JANVIER (1 FÉVRIER
(Bull. phys. mathém., T. XII, p. 315—316).
Dans ce Mémoire, l’Auteur donne une méthode générale et directe pour cette intégration, en tant qu’elle est possible sous forme finie. D’après ses recherches, publiées, en 1853, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, de M. Liouville, cette intégration se réduit à la détermination des fonctions entières et des nombres qui vérifient certaines conditions. Dans le Mémoire présent il donne une méthode pour trouver ces inconnus, tant qu’il s’agit de l’intégration des différentielles en question, ce qu’il parvient à faire au moyen d’une certaine réduction de ses équations, d’après laquelle leur solution se réduit à un problème résolu par Abel (Oeuvres complètes, T. I, p. 33). L'auteur remarque que cette réduction de ses équations est indispensable aussi pour simplifier lintégration des différentielles plus compliquées, et qu’elle peut être avantageusement employée dans d’autres recherches d'Analyse Transcendante, et dans la Théorie des nombres elle-même, où cette méthode donne un procédé à l’aide duquel on trouvera la représentation des nombres par Îles formes quadratiques. Quant aux différentielles qui contiennent une racine carrée d’une fonction du quatrième degré, cette méthode de réduction fournit un rapprochement très intéressant de la construction des valeurs irrationnelles, avec la règle et le
compas, et l’intégration des différentielles sous forme finie. En terminant son Mémoire, l’auteur fait le résumé des procédés qui, d’après ses recherches, constituent la méthode générale d'intégration des différentielles contenant une racine carrée d’un polynôme du troisième ou du quatrième degré, en tant que cette intégration est possible sous forme finie.
Sur une formule d'Analyse.
20 ocToBRE (1 NOVEMBRE) 1854.
(Bull. phys.-mathém., T. XIII, p. 210—211).
Si l’on représente par f(x) une fonction entière du degré », et que l’on connaisse ses # + 1 valeurs
f(@), f(&), F(e”),.... Fe"),
la formule de Lagrange donne cette expression de f(x)
(x — x") (&œ — x)... (x — a?) (x — x")... , (x0— æ°) (a9— x")... F7) + =) (æ'— x")... f@)+. -ie-15
Cette valeur de f(x) peut être représentée sous différentes formes; l’une des
plus remarquables est la suivante:
A'Zf(&)— A" (a) >
SN
d (x°) f (æ°) + 4” Ÿ ns (x°) f (æ°) — …..;
où 4’, 4”, 4”,.... désignent les coefficients de æ dans les quotients de la fraction continue
résultante du développement de
1 1 1 SCAN N user ur .. NT tt
et d, (x) (x), .... les dénominateurs des fractions convergentes qu’on en tire.
Cette formule a l’avantage de donner f(x) sous la forme d’une fonction entière, dont les termes, en général, présentent une série sensiblement décroissante. Dans le cas particulier de
0 ARS Ne - nr: n—4 M) TN MR SES UT UNS Es rates PS OE A
et » infiniment grand, cette formule fournit le développement de f(x) suivant les valeurs de certaines fonctions, que Legendre a désignées par X°”
(Exer. Partie V, $ 10), et qui sont déterminées ici par la réduction de l’ex-
: &—+Hl ‘ :
pression log RES en fraction continue.
Mais la propriété la plus précieuse de cette formule est celle-ci:
Si l’on ne prend dans cette formule que les premiers termes en nombres quelconque "», on trouve une valeur approchée de f(x) sous la forme d’un polynôme du degré m— 1 et avec les coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés, dans la supposition que les valeurs données de
fe), f@), F(æ),.... f(œ")
sont affectées d'erreurs de même nature.
Dans peu de temps, j'aurais l'honneur de présenter à l’Académie un Mémoire, où l’on verra, en outre, le parti qu’on peut tirer de cette formule pour l’Analyse.
Extrait d'un Mémoire sur les fractions continues.
12 JANVIER 1855 r.
(Bull. phys.-mathém., T. XIIT, p. 287 —288).
Dans une Note, lue le 20 octobre de l’année passée, M. Tchébichev a présenté une certaine formule d’interpolation qui a l’avantage de donner l’expression de la fonction cherchée avec les coefficients indiqués par la méthode des moindres carrès. Dans le présent Mémoire, il traite ce sujet dans sa forme la plus générale, savoir: en supposant que les valeurs de la fonction cherchée sont affectées d’erreurs dont les lois de probabilité sont différentes, et, dans cette hypothèse, il montre comment, à l’aide du développement d’une certaine expression en fraction continue, on parvient à trouver la valeur approchée de la fonction cherchée avec la moindre erreur à craindre. Pour la détermination de cette valeur il donne trois formules différentes, dont l’une comprend, comme cas particulier, celle qui a été l’objet de sa Note, citée plus haut. En définitive, il montre d’après ces formules les propriétés remarquables des expressions déterminées par le développement de certaines fonctions rationnelles en fraction continue.
Ainsi, en désignant par
les dénominateurs des fractions convergentes, résultantes du développement de l’expression
+ — + nn Re (x), T—%o X—X) TZ — Lo T—Ln
en fraction continue, où æ,, &,, %,,....4, sont des valeurs réelles, différentes entre elles, et 9(x) une fonction entière qui ne s’annule pas pour TL, Lin Laye + D, il Montre que les fonctions %,(x), d,(x),...., parmi toutes celles du même degré, qui auraient le même coefficient de la plus haute puissance de x, se distinguent des autres par la moindre valeur
des sommes
3 We (x) d°(x;), 2% (x) (x),
D'un autre coté, si l’on dénote par ®,, (x) la fonction
bn (x) 0 (x) i=n V 2 V2 (x) 0? (x) #—=0 et qu’en prenant ses valeurs pour D Lys Li, Tarn so Ms M0 12,0,
on figure le carré Polo) Polti); Po(La) + - + +; Po(En) Pi (do) Ph P1(Eah + + ++; Pi (&u) Pa (do) Pa), Pa(th. + .; Palm),
PA (To), Patti Palo), +, Pa),
on trouvera que ce carré vérifie les conditions suivantes:
1) la somme des carrés des termes d’une ligne verticale ou horizontale quelconque est égale à 1; 2) la somme des produits des termes correspondants de deux lignes quelconques, soit verticales soit horizontales, est égale à O.
Donc, cette fonction fournit la solution du problème, qui a été l’objet des recherches d’Euler dans son Mémoire: Problema algebraicum ad affectiones prorsus singulares memorabile. N. Comm. T. XV.
Le Mémoire de M. Tchébichev, rédigé en russe, sera imprimé dans les Vuenva Sanucru.
Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions.
9 (21) ocToBRE 1857.
(Bull. phys.-mathém., T. XVI, p. 145—149).
Dans le Mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes (Mémoires des savants étrangers, Tom. VIT), nous avons traité la représentation approximative des fonctions sous la forme d’un polynôme, et nous sommes parvenus à la solution de ce problème:
Déterminer les modifications qu'on doit porter dans la valeur approchée de f(x) donnée par son développement suivant les puissances croissantes de æ— a, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre z—a—hetx—=a+h, h étant une valeur peu considérable.
Dans le présent Mémoire nous donnons le théorème général relatif à la solution des problèmes de cette espèce, problèmes qui peuvent être énoncés ainsi :
Étant donnée une fonction quelconque avec des paramètres arbitraires
Pis Pos +... P,, U S'agit par un choix convenable des valeurs p,, ps, ....p,, de réduire au minimum la limite de ses écarts de O entre x = —h et
D'après ce théorème on reconnait aisément que dans les recherches des valeurs approximatives des fonctions, soit sous la forme d’un polynôme
PT + D, Hess HD TD, soit sous la forme d’une fraction
PE po 2 + + Pr L + Dn MN —
Ap a+ À Re. + Apr T + Am
avec un dénominateur donné, les quantités p,, p,,....p, se déterminent par la condition que, dans l’étendue où l’on cherche à réduire au minimum la plus grande des erreurs, l'erreur atteint au moins » + 1 fois sa valeur
limitative.
Tel était notre point de départ dans le Mémoire cité plus haut, Mémoire, où, comme il vient d’être dit, nous avons traité la représentation des fonctions sous la forme d’un polynôme. Mais le même théorème montre que cette condition s’altère dans le cas, où l’on cherche la représentation des fonctions sous la forme d’une fraction, ayant ses deux termes arbitraires, et qu’alors la condition dont il s’agit doit être remplacée par la suivante:
Si patio pathrs + py 1 Pr —l+1 al+ph jrs xl + + Pan T-+ +?
est la fraction qui, depuis à = — h jusqu'à x = + h, s’écarte de la fonction
donnée Y moins que toutes les autres fractions de la même forme, le nombre des valeurs réelles et inégales de x, pour lesquelles la différence
m2 ani ppattl-2s,. + ph Pn—1+1 cle pr 145 ali +... +Pn£ +1 entre x —=—h «t x = + 4h atteint ses valeurs limitatives +- L ct — L, ne
peut être inférieur à n +-1 de d'unités, à moins qu’on n'ait M—=0, D —0,....p,—=0, Pn—141 jo 0, Pr Fe 0, PE Pn—i+d = 0.
Dans cet énoncé on fait abstraction du cas, où la fonction Y et ses dérivées, pour des valeurs de x comprises entre x — —h et x — -+h, cessent d’être finies et continues, et on suppose que la fraction
mari spat-tl2s... +p, 3
Pn—1l+1 æl Er PnStr) ali +... +PnT+l
est réduite à la forme la plus simple. En passant aux applications, nous cherchons la solution de ces problèmes: 1) Quelle est la fonction entière qui, parmi toutes celles de la forme
DHDA pa +. . + PT +P,
s’écarte le moins possible de 0 entre les limites 4 = —} et æ:=+h? 2) Quelle est la fraction qui, parmi toutes celles de la forme
can +p'att plat 2... + pe + p(n)
Normes ES PE ae ne SRE SE "OS RIRE et avec le même dénominateur
n—1l—1: n—l—2 AT + À, x HCFR GEA A
s’écarte le moins de zéro entre x — — h et x — +-h?
3) Quelle est la fraction qui, parmi toutes celles de la forme
p' an—l—1 + p" an—l-2 +... + p(n—) pri) gl + pire) gl +, + pi) à + p(n+1,?
entre æ— — h et x — + h, s’écarte le moins possible d’un polynôme donné av gi AP TE 9
Malgré toute la complicité des équations qui déterminent les coefficients inconnus p,, Pas «eee Dhs PrP',....p" "9, nous parvenons à la s0lution définitive de nos problèmes, en les réduisant à des questions de V Analyse indéterminée. La même méthode peut être avantageusement employée dans plusieurs autres cas et entr’autres, dans les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions sous la forme rationnelle, où cette méthode fournit la solution de ce problème:
Étant donnée la valeur approchée de f(x), que l’on trouve à l’aide des” méthodes ordinaires, soit sous la forme d'un polynôme, soit sous la forme d'une fraction, trouver les modifications que l’on doit faire subir aux coefficients de ces expressions de f(x), quand on cherche à réduire au minimum la limite de leurs erreurs entre x =a—h et x —=a+h, h étant une valeur assez petite.
C’est ce que nous nous proposons de faire dans un autre Mémoire, où l'on verra combien la solution des problèmes particuliers, que nous donnons à présent, est importante pour les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions sous la forme rationnelle. Pour cette fois nous nous bornons à montrer le parti qu’on peut tirer de notre méthode en ce qui concerne les propriétés des fonctions entières et fractionnaires. Ainsi nous parvenons à établir des théorèmes d’une espèce tout-à-fait nouvelle,
tels que:
Théorème.
La valeur numérique de la fonction
4 SA M AT 2 De AS D +...
dt à h \ entre x = —h etx— + h, ne peut rester inférieure à 2 (5) : Théorème.
Dans les limites = —h et x = + h où la fraction an + plan... + pli) æ + pl)
ne devient sa valeur numérique ne peut rester au dessous de F1 re di POI a 2 2p0+h} ?
& étant le nombre des racines imaginaires de l’équation
ART AT it A4, +10
et © la limite inférieure de leurs modules.
Théorème, La fonction es RS H Dee ALT BA ne he dec depuis x = —h jusqu'à 2—= +-h, nepeut rester numériquement au dessous de
eva], où l’on prend le radical avec le signe contraire à celui de À.
Théorème, La fonction H F
a+ Ba" +... .+ + :
depuis x=—h jusqu'à x—=+h, ne peut rester numériquement au dessous de
|B +imE V (8 +7 D] + | (5)
A : È : \ $ des, n où l’on prend leradical avec le signe contraire à celui de la quantité B +- PE
D’après ces théorèmes on démontre plusieurs propositions très simples par rapport à la résolution des équations. En voici quelques unes: Si l’équation
DU AUTRE eo Re 0
ne contient que des puissances impaires de x, on trouvera, entre les limites
