L.4 à d 5 Q FL

l'intégrale I M YT pour + très grand, exprime avec assez de précision combien

il y a de nombres premiers inférieurs à æ. Mais ces tables sont trop peu

à Re Ph d étendues pour pouvoir décider de la supériorité de la formule fé sur la

log æ ou sur toute autre analogue. Dans les

formule de Legendre log & — 1,08566

z bu . dx æ p4 limites de ces tables les deux fnetions| log = À io à — 106666 différent peu

log æ — 1,08366 log x?

F1 . + re£ æ dx .

entr’elles; mais leur différence —| ayant un minimum

pour z—e — 1247689, croitra constamment jusqu’à l’infini après

cette valeur, et déjà pour x >> 10000000, aura une valeur considérable. C’est pour des nombres de cette grandeur que l’avantage de l’une des deux formules

dx æ - - FE I Log # log #— 1106666 devra se manifester. Mais pour effectuer cette véri-

fication il faudrait avoir des tables de nombres premiers beaucoup plus étendues que celle que l’on possède.

log æ

nous serons obligés de changer toutes les formules auxquelles Legendre est

$ 7. En adoptant intégrale | pour la valeur approchée de (x)

1 log æ — 1,08366 ? a seront pas plus compliquées que les siennes, et auront sur elles l'avantage d’être plus approchées d’après les théorèmes qui ont été demontrés plus haut.

parvenu en partant de l’hypothsée (x) — formules ne

Appliquons notre formule à la détermination de la somme des deux séries

pour X très grand.

Pour déterminer la somme de la première de ces deux séries, nous observerons que, d’après la notation admise plus haut, l’on à

Fe à 1 à. MR 1 N'yp(c—+l)—œ(x) rss. +z= > S ; æ=3

car, o(x) représentant la totalité des nombres premiers inférieurs à +, la différence ® (x + 1) — (x) se réduira à zéro toutes les fois que x sera un nombre composé, et à 1, quand x sera premier.

Supposons ZX très grand, et désignons par À un nombre inférieur à X, mais assez grand cependant pour que la fonction @(x), entre les limites æ—ù etr—X, puisse être représentée avec une exactitude suffisante par l’in-

tra — Dans cette hypothèse l’équation précédente pourra s’écrire

de cette manière:

æ—=À1—1 æ—X 1 | ARS © IN p&+rl)—p(2 p (+1) — (x) s+stptetys D é + É :

2 —ù es dx Remplaçant dans la dernière somme (x) par [re on aura

dx x : æ—1—1 @) n=X | log x 1 1 Nom rl)—o(x æ FRS PEUT OUR dr kb; Fe HI —.

Or, l'intégrale | 5=— peut être représentée par ;

avec exactitude

log æ

jusqu'aux quantités de l'ordre = —; de plus, la somme is a z peut être

emplacée par l'intégrale | © le même degré de précisi remplacée par l'intégrale | = avec le même degré de précision. + Sous ces conditions l’équation précédente deviendra

2 3 5 æ æ log x ?

z—À1—1 z 1 1 À. ES à à p(& + 1)— (x) dx Ts FiManRenr. + | ———

ou bien, effectuant l’intégration,

1 1) Ds ete + =>: ter =L® to log À +- log log X

#45: ji NS Pare

ET Le,

Enfin, si l’on remplace par C' la quantité

z—=À1— D Er) . log log À, æ=2 indépendante de #, on trouvera (8) +ste+.. += 0+loglog X.

Lorsque l’on aura déterminé la valeur de la constante ©, cette équation pourra servir à trouver par approximation la somme de la série

1 h à 1 en RTE T APS

quand X sera très grand.

La formule que nous venons de trouver est plus simple que celle de Legendre, d'aprés laquelle on a

Less t...+Z— log (log X—0,08366) + C.

Passons maintenant à la détermination du produit

Prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on aura la formule

log P=log(1—+)+ 108 (1 —+)+ 1081 —+)+. $ + log (1 — x)

qui peut encore s’écrire de la manière suivante:

108 P=—(5+5+r +. : + 23)+ 3 + log(1 —+)+

5 +log(1—+)+ ++ lo(1 —5)+. : +3 +log(1 — >)

Observons actuellement que la série finie 1 1 1 1 1 1 1 1 aux quantités de l’ordre Z près, peut être remplacée par la série infinie

+ log(1—5)+ ++ lo8(1—+)+ ++ og(1 —5)+. ..

Or, la différence entre ces deux séries est évidemment inférieure à la somme

(gl) pos (i hs)

CRUE ? On

qui, elle même, est inférieure à l’intégrale

ES (1—{)}dr— 1+(X—1) log (1 — +);

de plus, comme la valeur de 1 + (X — 1) log (1 — +) pour X très grand,

est une quantité infiniment petite du premier ordre par rapport à nous en concluons que la substitution qui vient d’être indiquée est permise. D’après ce qui vient d’être dit, si l’on représente par C” la somme de la série infinie 1 1 1 1 1 1 3 +log(1 —5)+ 5 los (1 —5)+ 7 + log (1 —5)+. “il la valeur de log P s’exprimera, aux quantités de l’ordre de près, par la

formule 1 1 1

Log P=— (5 +++. k +)+ 0" Substituant pour 1 1 1 D'S ANT DE Te . ls :

la valeur (8) trouvée plus haut, on obtiendra

log P=— —C— log log X + C”,

d’où C'—C

€ Fe log X *

Enfin, faisant pour abréger e0—C— C,, et remplaçant P par le produit

(a CEX A Ke PA Um En) 5) 5) (3)

Legendre a trouvé, pour la valeur du même produit, la formule suivante:

(1 Va 5) (1 +) (1 {+} (1 —5)=5% Ro

nous aurons