QUESTION ARITHMÉTIQUE
(XRADUIX PAR D. SÉLIVANOFE.)
OS ouoms
apuememurechons Conpocrs.
(paroxenie K5 X-My Tomy Sauucoxr mneparoporoä Akaremin Hayk®, X 4, 1866 r.)
Sur une question arithmétique.
SL
Etant donné le degré d’approximation de la différence y— ax vers zéro, on détermine facilement les moindres nombres x et y pour lesquelles cette approximation a lieu, en développant la quantité a en fraction continue. La question plus compliquée consiste à déterminer les nombres x et y de manière que la différence y— ax s'approche vers d avec le degré d’approximation donné, b étant une grandeur donnée différente de zéro. Cette question peut être résolue aussi au moyen des fractions continues, comme nous allons le faire voir.
Nous envisagerons la question sous deux aspects, selon qu’on cherche les nombres x, y de manière que la différence y —ax donne la valeur approchée de b par excès ou par défaut. Dans le premier cas la différence y— ax devant être supérieure à b, si l’on suppose que le degré d’approximation, que l’on a en vue, ne laisse faire une erreur égale à 1, cette différence doit dépasser b d’une valeur moindre que 1, par conséquent en ce cas la quantité
y — ax — bd — y—(ax + b)
est contenue entre 0 et 1; le nombre inconnu y est donc égal au plus grand des deux nombres entiers entre lesquels est contenue la quantité ax + b. En dénotant en général par le symbole ÆA le nombre entier inférieur à À et le plus proche de À, nous remarquons que la quantité ax + b sera contenue entre les deux nombres
E (ax + b), E (ax + b) + 1, et par conséquent l’inconnu y aura pour valeur
y=E (ax + b) + 1.
Pour cette valeur de y nous obtenons y— (ax db) = E (ax +0) + 1 — (ax +0).
De cette manière on détermine le degré d’approximation de la différence y — ax vers b dans le cas où cette différence est plus grande que b.
En discutant de la même manière le cas, où y — ax donne une valeur approchée de b par défaut, nous concluons que y doit être égal au plus petit des deux nombres entiers
E (ax + D), E (ax + b) + 1, qui comprennent la quantité ax + b, par conséquent
== E (ax + D), et
y— azx—b—# (ax + b) — (ax + b) —— |az+b— (ax + b)}..
Il en résulte que notre question se réduit à la détermination de la moindre valeur du nombre entier + satisfaisant à la condition que
E (ax + D) + 1 —(ax + bd) ou
ax + b — E (ax +-b)
soit inférieure à une quantité donnée, qui détermine le degré d’approximation de la différence y — ax vers b.
