E (oi R,Q, Lo, R,Q Bale Q, Ro, R,Q c)

nontn 0)

Quant au terme Fa, r, @,, on voit de suite qu’il se réduit à zéro; car r,, est

de degré moindre que 2,,, et À, en vertu de (2) de degré égal à celui de

ARR done, le degré de q, r, @, sera RS que celui de q, Q, Ce et

par conséquent négatif, par ce que q, Q@, a — L ÙQ,,,=0,4 +0,

représente une expression du degré zéro.

$ 5. Pour déduire de l'égalité obtenue (4) une formule servant à la détermination de la fonction w,, nous allons calculer les valeurs des termes qui figurent dans le second membre de cette égalite. Remarquons dans ce but que d’après (1) uQ,=?,+ a

Qn11 + En On

Multipliant par Q,,, 5 étant l’un des nombres 1, 2, 3,....(n— 1), #, NOUS aurons are uQ, Q,—=?, en = je

Qn+1 + En On

D'ailleurs, remarquant qu’en vertu de notre notation

L ve uQ, ST Ps nous trouverons uQ, =R, + Ph

Substituant la valeur de «Q,, tirée de là, dans la formule précédente, nous avons

8,0, + PQ —= À Q, site 1}—1 Qm

Qn1 + En On?

d’où découle la valeur suivante du produit R,, Q,:

Qn+1 + En On

TS A Ge a QG dE GE So DS

Déterminant à l’aide de cette formule la valeur de Bo, ER, Q, et remarquant que ©,, (PF, @,, — P,, Q,) est une fonction entière, nous obtenons

110, Eo, 8,0, —0, (8,0, —2,0)+ KE en.

Or en considérant la fraction (— 1} loy On Qn-11 + En On ?

où le degré du facteur ©,, d’après le $ 3, est moindre que celui de Ti nous remarquons que le degré du numérateur y est inférieur au degré de Am Vm €t Par conséquent à celui de Q,,,,, par ce queQ, ,, —Q,, tr Q, Donc, cette fraction représente une expression dont le degré est moindre que celui de

Om+1

Qn +1?

et par conséquent, dans notre cas où » ne surpasse pas », le degré de cette expression sera négatif, car pour » — ou < n, le degré de la fonction

‘ ere :

On ne Surpasse pas celui de @,,,. D’après cela, dans l’expression trou-

vée ci-dessus de Eo., &,, @, le terme

E CI Toy» Qm

Qn+1 + En On

s’annule et elle se réduit à la suivante:

E,2, Q, ri ne, Q,).

Or en vertu de (5)

R,0,=0,(20,—12,0)+ Ten;

Qn1 + En On ?

donc, d’après ce qu’on a trouvé ci-dessus

ki, Q, sus Lo, Ly Q, ue Den On,

Qn-11 + En On ?

d’où l’on aura pour déterminer la valeur de

Ex, (0, LB @, XW: Eo, Lin Q)

la formule suivante :

(6) Es, (u, y @ Va Lo, Ly Q) éd ER .

Qn-11 + En On

C’est à l’aide de cette formule que nous trouverons les valeurs des termes du second membre de l’égalité (4), ce qui va nous servir pour la détermination de l’expression de la fonction o,,

$ 6. Nous avons vu ($ 5) que la fraction

(— 1} om Qm Qn41 + En Qn

représente une expression, dont le degré est inférieur à celui de qu; done, ie n+1

la fraction (— 1 Loy Qm An Qn+1 + En On

sera de degré moindre que

An Qm-11

Qn+1 ?

An Qm+1 te Qm 1-1 On. 1 É Qn In + Qn—1 Qn + 7 PA

D'où il suit évidemment que le degré de cette fraction, à partir de »m—1 à m—n— 1, sera négatif. Donc, pour toutes ces valeurs de m

(— 1) 1 Qn On Qm GE Qn+41 + En On à

et en vertu de l’expression trouvée ci-dessus de

Fe, (0, BR, Q, de: Lo, E, a.) nous tirons cette conséquence que pour

Mm= 1, 2;:... NA on aura

Es, (v,, 2,0, — Bo, 2, 0,)=0.

D'ailleurs, en faisant dans la formule (6) |

M=N, nous aurons

Ba, (w, B, Q, nine Eu, EP, Q,) En E = LE Inn On.

Qn41 + En Qn

Pour en tirer la valeur de

Ba, (0,2,0,— Bo, R,0,)

nous remarquons que l’expression

E (— TL qu On Qn

Qn+1 FEn On ? ou CNE

après la substitution de @, q,-+ @,, au lieu de Q se réduit à

(— 1" quo, Qn Qn In + Qn—1 + En On?

ce qu’on peut aussi écrire de la manière suivante:

tee

EC e,—u 8, *

Qn—1 An Tin Fr

Quant à cette dernière, elle se réduit évidemment à (— 1)" 0,,: car le

degré du second terme de l'expression sous le signe E est négatif, vu que ow,, est de degré inférieur à celui de q,, le degré de Q,, moindre que le degré de Q, et celui de e, négatif.

En vertu de ce qui précède nous concluons que l’expression

Ez, (s,, 8,0, — Bo, 8, 0,) se réduit à zéro pour » = 1, 2, 3,....(n— 1) et devient égale à ET, pour »# — n; donc la formule (4) se réduit à l’égalité suivante Ba, (0,0 —E9,»)=(—1)"""0,, qui donne pour la détermination de o,, la formule (7) o,=(—1) 7 É,(0,0—E0,v)

En y faisant Pont dures

nous trouverons les expressions de tous les facteurs 04:04: Qi er.

qui figurent dans le développement de v d’après la formule E v= Lo + wo, À +0, +0, R;+....

La différence

Q,0—EQ,

à l'aide de la formule (7) se ramène à la recherche de la partie entière dans le produit de g,, par la partie fractionnaire de @,, v. D'autre part, en exécutant le caleul dans la formule (7) on aura

o,=(—1)"" [Eg, oo — BE (a, Bo,v)];

et, 4, étant une fonction entière, on obtient E (a, Eo, v)=4, Eo, v,

o,=(—1)7* [E, 9,0—9, Boo].

et que le terme q, EoQ, est le produit de q, par une fonction entière, nous tirons de la formule précédente cette conclusion que o,, affecté du signe

+ où —, représente le reste de la division par q, de la fonction Es, Q,v, c’est à dire, de la partie entière du produit g, @,v.

$ 7. Le développement de v à l’aide de la formule

0 = Po +, BR, +u, R,+0, R+....

que nous avons indiqué, mérite surtout notre attention parce qu’il fournit la solution de la question suivante:

«Déterminer les polynômes X, Y pour lesquels la différence uX — Y représente la fonction donnée v avec le plus grand degré d’exactitude qu'on puisse atteindre, lorsque le degré du polynôme X ne surpasse pas une limite donnée.

Les polynômes X et Y, pour lesquels la différence uX— Y s'approche le plus de zéro, s’obtiennent, comme on sait, immédiatement à l’aide du développement de « en fraction continue et c’est en vertu de cela que :es fractions continues algébriques donnent le moyen de résoudre diverses questions de l’Analyse. Les polynômes X et Y, pour lesquels la différence uX— Y s'approche le plus non pas de zéro mais d’une certaine fonction donnée, ne s’obtiennent pas immédiatement par le développement de « en fraction continue, mais, comme on va voir, se déterminent par des séries d’un genre particulier, dont les termes peuvent être trouvés à l’aide du développement de « en fraction continue, ce qui ouvre pour les fractions continues algébriques un nouveau champ d’applications, dont on peut voir un exemple dans notre Mémoire sur les fractions continues, contenant une formule d’interpolation par la méthode des moindres carrés.

du à mn state ie ide ie PAR MR de 0 éd à dé RC URS, GS SES

Soit » la limite du degré d’un polynôme X qu'on cherche à déterminer, en même temps que le polynôme Y, sous la condition que la différence uX— Y s'approche le plus d’une fonction donnée », et soit Q,, dans la série des dénominateurs

Fier ra LEA T ei À RU es

des réduites

le dernier de ceux, dont le degré ne surpasse pas #. Dans cette supposition le polynôme X sera de degré inférieur à celui de Q,,,. Désignant par F, et p, le quotient et le reste de la division de X par @,, par F, , et p,, le quotient et le reste de la division de p, par Q,, etc. et remarquant que le reste de la division par Q, = 1 est zéro, nous aurons la série suivante d'équations:

donnant par l’élimination de

On? Gore” Le et 293

l'expression suivante du polynôme cherché X:

(8) X=F, Q+EF, QE 9, +Fr0, où M tes Peru

sont des fonctions entières inconnues.

Ces fonctions étant les quotients des divisions des fonctions

PE Pose On» X

Q@,, Qu ee Qu @,:

leurs degrés seront respectivement égaux à ceux des expressions

par

Po 03 Pn X

Qu Qs 2" On On 40*

Or les fonctions Pas Paye + 0

étant les restes des divisions par

Qu Os... Q leurs degrés seront moindres que ceux des @; Qu: EUR Q,;

d’ailleurs le degré de X est moindre que celui de Q,. 4: d'après ce qu’on à remarqué ci-dessus; donc, les degrés de

Pr %a Pn À Qi? °°°" Qn 1’ Qn seront moindres que ceux de @ Qs Qn Qn-+1 rh Q,°° 1 Qn—1”? Qn 3 et par suite moindres que les degrés de D; Ga) RS ETES dé. An

parce que, d’après les propriétés des réduites, on a:

SEAL RENE PQ EE 1 Gi 0 Qu QT Q REQUEST De

On voit de là que dans le développement (8) du polynôme inconnu X les facteurs FANS PRE A F

seront des fonctions dont les degrés sont respectivement inférieurs à ceux

des dénominateurs di» VÉTE re Tn—1? n-

$ 8. Pour déterminer les fonctions