EF, —0,) R,+(F,—0,) R,+....+(F, —0,) R,—0,,, R

n-+1 nH1-1

Or les n — 1 premiers termes disparaissent quand on suppose

FE =v,, F,=0,,,., CH ns

ces valeurs des facteurs 7, F,,..../F, ., dont les degrés sont respectivement moindres que ceux de

G;) das... PRE

d’après le $ 7, étant possibles, nous trouvons pour la solution de notre problème

Pour ces valeurs des facteurs F,, F,,.... ÆF,, la partie fractionnaire de uX — v se réduit à

(FE, —0,) À, —o GLS CES

FI n-+1

où le premier terme peut être annulé par un choix convenable du facteur F,, seulement dans le cas où le degré de

am Qn° 6, Q, nesurpasse pas le nombre #, qui est la limite du degré du polynôme X. Dans le cas contraire, d’après les conditions du problême, le facteur Æ doit être de degré moindre que w,, donc sa valeur n'’influera sur le degré de l’expression

oh gi" —.,

ne surpasse pas celui de ou, ce qui revient au même, quand le degré de

Ainsi, lorsque le degré de ©, Q, est supérieur à #, on peut prendre pour F,, toute fonction entière pour laquelle le degré du produit Æ, Q, ne surpasse pas *, limite du degré du polynôme X. De toutes les valeurs de 7 satisfaisant à cette condition, la valeur égale à zéro mérite une attention particulière, car elle fournit les expressions les plus simples des polynômes X et Y, qui donnent la solution de notre problème.

En vertu de ce que nous avons montré par rapport aux facteurs

Rd. de dans les formules X= Pr Mr. ..:+r0.

< D oil re . +FP, on voit que la série +++ :...,

arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse pas », donne la valeur du polynôme X dans la ‘solution de nôtre problème et que la série

— Lo +o, P+o, P,+....,

arrêtée au terme correspondant, donne la valeur du polynôme Y dans la même solution. Cette solution sera la seule possible, si le premier des termes rejetés dans la série

wo, Q +, Q, +0 Qh....

contient le facteur Q, de degré supérieur à », limite du degré de X. Dans le cas contraire ce sera la plus simple de toutes les solutions en nombre infini de notre problème, qui toutes donnent l’expression de v avec le même degré d’exactitude et peuvent être obtenues de la solution la plus simple en y ajoutant aux polynômes X et Y les termes

FQ:, FF,

où Æ est une fonction entière quelconque qui, étant multipliée par Q,, donne un produit de degré ne surpassant pas #, limite du degré du polynôme X. Telle est la solution de notre problême sous la forme générale. $ 10. Les facteurs |

uw), 29 “fe, L LA L CAD |

contenus dans le développement de la fonction v d’après la formule

0 = Evo +o, KE, +6, Re. is

et dans les séries

SE 4

Y—— Evo, P,+0, P,+u,P +4,57, qui déterminent les valeurs des polynômes X et Y pour lesquels la différence uX — Y exprime le plus près la fonction v, s'obtiennent, comme on l’a vu ($ 6), à l’aide de la formule

M Unpté à AE E, (0,0 —E0,o),

ou 0, =(—1) [Ee, O7 — In Eor|.

Dans le cas qui se présente ordinairement, où les dénominateurs q,, qe, Gas... dans la fraction continue

sont tous des fonctions du premier degré, les facteurs Mrs Der Par as

se réduisent à des constantes dont les valeurs se déterminent aisément.

En effet, si

h=A 2+B,, 4 =4,2+ B,,.... dar. ne la première des expressions indiquées ci-dessus du facteur ©, donne o,=(—1) 7 E(4,2+2,)(0,0—Eo,v).

D'ailleurs, remarquant que la différence Q,0—EQ,v

ne contient dans son développement de termes ni de degré 0, ni de degrés positifs, nous concluons que le développement de cette différence aura la forme

L W N, x HA HA

Or, étant multipliée par À,x + B,, la série précédente donne

An Mn + Ln Bn 3 A4, L:+- > es

donc, en y rejetant la partie fractionnaire, nous aurons d’après la formule indiquée pour la détermination de 0, :

(si AL, À, étant, comme on l’a vu, le coefficient de x dans le dénominateur q,,, et L,, — le coefficient de - dans la différence Q,,v —E Q,v ou, ce qui revient

au même, dans l’expression Q,v, le terme EQ, ne contenant point des degrés négatifs de x.

En tirant de cette formule les valeurs des facteurs

oO

12 Dre es.)

nous obtenons, en vertu du développement mentionné de la fonction v, la série suivante:

id -ALRaAELR—.....,

et pour l’évaluation des polynômes X et Y, avec lesquels la différence uX— Y représente la fonction v le plus près possible, nous aurons les séries