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doit représenter le plus près possible la fonction donnée , ce qui exige que

l'expression uX — Y—v

s'approche le plus de zéro et par conséquent que le polynôme Y représente le plus près possible la valeur de la fonction u X — ».

Il en résulte que ce polynôme doit êtreégal à la partie entière de l’expression #X — v et par conséquent, d’après nos notations, nous aurons l'égalité suivante pour déterminer le polynôme Y:

D'autre part, en tirant de cette égalité que uX— Y—v Se D den nous concluons que le degré d’exactitude avec laquelle la différence uX — Y

donne l’expression de la fonction * est déterminé par le degré de la différence :

uX—v— (uX — v),

ou, ce qui revient au même, par le degré de la partie fractionnaire de l’expression # X — v.

Donc, pour satisfaire aux conditions du problème, le degré de la par-

tie fractionnaire de l’expression uX — v

doit être rendu le plus petit possible.

En vertu de cela, ayant le développement de la fonction v d’après la

formule 0 = Fo + 0, R, +0; Rs +....,

nous pourrons facilement trouver les facteurs

FRE DOPR TE PTS dans l’expression du polynôme X, donnée par la formule X=F Q+BQ@+r....+F, 0, +F,0,,

ainsi que le second polynôme inconnu ?.

Mettons pour cela dans l'expression uX — v les développements de X et de v, indiqués ci-dessus, ce qui donne:

uX—v—FQu+-FQu+r....+F, 0, .u+ EF, Qu

} £ — Er — 0, R,— 0 By... 0 Ro, Ro...

Or d’après nos notations R,=Qu—2?2,, R—=Qu—P,.... R,=Qu—?#,.

Substituant les valeurs des produits Qu, Qu... Qu,

qui en résultent, dans la formule précédente, nous aurons

uX—v——F+rFR+FE, +. RC de Le

+(F—o) R+(F—o;) R+....+(F,—o,) E, BR, —....

Dhs n+1

En considérant cette expression de la différence uw X — v, nous remarquons, que les termes —H+r 2+FP+...+.EF,Er,

constituent une fonction entière, tandis que les autres représentent des fonctions de degrés négatifs, comme cela résulte de ce que les degrés des fac-

teurs hR, Ha, VIE Lr

d’après le $ 2, sont égaux à ceux des expressions

NE es D Rs tr di 1 Q2 a? Q3 Qhb+@Q Qn+1 QnIn + Qn—1?

et les facteurs F, — 0,, F,—o,,.... F —o [A]

sont composés des fonctions