DE LA SÉRIE DE TAYLOR

(Crelle, Journal für die reine und angewandte Mathematik, B. 28, 1844, p. 279—288.)

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Note sur la convergence de la série de Taylor.

D’après la règle de Mr. Cauchy la série

fa)+< fo+ 5 f(a)+. Hi Fa) + fa) +...

sera convergente toutes les fois que

lim. [mod. 1355 = fo(a)]". < 1,

ou, ce qui est le même,

(1) lim. [ (mod. 4)". mod. +0 He ei, | et divergente, si (2) lim. [mod. 757 fa] > 1.

Mais on a

fa) = 3; fr f(a + Re” 1) dp,

lorsque la fonction f(a + rerŸ 1) est finie et continue, quel que soit », pour r—R et pour une valeur quelconque de 7 plus petite que R*), et de même

(3) f'@)=S | f(a+ Re”) dp, (4) f'@)=Z | fa + Re”) dp,

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*) Cauchy, Exercices d'Analyse et de Physique Mathématique. Tome I, page 356.