LM), L(M,), YA
commencent avec le même terme, par conséquent
et
Yo) = Ÿ (0);
mais d’après les formules (1)
4 (0) =» — By; donc
ÿ (M) = 0 — Es.
En portant ces valeurs de M, et (M) dans les expressions ci-dessus obtenues de x — M et y on trouve
— LE) Q—-u—1) IE1,) (g5—%3—1) D QUOI + a, Q, + Ha.
ÿ um 1 — oi —1l Hs QU: 2i—1 ee ho.
ET EE rs m8 | ii y= + tp 1 al, + Ps ARE PE
RP (a DR.
Ces expressions de + et y déterminent les moindres valeurs entières de x et y pour lesquelles la différence y—ax, en restant moindre que b, représente b à € près.
En comparant ces expressions de, y avec l’expression de L(M,)—b—Er donnée par la formule
+1 Le pete 1+1 Le:
ee D, M4 ha D, + DES. (e
et remarquant que d’après (16) et (13) DVD +0, D, + D, DS SUD, + a, D, + D,,...., QD O0 Q,+-Q,, QT) — 9 0,0, +-0,...., PAU Pa P+P,, PSS pe P,+P,,....,
nous arrivons à la solution suivante de notre problème sur la détermination des moindres valeurs de x et y, pour lesquelles la différence y — ax, en restant inférieure à b, donne b à € près.
Développons la quantité a en fraction continue
calculons Les réduites
Po __ r do Per __ Fee + Per
Q 0? @ AA Es "Qu Qede+ Qe—1
et les quantités DD D,
déterminées par les formules
Développons la quantité b — E5 en une série de ta forme
(D, +aD,+D)+e D, + (D, +00, +D)+. re
les nombres entièrs et positifs à, «,, &,,.... et les signes dans les facteurs 1+1
quelconque aît la plus grande valeur possible ne surpassant pas b — Eb. 40
de la forme étant choisis de manière que la série arrêtée à un terme
moyen de ce développement de la quantité b — ED on détermine de la mamière suivante les plus petites valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax, en restant inférieure à b, donne db à & près:
Arrêtons la série
(D, + a D, + D) +aD, +5 (D, + 04 D + D)+. Fe
au premier terme de la forme a, D,, a, D,,.... avec lequel la série donne
b— race près, et dans cette expression de b— Es approchons de zéro le dernier coefficient autant qu’il soit possible en le laissant entier, sans augmenter par cela l'erreur au delà de &. En remplaçant dans l'expression appro-
chée ainsi obtenue de la valeur b — Kb les quantités
D,; D,, D, “EF par les nombres
—0,, + Q,, — @,, Qi,
on obtient la valeur de l'inconnu x; et en remplaçant les mêmes quantités par les nombres —P,, +, —Py +P,,....
et en ajoutant FE on trouve y.
De même, en développant la quantité ® (N,) en série
