L) — 0 — HOT F(L
0 (x) — 0 (x — 1) log æ
est un nombre composé, et à 1, si x est un nombre premier. Donc
car, en général, la fonction
, pour x entier, se réduit à 0, si æ
y 0001) pp 0Q+1)—00 7
0 (1+-2) — 0 (+1) log ! log (7+- 1) (x 2) +
bal nimes TE
6(L)—0(L—1) TR og L F(L),
ou, ce qui revient au même,
FO FU: FCrD F'(14-1) F(1+-2) Wa of Dr l log? log tn) Ô () + log(/+1) log (+ | (4 &e +1).
FI) F(L+1 F(L+1) GE je 0] (D + jen 0 (D)
Or, si nous supposons que la fonction EE %) dans les limites &—7/—1 et
æ — L+ 1, reste constamment positive et décroissante, le signe de 4(—1) dans l’expression de U sera —, et le signe de chacune des fonctions
si" ÉD
sera +. Par conséquent, d’après (7), et en faisant pour abréger
fo, 0 mem x + 2,
(8) 2 | De) = 4 — 2 47 — TT log? x — 7 log x — 3, nous aurons une valeur inférieure à U, si, dans son expression, nous rem-
plaçons O(1—1) par 2, (1-1), et 2(1), 0(1+1),...0(L) par 0,0), 0, (+1)... (D).
Au contraire, en remplaçant 4 (/—1) par 4, ({—1), et (1), 9({+1),...0(2) par 0, (1), 4, (1+-1),...0, (D), nous trouverons une valeur plus grande que U. Donc
F(1) F() F(t+1) F(+1) F(1+-2) U>— —0(- 1) pet log? log ee | On) + dt log({+1) log (+2) On (+ 1)+..
F(L + 1) F(L+ 1) + 1) + É 7 log (L + | 0 u (£) + log (L+1) (L+1) On(D),
FO, [FO F(+1) F(l4+1 F(42)71, U<—0n(- Doit et he Ce | 40) + log({+1) log (+2) O(+1)+...
F'(L) F(L +1) F(L+1) logZL log(L+1) ê D) +; +1 1) 4 (D),
et comme les seconds membres sont identiques avec les sommes
Fr )° — 0 — 1 One 1) je — GO — EU + D FU TUE,
Fr F(I Or(x) — 01% — 1 0, (— 1 — On — DE ris F(x) r(æ) re ) Pere
nous en conclurons
U> 6, — 1) LU ue 0 LC — Le . re pi F(x) Onr(æ) — Of — 1)
log l log æ ?
rs O1(x) — O1(x — U<6,(— D — CA e. ) + Sr) r(æ) ie D æ=l
D’après les formules que nous venons de trouver il n’est pas difficile de dé-
montrer ce théorème:
NC: je
Théorème.
Si la fonction F(x), passée une certaine limite de x, reste positive, la convergence de la série
F(2) F(3) . F4) . F(5) . F(6) log 2 Ÿ og log4 * logs log 6
est une condition nécessaire ct suffisante pour que la série FO2)+F(G)+F(65)+F(7)+F(1)+F(13) +...
soit également convergente.
Démonstration.
Supposons que : soit la limite de x au-dessus de laquelle F(x) con-
serve le signe +- représentant une fonction décroissante, et que «, B,
FR ee Y,-..@ soient des nombres premiers compris dans les limites Z/ et ZL. En faisant
S—=F(Q2)+FG)+F(5)+...+F(a)+F(B)+F(y) +...+F(e)= S + Fa) + F(8) + F(y)+...+F(p),
nous conclurons d’après (9)
U F'(1) F Orr (x) — 0 — 1 S> 5% + On — Dit 4 bis NE ma Sr) e rs '
æ—=L ( — 0 (x —1 S<S,+06, C— 1) — On l'E og + 270 r (æ) ae )
St -
Ces inégalités font voir que, dans le cas où les expressions
log æ log æ ?
æ=Zz ÙF( 1 encre 4 Srentirae-v æ—1
pour L = co, restent finies, la série F(2)+ F(3)+ F(5)+ F(7)+ etc.
sera convergente; au contraire, si la supposition de Z — co rend la valeur de ces expressions infinie, la série
F(2)+ F(3)+ F(5)+ F(7) + etc.
sera divergente.
