S IL

En abordant cette question, désignons pour abréger

à) } D (ar +0) +1 — (2 +0) = gta)

| ax +b— (ax + b) = (x); calculons les valeurs | p(0), (1), p(2), p(3),...., g(O), Y(1), Y(2), L(3),....,

D A cc né PE Lacs

et dans chacune de ces suites de valeurs chassons tous les termes égaux ou supérieurs aux termes qui leurs précèdent.

En désignant par

P(N), P(N,), p(N),.... o(N), o( . Et d(M), L(M), (AL)... VAR), Y(M,.,.).

les termes qui restent après cette opération, il est facile de remarquer qu’en général le terme p (No)

aura la plus petite valeur que peut prendre l’expression o (x) pourx < N,.,..

En effet, on voit, d’après ce que nous avons dit sur la réduction des termes de la série

que le terme o(N ) ne peut rester que dans le cas, où l’on a

ee

p(N.— 1) pe. o(N.).

D'autre part pour qu'aucun des termes

DIN +1), p(N +2),.... p(N,, —1)

ne reste après cette réduction, le moindre de ces termes ne doit être inférieur à o(N ), qui est le moindre des termes

(0), ?(1), ?(2),.... (No);

car autrement ce terme serait moindre que ceux qui le précèdent, et par conséquent ne pourrait pas être chassé de la suite

La suite

OU), YO), YO)... VOL), ML he...

jouit de la même propriété, le terme

ayant la moindre valeur que puisse prendre d(x) pour les valeurs de x de puis æ— 0 jusqu'à x — M, ,, — 1.

Il en résulte que les suites

NS), EN), o(N), 2. pN), (NE.

b (A), p(M), LOL)... DOM), P(M,,),....,

obtenues par la réduction énoncée ci-dessus des termes des suites

font voir le degré de petitesse que puissent atteindre les expressions o (x), Y(x) pour les différentes valeurs de x. Pour cette raison ces suites peuvent servir à la résolution de notre problème.

Soit p. ex. o(N) le premier terme de la suite

®(N), o(N.), ®(N.), .. . p( N ,), o(N), A TRE

ne surpassant pas une certaine limite e. Le moindre nombre x pour lequel la différence y — ax, étant supérieure à b, exprime b à e près seraz—N. La même chose s'obtient au moyen de la suite

YO), LOL), VO, LA) Vide.

si l’on suppose y — ax moindre que b.

La résolution de notre problème est ainsi réduite à la formation des suites

P(N), ?(N,), o(N), . o(N), o( 4e RE (M), Ÿ (AL), LL), . LG) 4 Ho

On calcule aisément les termes de ces suites, comme nous allons voir, au moyen des nombres x et y, pour lesquelles la différence y — ax s’approche le plus de zéro. On obtient ces valeurs de x et y, comme on sait, à l’aide des fractions continues de la manière suivante.

Après avoir développé a en fraction continue do + 1 »

di + — To +, F

on calcule les réduites principales

et Les réduites intermédiaires

RU PACE Q? Q7°°°" Qu?