CALIFORNIE

Note sur une classe d’intégrales définies multiples.

Théorème. «Quelle que soit la forme de la fonction f, on a | | | p, (x) p,(y) p,(2)...f(2" + y + +...) dx dy de... 0 0 0 à s . P(u) f(u) du,

«équation où P(w) se détermine par les fonctions données 9, (x), o,(y), «2, (2), . . . au moyen des quadratures, en prenant

9 __ D(uV—1)—y(—uv—1) () pa 2 ru2V— 1 -

«où co Le] aæ” ) ay! œ asP?

(2) d(u) =| e || p(x)e * as | pÂy)e * ày | pfz)e “ de. : da». 0 0 0 0

Ce théorème suppose que les fonctions ®,, ®,, #,, . . . sont telles que,

1°. D(u) et sa dérivée restent finies pour toutes les valeurs réelles et positives de w, ou pour toutes les valeurs imaginaires de w, dont la partie réelle est positive;

2°. la fonction 4 (u) devient zéro pour u—at+szV—1, où u—=:+aV—1, lorsque 4 = co, quelle que soit la valeur de z, pourvu qu’elle soit réelle et

positive.

Soient, par exemple,

nt=r, =, (= ",...;

dans ce cas, pour trouver la valeur de l’intégrale

] [: fetes. ..f(t+y—+2+...) dx dy dz..., 0 0 0

on à d’abord par l’équation (2),

b(uw)—| e7" || re" | 6 “ay | si PS ER . du V 0 0 0

ne HET @ (Y T' (6) (Ejro. .… ]da=

T'(a) T' (6) IA (c) Me vel e tar 0Hitc+…) Je —

= T'(a) L'(b) L'(c)...F(1—a—b—c—...) verre.) et en substituant cette valeur de Ÿ (u) dans l’équation (1), on trouve

) (=D) (7 Ter.) Fe 2x V—1

— L(0) TO) T(O:.-P(—-6—b—c—..) EEE) patessses 1

Cette équation donne

P(u)=T (a) T6) (0)... L(1—a—b—c—...) MT UGHÈEEZ ee) porter. 1

Mais, d’après une propriété connue de la fonction I’, on a

sinr (a+b+c+...) ME 1 , n Pme Reis

donc l'intégrale

| Ê à [eye Lt... .f(&+y+2+...) dx dy de...

TÉTOTO.. ] net f{u) du,

ce qui à déjà été démontré par M. Liouville.

29, Soient

M=Nn—=P—=...—2,

p,(t)—=cosax, p,(y)—=cosby, p,(z) —coscz,...;

on aura, pour trouver l’intégrale

] | ; | cos ax cosbx cos cz. . fa + + 2+...) dx dy de... 0 “0 0

ax?

co co ay?

| Janare LS as | cos by e “ay | COS CZ € 0 0

RE au? bu? a cu HE Vr e Ex ue “x... ae a

d’abord . - … Le / EU | da

4a == = ue X—= U Va 2V V ES QU FRE r? e #3 Qu HAREAT CAE 0 a où & désigne le nombre des variables x, y, 4,..., et o—= a +++ Mais on sait que, pour un nombre impair pk, on à SE ME m er Ts nt + —#Vp & T RL es ÉRRT à x? V7 4° .e ab pe Pi pe 1 2 pl À 2 ME 2 o—* en (a P 1) FE re MORE TE, 4\3 d°.e ne 1 (y? es ms 3 3 2F (—1) (de) donc u+1 u—1 1 r ? “4 dé A ts "nr »

1) (de) * et | RS ba ND ter r) x ? d?.cosuve 1, 2ru2V—1 Fm Ta u?

2(—1) ? (de) * d’où = ee

3 d ?.cosVup 1 Bi = 2(— 1) ? (de) ?

donc, pour un nombre impair des variables æ, y, z,... , l'intégrale

] | , | cos ax Cos by cos cz. . .f(x? + y + +...) dx dy de... 0 0 0 u—1 1

ce qui est le théorème de M. Cauchy (Journal de l'Ecole Polytechnique, XIX° cahier), d’où il déduit, comme cas particulier, la formule de Poisson.