LES NOMBRES PREMIERS

(Mémoires présentés à l’Académie Impériale des sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VIT, 1854, p. 17—33. Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, XVII, 1852, p. 366—390.)

Van ANR L' Tate D

Fe sème ATEN

Mémoire sur les nombres premiers.

$ 1. Toutes les questions qui dépendent de la loi de répartition des nombres premiers dans la série

246 40 6,7, 8 9, 10, 11, 19, ete.

présentent en général de grandes difficultés. Ce qu’on parvient à conclure d’après les tables des nombres premiers avec une probabilité très grande, reste le plus souvent sans démonstration rigoureuse. — Par exemple, les tables des nombres premiers nous portent à croire qu’à partir de a > 3, …1l y à toujours un nombre premier plus grand que « et plus petit que 2a—2 (ce qui est le postulatum connu de M. Bertrand *)); mais jusqu’à présent la démonstration de cette proposition a manqué pour des valeurs de &, qui surpassent la limite de nos tables. La difficulté devient encore plus grande, quand on se donne des limites plus étroites, ou qu’on demande à assigner la limite de a au-dessus de laquelle la série

contient au moins deux, trois, quatre, etc. nombres premiers. Il y à une autre espèce de questions très difficiles qui dépendent aussi de la loi de répartition des nombres premiers dans la série

H2:8,# 0, .6,:74:8 9:10 11, etc.

et dont la résolution est très nécessaire. Ce sont les questions sur la valeur numérique des séries, dont les termes sont des fonctions des nombres premiers

nine Dit: RE, 19, 17, Gt6.

*) Journal de l’école polytechnique, cahier XXX. 4*

BR Euler à prouvé que la série

mg gta tn he + etc.

24 " ga 74" 118 * 134 devient divergente pour les mêmes valeurs de a que celles qui rendent di-

vergente la série

nef : sr IFR: etc.,

ga Fa ya Fa F ça Ÿ ga

savoir, pour 4 < 1. Mais pour certaines formes du terme #, la convergence de la série

Un + Us + Us Us + Us + Us + etc.

n’est plus une condition nécessaire pour que la série Us + Un Us + Un + Un + Us + CC.

conserve une valeur finie. Tel est, par exemple, le cas de u, — DT En

effet, la valeur de la série

1 | 1 1 2log2 303 * Bl0gS ‘ 7log 7

+ etc.,

comme il sera prouvé plus tard, ne surpasse pas 1,73, tandis que la série

1 1 1 1 1 aire Ses ils tige tete #1 OC:

est divergente. Quel est donc le criterium de la convergence des séries qui ne sont composées que de termes aux indices premiers 2, 3, 5, 7, 11, etc.? Et, dans le cas de leur convergence, comment assigner le degré d’approximation de leurs valeurs, calculées d’après leurs premiers termes? La résolution de ces questions par rapport aux séries de la forme

Us + Us + Us + Ug + Un + Us + OC.

est très intéressante, car on les rencontre dans certaines recherches sur les nombres.

Ce mémoire contient larésolution des questions citées. J’y parviens en traitant la fonction qui désigne la somme des logarithmes des nombres premiers au dessous d’une limite donnée. D’après une équation que cette fonction vérifie, on peut assigner deux limites entre lesquelles tombe la valeur de cette somme. Parmi les différentes conclusions que nous en tirons, nous parvenons à assigner des limites entre lesquelles on trouve toujours au moins un nombre premier, ce qui nous conduit très simplement à prou-

ver le postulatum cité de M. Bertrand. — Quant à l’évaluation des séries de la forme U, + Us + Us + Un + Un + EC.

nous trouvons le criterium pour juger si elles sont convergentes ou divergentes, et dans le premier cas nous donnons la méthode pour calculer, avec un certain degré d’approximation, la différence de la valeur de ces séries avec la somme de leurs premiers termes. Nous donnons aussi une formule pour calculer, par approximation, combien il y a de nombres premiers qui ne surpassent pas une valeur donnée, et nous assignons la limite de l’erreur de cette formule, ce qu’on ne pouvait faire jusqu’à présent. Dans un mémoire que j'ai eu l’honneur de présenter à l’Académie de St.-Pétersbourg, l’an 1848, j'ai prouvé que, si on rejette, dans l’expression de la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas x, tous les termes qui sont zéro par rapport à

HA x x t log x? log?æx? log5 x? AE : : RAT nn quand on fait x — co, cette expression se réduit à | og æ? Mais pour les va-

leurs finies de æ on se trouve dans l'incertitude sur la valeur des termes

qu’on rejette. Quant à la formule de Legendre, son degré d’approximation n’est connu que dans les limites des tables des nombres premiers dont on se sert pour la vérifier.

$ 2. Convenons de désigner en général par @(2) la somme des logarithmes (hyperboliques) de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas z. Cette fonction devient égale à zéro dans le cas où z est inférieur au plus petit des nombres premiers, savoir à 2. Il n’est pas difficile de s’assurer que cette fonction vérifie l’équation suivante *)

0 (x) +0 GT + 0 Gr a Gr + etc.

+ 0($) + o(EŸ + o(sŸ + o(sÿ + etc.

2 2 2 + a(2) (5) + 0(2) +0 (5 etc. à = log 1.2.3...[x],

+ o(?) + 0 (2 + 4 (2) + 0 (£) + etc.

RU RU TN TR M OR TRE Ex er EME TA Tera à à Léne. te: 5 D 5:26 €

m m *) Nous ecrirons pour abréger o(£) au lieu de 0 [(£) + ( n

EE 2e

où nous employons [x] pour désigner le plus grand nombre entier contenu dans la valeur de x. Les séries que cette équation contient sont prolongées jusqu'aux termes qui deviennent zéro.

Pour vérifier cette équation, nous remarquons que ses deux membres sont composés des termes de la forme X log a, où a est un nombre premier et À un entier déterminé. Dans le premier membre, Æ sera égal au nombre des termes dans les séries

æ œ, Do. dr ge OC 1 + dise val 2 HA HA | H 4 (x) ) (5), (5F, (2), etc.

à L # E dl \!£ æ \: E (1) (x)”, (5), ($ jé (2), etc.

CS SRE VE TOR TOR CAS Ve PET PO TES PS DT 2

qui ne sont pas plus petits que a; car en général la valeur de 4(z2) ne contient le terme log a que dans le cas où z7 a. Quant au coefficient de log a dans le second membre, il est égal à la plus haute puissance de a, qui divise 1.2.3...[x]. Or, il se trouve que cette puissance est aussi égale au nombre des termes des séries (1) qui ne sont pas plus petits que a; car le nombre des termes de la série

x TX tn %, FAT SUR etc.

qui ne sont pas plus petits que a, est égal à celui des termes de la série qui sont divisibles par a.

Le même rapport existe entre le nombre des termes de cette série divisibles par a?, a”, a“, etc. et le nombre des termes des séries

qui ne sont pas plus petits que a.

| es

Donc, les deux membres de notre équation sont composés des mêmes termes, ce qui prouve son identité.

L’équation que nous venons de démontrer peut être présentée sous cette forme

(2) do + p(e)+ vs) pt) +. Con TE ER

en faisant pour abréger

(3) O(e) + O (GT + 0 (85 + or + .….=vŸ() Merde. mere lt.

En passant à l’application de ces formules, nous remarquerons que, d’après ce que nous avons dit par rapport à la valeur de (2) quand z est inférieur à 2, la fonction d(2) devient zéro quand on fait z < 2, et par conséquent l’équation (2) ne présentera aucune exception dans les limites 4=0, 4=—2, si on prend zéro pour la valeur de T'(x) quand x est inférieur à 2.

$ 3. D’après cette équation, il n’est pas difficile de trouver plusieurs inégalités que la fonction 4 (x) vérifie. Celles dont nous nous servirons dans ce mémoire sont les suivantes:

no) 4) ave) <T@+1(%)—1(5)-7($)-7().

Pour prouver ces inégalités, nous cherchons d’après (2) la valeur de

ne (5) -1(5)-1(5)- 1(é)

ce qui nous conduit à cette équation

SH) 5) fereer(s)-1)-1()-1() HS) (5) ete ES) 5) es) et

Sa RS. ni

dont le premier membre se réduit à

A+ A 4(E)+A40(S)+ 4 v(E). +4,45) etc.,

À, À, A3, À,,...2,, etc. étant des coefficients numériques. Or, en examinant la valeur de ces coefficients, il n’est pas difficile de s’assurer qu’en général

A,=1,sin—30m+ 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,

A,= 0, sin = 30m + 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 21, 29, 25, 26, 27, 28, A,=—1,sin— 30m +6, 10, 12, 15, 18, 20, 24,

— 1,sin— 30m + 30.

En effet, dans le premier cas, n n’étant divisible par aucun des nombres 2, 3, 5, on ne trouve le terme Ÿ (£) que dans la première ligne de l’équation (4). Dans le second cas, n est divisible par un des nombres 2, 3, 5;

done, outre le terme Ÿ (2) de la première ligne, l’une des trois dernières contiendra — (#), et, après la réduction, on trouvera 0 pour coefficient

de Ÿ (&). Dans le troisième cas, » est divisible par deux des nombres 2, 3, ». Donc, les trois dernières lignes de l’équation (4) contiendront deux termes égaux à — (&), et comme la première ligne contient Ÿ (£), pris positivement, il ne reste dans le résultat que — (&). On arrive à la mème conclusion dans le dernier cas, où # est divisible par 30; car alors le terme d (+) se rencontre dans toutes les cinq lignes: deux fois avec le signe +et trois fois avec le signe —.

Donc, pour

nous trouvons

AT 0, 000 E LOGE L LEE OCT LA PARU Re PO DR M 0 Poe D ft à ei UE COR à

ce qui prouve que l’équation (4) se réduit à

bo) 48) 45) 46) ce = re 1(a)1(3)1(E)7(6)

où tous les termes du premier membre ont pour coefficient 1, alternativement avec le signe + et —. De plus, comme d’après la nature de la fonction Ÿ (x), la série

do —4(e) 2 4(5) 4) 4(5)4(R)+ ee est décroissante, sa valeur sera comprise entre les limites d(x) et Ÿ (x) — Ÿ (&): Donc, d’après l’équation précédente, on aura nécessairement oz Ta +75) T7) 7(5)-T(S).

te 4e) sr re) —7(5)7(s) —7(s)

$ 4. Examinons maintenant la fonction (x) qui entre dans ces formules. D’après (3), et en dénotant par a le plus grand nombre entier contenu dans la valeur de %, que nous ne supposons pas inférieure à 1, nous avons

aile L.2:980.:. &, ou, ce qui revient au même, T(x) = log 1.2 3...a(a+1)— log (a+ 1).

Or, on sait que log 1.2.3...a< log V2r + a log a—a+ + log a+ log 1.2.3..a(a+1) > log V9r + (a+-1) log (a+-1)—(a+-1)+ 5 log (a+-1);

donc

T(x) < log V2r + a log a—a+ log a +

T(æ) > log V2x + (a +- 1) log (a + 1) — (a +- 1)—5 log (a + 1),

ET es

T(x) < log V 27 + x log g—a+ logz+,

T(x) > log V27 + x log g—a—+ log æ;

car a étant le plus grand nombre entier contenu dans la valeur de +, que nous ne supposons pas inférieure à 1, nous trouvons

a<x<a+l, a7l, ce qui entraîne évidemment les conditions

1 Es 1 1 & log x — x + log ré sa loga-ar loga-.,

æ log g—z— log æ Z(a + 1) log (a+ 1) —(a + 1) — - log (a +- 1). Les inégalités, que nous venons de prouver par rapport à T(x), nous donnent

T(a)+ T(S s)<2 log V 27 + i+i x log &æ — x log 3050 — LP æ

+ log x — = log 30, T rl y 31 m S1 | 1] (x)+- ()72108 2r+ 521082—x log 30%—, x—logx+ log 30,

Lol (5) + T5) + TE) < 3 108 V9r + 5 + 5 À œ log x — œ log 25 35 55— + À log &— + log 30,

TS) -T(S)- T(E)>8108 V2r+ 5 at logx- x log 25 36 55 PE Sogz+ + log 30.

Combinant ces inégalités par voie de soustraction; savoir: la première avec la dernière, la seconde avec la troisième, nous trouverons

re (x)-r($)-7 (5) ()eete + Slogæ— 5 log 1800r+ À, 2 08 K5

se DO == ce que nous écrirons sous la forme

To) + T(%)—T(5)—T() —1() < 4e + 5082 — ; log 18007 +

T'(x) ner) —T(i) —T1(?) Fe A%—° log x + : log = — =,

en faisant pour abréger : 5 - (5) A — log?

ent +

D D 44 PAT SPAS

L'analyse que nous avons employée pour démontrer ces inégalités suppose æ 7 80; car, en traitant T'(x), nous avons pris 47 1, puis nous avons remplacé x par

RP AT dt

AGE LIRE | 30° Mais il n’est pas difficile de s’assurer qu’on aura des formules applicables à toutes les valeurs de x plus grandes que 1, si l’on remplace les inégalités

précédentes par celles-ci, plus simples:

Tea T($)—T(£)— T(S)— T(E) < 40 + 5 log +, T(æ) +- T(<) : T(£) . T($)— T(£.) > Az — : log æ— 1

car, en examinant ces inégalités pour les valeurs de x prises dans les limites 1 et 30, on reconnaîtra très aisément qu’elles ne présentent aucune exception.

$ 5. En combinant ces inégalités avec celles que nous avons déduites plus haut par rapport à Ÿ (x) ($ 3), nous parvenons à ces deux formules

(x) > A4z— Ÿ log æ— 1, pa)—v($ )< 46++ log +,

dont la première nous donne une valeur qui reste inférieure à d (x). Quant à la seconde, elle nous servira pour assigner l’autre limite de Ÿ (x). Pour y parvenir, nous remarquons que

fa CPE PES log x

est une fonction qui vérifie l'équation

f@—1($)= Az + À x 108 %.