M OR SE
La substitution des valeurs de 4, (x), 4, (x) d’après (8) dans les expressions précédentes les réduit à
ÿT — EA(Vz-V(&-1))- 8log nece (108? æ-l0g"(x- 1) (logæ-log(r-1 )) ee
\ <A- A(Va-V(x- 1))+; coze (08° æ-log*(x-1))+- Ÿ (logz-log(x- 1) ae,
et comme les fonctions Va—V(r—1), log? x—log (x— 1), log æ—log (x — 1).
pour des valeurs très grandes de x deviennent infiniment petites, nous concluons que dans le cas, où
æ—= ao F'(x) log æ
æ—1Ù a une valeur finie, les expressions
O(x) — Or(x — Orrx) — ne 2re ) r(X) Re 52 Sr rx (©) Ru à:
pour L = co, seront également finies; au contraire, pour L — co, elles seront infiniment grandes, si la somme
Se
avec l’augmentation de Z, converge vers l'infini. Mais le premier cas a tou- Jours lieu, si la série
log 2 lg5 * logé + logo t logo * CtCe est convergente, et le second suppose la divergence de cette série, ce qui prouve le théorème énoncé. Ainsi, nous concluons de là que les séries
1 1 1 1 1 Zlog2 * 5105 * Blogs * Tlogs * illogii + CC:
en us da 73 log? (log 3) ae" log? (log CRE 7 log? (log 7) PE ED log? (log 11) + etc.
PES dr sont convergentes, tandis que les deux suivantes
LP SES OS ARE een 2 8 5 F -
1 1 2 log (log 2) TE log (log 3) LR | log (log 5) 7 log (log 7) TH log (log 11) + etc.
sont divergentes.
$ 8. Quand la série F(2) + F(3) + F(5) + F(7) + etc.
est convergente nous trouverons sa valeur, avec une approximation aussi grande qu’on le voudra, en calculant la somme de ses premiers termes. En dénotant par 8, la somme de tous les termes qui précèdent F(œ), & étant le plus petit des nombres premiers contenus dans la série
l, l+ 1, 7+2, etc.
et / un nombre entier au-dessus duquel toutes les valeurs de x rendent sn.
positif et décroissant, nous mettrons la série F(2)+F(G3)+F(5)+F(7)+ F(11)—+ etc. — 8 sous cette forme S=S,+F(a) + F(B)+F(y) + etc. = 8, + U.
Cela posé, nous chercherons les limites entre lesquelles tombe U, en faisant L— co dans les formules (9). De cette manière nous trouverons
U>6, FRS EE 7 (Die né F(x),
log log ? log æ (10) À F, | F(I 0 4 U<0, C— 1 — On 1) 0 + D r(#) = | F(æ).
La demi-somme de ces expressions donnera une valeur approchée de U, et leur demi-différence sera la limite de l'erreur de cette valeur. Cette limite sera d'autant plus petite, que le nombre / et, par conséquent, le nombre de termes de la somme $, sera plus considérable.
