VIX, +2VIK

au moins l’une de ses racines.

Si l'équation Fe) = 2 4 AT BOT +. ...+K=0

n’a que des racines réelles, quelle que soit la valeur l, on trouvera toujours au moins l’une de ses racines entre 2(t mu rt Ta ee :

en prenant le radical avec le signe contraire à celui de A

Si la valeur numérique de lintégrale

: Î (c" + 42°" + Ba" *+....+K)dx

À Lies. n+1

esk inférieure à —— ) , On trouvera au moins une racine de

l'équation

+ it 4e +... +K=0.:

entre x = H et x = H,.

On trouvera toujours au moins une racine de l'équation Dr RE do + Bat + CO +. + Hi ++ K—0

entre Les limites

21 +1 4 +2 be DL 1 1 1 2 2À+1—1p e=—2V5k [14 WEEK 2+1 4142 ns =+2V/5x| EV LR F.

où y. est le nombre des racines imaginaires de l'équation A+ +... + Hf+K— 0,

et o la limite inférieure de leurs modules.

Si l'équation Be A4 Rate... + W+ERK=0

ne contient qu’un terme K,x°° avec la puissance paire de x et que son expo-

sant 2), ne surpasse pas À, cette équation a au moins une racine comprise entre les limites

2+1 2 (A— 20) +1 1 sk A +1 2 A — ho) +1

Outre ces théorèmes et certains autres de la même espèce, nous montrons le parti que l’on peut tirer de nos recherches par rapport à l’interpolation.

28 septembre 1857.

Sur l’'interpolation des valeurs fournies par les observations.

13 (30) mars 1858.

(Bull. phys.-mathém., T. XVI, p. 253—858).

Si le nombre des valeurs interpolées surpasse celui des termes que l’on conserve dans leur expression, l’interpolation peut être exécutée par diverses méthodes. Mais ces méthodes, dans chaque cas particulier, sont loin d’être également bonnes; elles différent entre elles, soit par la prolixité plus ou moins grande des calculs, soit par la grandeur de l’erreur moyenne à craindre, tant qu’il s’agit d’interpolation des valeurs fournies par les observations, et conséquemment affectées d'erreurs. Comme on ne peut gagner au delà d’une certaine limite, sous un de ces rapports, sans perdre sous autre, il est impossible de donner une méthode d’interpolation qui soit en général préférable à toutes les autres; car, suivant le cas, on tient plus ou à la simplification des calculs, ou à la précision des résultats. C’est ainsi que le choix de la méthode d’interpolation dépend du nombre des valeurs à interpoler. Si ce nombre est assez petit, les données d’interpolation n’offrent que bien peu de ressources pour atténuer l'influence de leurs erreurs sur celle du résultat cherché, et alors il est important d’en tirer tout le parti possible pour diminuer l’erreur moyenne à craindre, ce qu’on ne peut faire qu’à l’aide de /a méthode des moindres carrés. Dans le cas contraire, le nombre considérable des données qu’on a à sa disposition, nous dispense de recourir à la méthode des moindres carrés qui exige des calculs trop longs. Dans ce cas, à la simplification des opérations numériques, on peut bien sacrifier une partie plus ou moins considérable de ce que les valeurs interpolées offrent pour apprécier le résultat cherché. Dans le Mémoire sur les fractions continues, présenté à l’Académie en 1854, nous avons traité l’interpolation d’après la méthode des moindres carrés, et nous sommes parvenu à une série qui donne directement les résultats d’une telle interpolation, indispensable, comme nous venons de le voir, si le nombre des va-

leurs à interpoler est assez petit. Dans le présent Mémoire nous montrons comment, d’après nos méthodes, on parvient à d’autres formules d’interpolation qui peuvent remplacer avec avantage celle dont nous venons de parler, tant que son application, à cause du grand nombre des valeurs interpolées, d’une part, cesse d’être importante, et de l’autre, devient peu praticable.

Nous ne traitons pas les différents cas particuliers que peut présenter l’interpolation suivant le uombre, plus ou moins grand, des valeurs interpolées; nous nous bornons à considérer celui qui est la limite de tous les autres, où le nombre des valeurs interpolées est infini. Quoique, en réalité, ce nombre ne soit jamais infini, les formules qu’on trouve dans cette supposition, peuvent être cependant d’une application utile; car elles présentent la limite vers laquelle convergent très rapidement les résultats d’intérpolation, à mesure que ce nombre augmente, et il ne sera pas difficile de voir, dans chaque particulier, de quel degré d’approximation ces formules sont susceptibles d’après les valeurs interpolées.

Ainsi, entre autres formules, nous parvenons à celle-ci:

a a a f(X)=S | fo)da+ | l f(x) dx— La «| l f œte-fieu.f f(x) de fes

| er +5

0 V2 ; “Uios-[ fau f(x) dx freres |æ=2ex

ÆS 2 + etc.

Bien que cette formule contienne des intégrales, pour évaluer ses termes avec une approximation suffisante et au delà de celle que les erreurs des données elles mêmes comportent, on n’a besoin ordinairement que d’un nombre très limité de valeurs de f(x) entrex—=—aetx—+#4. Mais

tant qu’on a un nombre suffisant de valeurs de f(x), cette formule peut être avantageusement employée pour l’interpolation; car ici, d’une part, les opérations numériques, eu egard à la complication du problème, sont assez courtes, et de l’autre, l’influence des erreurs des valeurs interpolées sur celles du résultat cherché est notablement atténuée.

Pour s’en assurer remarquons que toute la difficulté de l’interpolation, d’après cette formule, se réduit à l’évaluation des intégrales

a a 0 f(x) dx, | f(x) dx, f(x) dx, etc.

d’après les valeurs connues de f(x). Or, quoique le nombre des différentes opérations arithmétiques que cela exige croisse à l’infini avec celui des valeurs interpolées de f(x), ces deux nombres ne sont que du même ordre de grandeur, tandis que dans la méthode des moindres carrés le premier est d’un ordre supérieur relativement au second. D'autre part, la composition de cette formule montre que l’erreur moyenne du résultat, provenant de celles des valeurs interpolées, est en général du même ordre de grandeur que l’unité divisée par la racine carrée de leur nombre, comme cela a lieu dans la méthode des moindres carrés.

Quant à la détermination des intégrales

ñ ) dx, l f(x) dx, f(æ) dx, etc.

qui entrent dans notre formule, elles peuvent être évaluées d’après les valeurs connues de f(x), avec une approximation plus ou moins grande. Mais si ces valeurs sont assez rapprochées, on pourra souvent, dans leur évaluation approximative, se contenter de cette formule très simple:

F f (x) di =; 2 Rite 2h) f (x,) +(&, +2 —&)) f (x, œ, ,,)+(@, 3%) f (&, 4 +) Han Ge,.) fe) + C0H—a,—x,..,) f@)l.

f@), f@).... fa), FO, fa, ,), fa), fa)

étant les valeurs connues de f(x), et

où

Ds Tips D, À, celles de x, comprises entre 4—h et x—H. — L'erreur de cette expression

de l'intégrale [ f(&) dæ, comme il est aisé de le reconnaître, sera toujours

inférieure à (H—}h)B ( À =t7 =) Aë, < 45*

où À, B désignent les plus grandes valeurs de f’(x), F(& (x) entre æ —h et æ = H, et A la plus grande des différences

Es OU Un AVE du ur HN.

De plus, on pourra trouver les intégrales

fo dx, fr (x) dx, f(æ)dzx etc.

— à à peu près sans si l’on a une représentation graphique de la fonction f(æ), construite d’après ses valeurs connues; car alors, pour évaluer toutes ces intégrales, on n’aura qu’à déterminer les aires de la courbe

y = f(x), entre æ—=—a et x = +4, entre æ—0 et z—a, etc., ce qui se fera très aisément à l’aide du planimètre.

Remarquons encore qu’en faisant dans cette formule

fraas= ru

on trouve

F(a)-F(-a) F(a)—2F(0}+-F(—a) FQ-2r($}2r(- S)Ft-o F'(X)- 2a + a? X+ a (2X7- 5°)

- a Es ent. à (75) 27 ÊE 2F(— Art [V5+1 V5] V5—1 V5+1.: - . æe d-2H( ar 2 aie a }e2r(- 7 a)-F(-0 & X1 6 @X2+2 af) V8 a q ie

ot an me es (16X5-16a7X at X)

+- etc.,

formule qui peut être avantageusement employée pour la détermination de la première dérivée F'(x), d’après les valeurs données de F(x), si toutefois ces valeurs sont assez proches entre elles, pour qu’on puisse évaluer d’après elles, avec une approximation suffisante, toutes les valeurs de F{(x) qui figurent dans la formule

On reconnaît aisément l’avantage -de cette formule sur celle que l’on trouve d’après le calcul des différences finies, en remarquant qu'ici les diviseurs sont comparativement plus grands, et par conséquent les erreurs des valeurs connues de F(x) ont moins d’influence sur celle de F’(X) qu’on cherche, ce qui est très important dans plusieurs cas.

” nn rt)