LM), LM), LM

peuvent être calculés au moyen des premiers termes @(N,), Ÿ (M). Ainsi, en posant dans les formules (6)

on trouve N, us N En Mo) ® (M) de à (N) EE do (nus),

N,=N; + my, 9? (Ns) = ® (N) — Ÿ (mp),

=N,,+ My) ,, 9 (N,) = 9 (Ne Do (Mu ;), ce qui nous donne, en éliminant N,,N,,..,N,,,o(N,), o(N.),..,®(N, ,), - f N,=N + My, + My, He. + Muni) PEN) = 9 (No) — Yoligs) — Po (M) — » 2 + 2 — Vo (tan )5 d’où il suit @O) ON) = Omag) + Pol) ++ à à 2 + Vous) + PM).

D’après ce que nous avons dit au $ III,

Do (My)

sera le plus grand des termes

Vo(n), Lo(m,), om), . ..,

qui ne surpassent pas o(N,), d, (m4) sera le plus grand de ceux qui ne surpassent pas Œ(N,)= o(N,) — d(m,), D, (m4) sera le plus grand de ceux

qui ne surpassent pas o (N,)=® (N,)—4, (mu,)=9 (Ni) —%o (us) — Lo (M), etc.

Donc la série

Do (Mu) + Lou) +: + Do (Mu),

| qui, d’après la formule (9), donne la valeur de ®(N,) à œ(N,) près, peut

être obtenue quand on développe la quantité o(N,) en une somme de termes de la forme

do (m6), Yo (mm), Yo (m2), APE He

en détachant successivement de la quantité o(N,) les plus grands termes possibles de la série

Doc), Dom), Pois), - +:

ou, ce qui est la même chose, quand dans le développement de o(N,) en série Vo (My) + Vo (my) HIT M Lo (Mu) ) + © (N.)

on a en vue que la série arrêtée à un terme quelconque ait une valeur moindre que œ(N,) et la plus rapprochée à o(N,).

En supposant que ce développement de la quantité o(N,) prolongé indéfiniment conduit à la série

Lo (nu) + Do (Au) + Vo(nu,) +.

on conclut que cette série plus ou moins prolongée sert à déterminer d’après les formules (8) les différents termes de la série

et les nombres correspondants MN Me.

En s’arrêtant au terme , (#4, ,) de la série

Lou) + Vo (Mu) + Lou) +...

on obtient d’après la formule (9) la valeur de o(N,) avec l'erreur œ(N,.). Donc pour déterminer le premier terme de la série

P(N), PN,), PEN), p(N:),....

ne surpassant pas la limite & (ainsi qu’exige notre problème), il faut prolonger la série

Lo (us) + Yo (x) + Vo (us) + + + +.

jusqu’à ce qu’on obtienne @ (No) à près. Si l’on doit retenir pour cela À termes Dons) + Vous) Hesse + Do (mu), le premier terme de ia série o(N,), o(N.), o(N,...., ne surpassant pas &, d’après (8), sera | PIN) = p(No) — Vous) — Lo (My) — ....— Yo(Mp ), et le nombre N correspondant aura la valeur N=N, + Mug + Mu Hesse Mpn se

Ces expressions des quantités o(N) et du nombre N peuvent avoir des termes égaux entre eux. Pour trouver ce qu’on obtient en réunissant ces termes égaux remarquons que dans la série

Lo (us) + Lo (Mu) + Lo(mp,) +...

d’après ce que nous avons dit à l'égard de sa composition, chaque terme ne sera pas inférieur à celui qui le suit. Par conséquent la série considérée se réduit à

ko Lo (M0) + ki Vo (mn) + kom) +... + kon) +...., où AD ESS ROSE

désignent les nombres des termes égaux à

Los), Lots), Vo (me), - + + 2 o(;), «+ « En comparant la série Lou) + Lou) + Lu) + ee indéfiniment prolongée avec la série

Vo (ps) + L (ny) +... +%Ÿ (Mu ,);

arrêtée au terme %,(my,,) nous remarquons que dans les deux séries les termes ;

PR), Pol), Do (Ms), » »

jusqu'aux termes égaux à

Lo (Mu ;) entrent un nombre égal de fois. Mais les termes égaux à Yo (tu) ) entrent en général dans la série | Do (us) + Lo (Mu) + do (Mn)

indéfiniment prolongée un nombre de fois plus grand de / unités, Z désignant combien la série

Mug Ms Mpoye es

contient de termes qui suivent My , et qui lui sont égaux. La série

(A (My) "+ du (my.) + dy (My) H...., arrêtée au terme

do (Mu ), se réduit donc à

Ko Do (te) + Do(n,) +... + Guy — 1) Vo (Mu), et la somme correspondante Mug Ms He eee + Mu; par la même raison, prend la forme Ro Mo + KM, +... + (Eu —1) Myn En portant ces expressions des sommes

Lo (Mu) + Lo ny) +... + dy (Mu) ),

My + Mu ASS Jan My, dans les formules précédemment obtenues pour o(N) et N, on trouve

= (N)—h Yo En) 4, On). — (hu; —0) You) ),

{ (10) À | { N= No + bio + ki +. + (Gun — ru.

Le nombre /, d’après sa signification, aura une des valeurs suivantes

Dh 2 eu le quant aux nombres ko k,, hs, . re il est aisé de voir qu’ils sont les quotients de la division de o(N,) par Ÿ, (,), du premier reste par %,(#»,), du second reste par d, (#,) et ainsi de suite. En effet, d’après ce que nous avons dit sur les séries

Yu) + LC) + LC) 4 2,

Ko Lo(o) + k, Do (M) + ka Lo(me) +. ...,

on voit qu'après les 4, termes égaux à 4, (#,), k, termes égaux à 4, (m,),..., k, termes égaux à d,(#,), il n’y aura plus de termes égaux à d,(#,) que dans le cas où

ON) — Ko Lo (M0) — E, Vo(m)—....—k, Lo (mn) < do(m,);

mais comme ces séries arrêtées à un terme quelconque ont une valeur moindre que o(N,), on à

(N5) — ko . (mo) —k, Lo(m)—....—%k,4d(m,) > 0. Or pour

is 0, À, Ar

ces inégalités donnent

D (No) — ko bof) <'ho(%0) Mais > 0, D (No) — ko Lo (M0) — K Lo(m,) < Vo(m,) mais > 0, DN) — ko Lo(o) — E, Yom.) — ke bo(m,) < Y(m,) mais > 0,

et ainsi de suite. Il est clair de là que k, est le quotient de la division de ®(N,) par 4, (m,), le reste de cette division étant o(N,) — k, 4, (m,), que 4, est le quotient de la division de ce reste par 4, (#,), le reste de cette division étant o,(N,)— 4,4 (2) — k, (mm), k, est le quotient de la division de ce reste par d,(»,) et ainsi de suite.

Quant au choix du terme

Yo (My) ,)

et du nombre / pour lesquels les formules (10) expriment le premier des

termes de la série EN), PN), p(N),....,

qui ne surpassent pas la limite donnée e, il est facile de le faire.

Nous avons vu que l'expression ko bo) + k, Von) +... + (Gu), — l) bou ) résulte de la somme

Lo(Mus) + Vous) + + +. + Lo (Mu )

par la réunion des termes égaux. Mais cette somme est la série

Vous) + Lo (au) + Vo(Mus) + eee,

arrêtée au premier terme avec lequel on obtient la valeur de o(N,) à près. Il en résulte que le terme

Lo (Mu) ) de la série

Lou) + of) + Dofus) +...

et par conséquent le terme

kuy Yo (My) ,) de la série ko Po (0) + ki Pom) + ke Dome) +. ...,

sont les premiers termes avec lesquels ces séries donnent la valeur de o(N,) à € près et que / est le plus grand des nombres

0, 1,2,... ni pour lesquels l’expression

Ko Lo (no) + k, Lo(n,) +... + (fu, — 1) Lou)

représente la valeur de o(N,) à e près.

En considérant de la même manière la détermination des termes

YO), 4 CL), Y(M),...., nous trouvons qu’on les obtient en développant la quantité 4 (M,) en série ko Do (0) + ki Don) + ka Don) +. ...,

les nombres k,, k,, k,,.... étant les quotients de la division de Y(,) par ®,(,), du premier reste par ®, (»,), du second reste par ®, (n,), et ainsi de suite.

Supposons que pour obtenir la valeur de ÿ (A) à e près, il faut s’ar-

rêter au terme hs, , Po Gr)

et que soit le plus grand des nombres

0, T;: 25: ... Es ‘

pour lesquels la somme ko Po (M0) + Hi Por) +... + (Gi, , —1) Do (ns, )

donne la valeur de L(M,) à e près. Pour déterminer le premier terme de

la série (M), LM), (M), . ...,

ne surpassant pas € et le nombre correspondant ÆZ on obtient les formules

suivantes:

Ÿ (M) = (M) —k, vo (nm) —k; PEL nc D PE (+) Po (nv),

M= M, + kon ++... + CPE l) Ni

a me So ma,

Notre question est ainsi complètement résolue; il reste encore à indiquer le calcul des différentes quantités qui entrent dans les formules (10) et (11).